Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 147

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Из этой формулы следует, что для вычисления дисперсии выход­ ной переменной линейной системы необходимо знать корреляцион­ ную функцию входного случайного возмущения. Для определения дисперсии выходной функции недостаточно знать дисперсию вход­ ной функции. Корреляционная функция и дисперсия ошибки си­ стемы в данном случае совпадают соответственно с корреляционной функцией и дисперсией выходной переменной, так как е° (/) численно совпадает с У0 (I).

Важное практическое значение имеет случай, когда входная слу­ чайная функция X (/) представляет собой белый шум с корреля­

ционной функцией

 

 

Кх (т, т') =

G (т) б (т — т'),

где G (т) — интенсивность белого шума. Подставляя выражение для

корреляционной функции белого шума

в формулу (2.13) запишем

t

Г V

 

Ку (t, П = | G (т) g (/, т)

J g (Г,

т') б (т - т') dx' dx.

Интеграл в квадратных скобках на основании свойства 6-функции имеет значение

J

т')6(т —т')dx' = g(t' т).

 

*0

 

 

В результате получим

 

 

t

 

Ky (t,

t') = \G(x)g(t, т) g it', т) dx.

(2.15)

 

to

 

В частном случае при V — t из формулы (2.15) получаем

 

 

t

 

 

Dy ( t ) = J G (т) g 2 (t, x) dx.

(2.16)

 

^0

 

Эта формула может быть также получена из формулы (2.14), если подставить в нее выражение для корреляционной функции белого шума.

Пример 2.1. Определить математическое ожидание и дисперсию выходной пере­ менной и ошибки апериодического фильтра с постоянной времени Т 0 и коэффициен­ том усиления, равным единице, на вход которого, начиная с момента действует сумма полезного сигнала mx = а + bt, где а, Ь — постоянные величины, и случай­

ного возмущения A!0 (t) с корреляционной функцией Кх (0 = De—1^

и нулевым

математическим ожиданием.

 

Уравнение фильтра имеет вид

 

TBY + Y = X;

 

весовая функция

 

Подставляя весовую функцию и тх (/) в формулу (2.11), получим

 

 

 

 

t -

to

niy(t) =

(a — bT0 + bt0)

\1 — е

Т о

 

 

 

По формуле (2.12) определяем

систематическую ошибку:

 

 

 

_

 

 

тЕ(/) = -

6Г0 -

(а - ЬТ0+ «„) е

 

Т° .

Из полученного результата следует, что апериодический фильтр воспроизводит линейную функцию времени mx (I) с ошибкой, уменьшающейся с ростом t. Характер изменения my (t) с течением времени представлен на рис. 2. 1.

Подставляя выражение для корреляционной функции в формулу (2.14), опре­

делим дисперсию выходной

переменной

Y (t) и ошибки

Е (<), так как D е (/) =

= Dy (/):

t

t

 

 

 

 

 

 

/ — T

1 - = ^ -------P ( T

- T ' )

 

 

J

 

To

D y { i ) =

j

 

T°

 

dTd-z'.

 

^0

^0

 

 

 

 

 

Для вычисления этого интеграла разобьем интервал интегрирования по пере­

менной т' на две части

(10,

т) и (т, 1), тогда

 

 

 

 

 

it i

г

т т + т'

I (т —т')

=

 

 

J

Ь ”

То

 

dт' •

 

J

J

 

 

 

 

 

^0

1*0

 

 

t т + т' —Р (т' —т)

+ J

- ( у - + р) « - to)

1 - Р Г 0 — 2е \ /о

J

1- р т \

dxf

-

■=- (t — to)

+ (1 + РГ0) е

*О

Из этой формулы следует, что дисперсия выходной переменной и дисперсия ошибки изменяются с течением времени. После завершения переходного процесса

при t -j-oo дисперсия стремится к постоянной величине Dy — |

ру •, т- е- на"

блюдается эффект фильтрации

 

Dy (t — оо) Dx — D.

 

Изложенный метод исследования точности применим также к много­ мерным линейным системам, Для многомерной линейной системой, имеющей пг входов и п выходов, должна быть задана матрица весо­ вых функций G (/, т) размерности (п X т) с компонентами gkh (t, т)

( k = 1, • . ., п \

/ i = l , . . . ,

т ) .

 

 

 

Связь

между выходной

Yk (/) и

Рис. 2.1.

Среднее значение выходного

входными

Х г

( / ) , . . . , Х т

(()

слу-

 

сигнала

45

чайными функциями определяется линейным интегральным опе­ ратором вида

тt

2

т)Х„(т) dx.

(2.17)

/1 = 1

/о

 

= 1, • • •> П)

Применяя операцию математического ожидания к левой и правой частям выражения (2.17), получаем

тt

тик (0 = 2

J Skh i1’ т) тХь(Т) dx.

(2.18)

/1 = 1

/о

 

 

(k =

1..........

п)

 

Центрированные случайные функции на всех выходах системы получим, если из формулы (2.17) почленно вычтем формулу (2.18):

тt

Y l(t)= 2 J'£*/.(', x)Xl(T)dx.

/1 = 1 /о

{k — 1, . . n)

Для вычисления корреляционных п взаимных корреляционных функций выходных переменных используем формулу

т

it '

Цglp(l', x')KXhx(t(x, x')dxdx',

Кум(*. 0 = 2

1 \skh(t,

Л , p = I tо fо

 

 

(2.19)

 

(k, 1=

1, . . ., n)

 

 

 

 

где учтены обозначения

 

 

 

K,hXp(x, x ) = M [ x U ^ X l( x ') } .

 

Из формулы (2.19) в частных случаях при f

=

t определяют кор­

реляционный момент связи, а при I' = t и / =

k определяют диспер­

сию переменных Yk (() для момента времени t.

 

Формула (2.19) упрощается, если все входные случайные функ­

ции Х к (i) являются

коррелированными между

собой белыми шу­

мами со взаимными интенсивностями Ghp (т) и взаимными корреля­ ционными функциями

Xxhxр (т, т') = G„р (т) б (т — т').

(/г, р = 1, . . ., т)

Подставляя эти выражения для корреляционных функций в фор­ мулу (2.19) и пользуясь свойством 6-функции, получим

ГП

t

 

Kykyi(t, п = 2

\gkbV, x)gl (t\ T)Ghp(x)dx.

(2.20)

ft. Р = 1

/о

 

46

Формулы (2.19) и (2.20) могут