откуда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы найти |
функцию z, |
подставим |
предполагаемое |
частное решение |
в |
уравнение |
|
(35). |
Заметив, |
что |
у'2 — z'erox - f |
zr0er'x |
= |
ег>х (z' |
+ |
rüz), |
|
|
|
у!2' = z"eT*x + |
Чг'г0ет°х |
+ zr02er°A' |
== er°x |
(z" |
+ 2rQz' |
+ r\z), |
получаем такое дифференциальное уравнение с неиз
вестной функцией |
z: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
еп.х (2// _|_ 2го г' |
|
r20z) |
+ |
реГ«* (г' - f rQz) |
+ |
<7zeri>* = |
О |
или |
(после |
сокращения |
на |
ег°х |
и |
группировки |
членов |
уравнения) |
|
|
|
|
|
+ |
( r |
g + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z" |
+ |
(2л0 |
+ |
р)2 ' |
рл0 |
+ |
q) z = |
0. |
(39) |
Так |
как-/"о |
есть корень |
характеристического |
уравнения, |
и притом |
кратный, |
то |
г\ + |
рл0 |
-f- q = |
0 |
и |
|
2г0 + |
р = 0 |
(в силу свойства корней квадратного |
уравнения |
сумма |
корней уравнения |
равна |
коэффициенту |
при |
|
неизвестном |
с противоположным |
знаком, |
т. е. 2г0 = |
— р) . |
|
Таким |
образом, уравнение |
(39) сводится |
к |
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
z" |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
(40) |
Полагаем: г ' = -^- = н, |
тогда |
— |
|
». в |
силу |
(40), |
что |
дает |
4 j |
= |
|
0, |
du = 0dx, |
jdu |
= |
|
jo-dx, |
|
|
|
|
|
|
|
и = а = |
постоянной |
|
|
|
|
|
(производная постоянной |
равна |
нулю); |
далее, |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
С |
|
|
|
|
dx |
= |
a, |
dz |
= |
a dx, |
|
dz = |
a J |
dx |
|
|
и « = ~- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = |
ax-\- |
b |
|
|
|
|
|
|
(где b, как и a — произвольное постоянное). |
|
Так как нас |
интересует |
частное |
решение |
исходного |
уравнения (35), |
то можем |
положить |
а=\, |
b = 0; та |
ким образом, получаем
z = x и у2 — хег*к.
Следовательно, общее решение уравнения (35) в слу чае равных действительных корней характеристического уравнения будет иметь вид
|
|
|
|
|
у = |
6ѴГ°* + |
С2хег°к. |
|
|
|
(41) |
П Р И М Е Р |
9. |
Найти общее |
решение |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
гЛ + 6(/' |
+ |
9</ = |
0. |
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Составляем |
характеристическое уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
г2 |
+ |
6г + |
9 = |
0. |
|
|
|
|
Решая |
его, |
получаем: |
г, = |
гг |
= |
г0 |
= —3. |
Согласно |
(41) |
пишем |
общее решение данного |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У = |
С{е~3х |
|
+ |
С2хе~3х. |
|
|
|
(В). Обращаемся к случаю, когда |
характеристиче |
ское уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г2 |
+ |
рг + |
<7 = |
0 |
|
|
|
(38) |
имеет |
корни |
не |
вещественные. |
|
|
|
|
|
|
По |
формуле |
решения |
квадратного |
уравнения имеем |
|
р 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если -~j |
q < 0, |
то |
корни |
уравнения |
(38) |
будут |
ком |
плексные, |
а |
в |
случае |
р = 0 — чисто |
мнимые. |
Положим |
- | = а , |
|
|
|
|
|
= |
|
Тогда |
+ |
) / - £ - - < 7 = |
ßin, |
следовательно, |
r = |
a ± ß i . |
|
Значит, |
дифференциальное |
уравнение |
(35) |
имеет |
следующие |
частные решения |
|
|
yl=e{a+W* |
|
= eaxetfx |
|
и |
у2 |
= |
еахе~^х. |
|
(42) |
Общее решение, составленное из этих частных ре |
шений, не будет иметь действительную |
форму |
(будет со |
держать мнимые величины). Между тем для практики бывает важным иметь действительную форму решения дифференциального уравнения (35). Покажем, каким образом молено представить в этом случае общее ре
шение в действительном |
виде. |
|
|
По |
формуле Эйлера |
(гл. X I , § |
103) имеем |
|
e'ß* = |
cos ß.t + |
/ sin ßx. |
Отсюда |
|
|
|
yl |
= еак (cos ß.v + i sin ßx) = |
eax |
cos ßx + ieax sin ßx. |
Положим
eaxcosßx= |
ии |
еах sin ßx = и2 |
(Ui и щ — действительные величины!). Тогда
Уі = «і + ith-
Покажем, что функции «і и и2 являются частными ре шениями уравнения (35). Действительно, так как уі есть решение уравнения
ѵ". +py + qy = o>
то замена в нем у на у{ = |
|
|
іи2 |
|
приводит |
к |
тожде |
ственному |
соотношению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У" + РУ\ + |
qih = |
°- |
|
|
|
|
|
Заметив, |
что |
у[ = |
и[ + |
іи2, |
у" |
= |
и" |
+ |
іи2, |
получаем |
« |
+ |
<) |
+ |
р |
(и[ + |
іи'2) + |
<7 («, + |
ш2 ) = |
О |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(и'{ + рг< + |
ça,) + |
і (u£ + ри"2 + qu2) |
= |
0. |
|
Комплексное |
выражение может |
быть |
равно |
нулю |
тогда |
и только тогда, когда его действительная часть й коэф
фициент при мнимой единице по |
отдельности равны |
нулю. Следовательно, тождественно |
имеем |
и" + |
ри[ + |
<7"і = 0 |
и |
« 2 + |
ри2 + qu2 — 0. |
Отсюда видим, что функции |
|
|
|
Н] = вах cos ß* |
и |
«, = |
е а * sin ß,V |
удовлетворяют дифференциальному |
уравнению (35), т. е. |
являются его частными решениями. |
|
Заметим далее, что эти решения не пропорциональ |
ны; в самом деле, |
|
|
|
|
—L |
= —— |
— = |
ctg ß* ф |
постоянной. |
ц 2 |
е |
sin ßx |
|
|
|
Значит, из этих частных решений можно составить об
щее решение уравнения |
(35) : |
|
у = |
О а * |
cos ßx + С2еах |
sin ßx, |
или |
еах (Ci cos ßx + С2 |
|
у = |
sin ßx). |
П Р И М Е Р |
10. |
Найти общее решение |
уравнения |
|
|
|
|
tj"-VW+ |
130 = |
0. |
|
|
Р е ш е н и е . |
Составляем |
характеристическое |
уравнение |
|
|
|
|
г2 |
+ |
6 г + |
13 |
= |
0. |
|
|
Решая |
его, |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г = |
— 3 ± |
— 13, |
т. е. |
г = |
— 3 |
± 2/. |
Здесь |
а = |
— 3 , |
ß |
= 2. Следовательно, |
общее |
решение данного урав |
нения |
такое: |
|
у — е~3х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ci cos 2х + |
С2 sin |
2х). |
|
Приведем в заключение этого параграфа примеры нахождения частных решений однородных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям.
|
П Р И М Е Р |
11. Найти |
частные решения |
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
(а-) |
y " - y ' - 2 y = Q, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(б) у" + 4у' + 4у = |
0, |
|
|
|
|
|
удовлетворяющие |
следующим начальным условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
0(0) = |
8, |
/ / ( 0 ) = 7 . |
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е |
(а). Составляем |
характеристическое |
уравнение для |
дифференциального |
уравнения |
(а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г2 — г - |
2 = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
Находим |
его |
корни: |
Г і |
= |
|
— 1 , |
г 2 = |
2. |
Пишем |
общее |
решение |
уравнения |
(а): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
у = |
С і е - х + С 2 |
е 2 |
х . |
|
|
|
|
|
(43) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = |
- Схе~х |
+ 2С2е2х. |
|
|
|
|
|
(43') |
Полагая, согласно начальным условиям, в |
(43) |
х |
= |
0, і/ = |
8 и в |
(43') |
x — 0, (/' = |
7, |
получаем |
следующую |
систему |
уравнений |
отно |
сительно искомых значений |
постоянных |
Ci и С2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• С, |
+ |
С 2 |
= |
8, ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ci + |
2 С 2 |
= 7. . |
|
|
|
|
|
Решая эту |
систему, |
находим: С\ = 3 , |
|
С2 = |
5. |
Следовательно, |
иско |
мое |
частное решение |
уравнения |
(а) такое: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = |
Зе~х |
+ |
|
5е2х. |
|
|
|
|
|
|
|
(б) Составляем характеристическое уравнение для дифферен |
циального |
уравнения |
(б): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г2 + 4г + |
4 = |
0 |
|
или |
(г -f- 2)2 |
= |
0. |
|
|
|
Это уравнение |
имеет кратный |
корень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гі — гг |
= |
— 2. |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, общее |
решение уравнения (б) |
имеет вид |
|
у = С,<Г2 * + |
С2хе~2х. |
|
Находим производную полученного решения: |
|
у' = - |
2Схе~2х |
+ С,е~2х |
- |
2С2хе~2х. |
І-кпользуя начальные условия-, приходим к следующей системе урав
нений относительно |
неизвестных |
Ci и С2: |
|
|
|
|
|
С, = |
8, |
|
|
|
- |
2С, + |
С 2 |
|
|
Отсюда Ci = 8 , |
Cj = 23, |
и искомое |
частное |
решение получается |
такое: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і/ = |
е - 2 |
* ( 8 + |
23.ѵ). |
< |
П Р И М Е Р |
12. |
Найти |
частное |
решение уравнения |
|
|
|
+ |
|
= |
О, |
|
удовлетворяющее начальным условиям
»(т)-'- 4 f ) - - *
Р е ш е н и е . Составляем характеристическое уравнение
|
Находим |
его корни |
г 1 + 4 = |
0. |
|
г 1 > 2 = а ± ß J = - 2 / . |
|
|
|
|
Таким образом, здесь а — 0, ß = |
2. Следовательно, общее решение |
|
исходного |
уравнения получается в |
виде |
|
Отсюда |
у = |
Сх cos 2х + |
С2 |
sin 2х. |
|
у' = |
— 2Ci sin 2х + |
2CS cos 2х. |
|
|
Определяем при помощи начальных условий требующиеся значения
постоянных Ci |
и С2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ci |
cos |
я + |
Ci |
і |
я |
= 1 |
, |
I |
|
|
|
sin |
= |
1, |
|
что дает Ci = |
— 2Ci sin я |
+ |
2 С г |
cosі:я |
|
|
|
— 1 , С |
2 |
= |
2. |
Получаем |
следующее частное решение: |
|
|
|
|
- - 4 , |
] |
|
|
|
у = 21 sin 2х |
— cos |
|
2х. |
|
§ 111. Решение неоднородных линейных дифферен циальных уравнении второго порядка с постоянными коэффициентами для некоторых специальных видов правых частей уравнений. 1. В этом параграфе мы бу дем рассматривать уравнение
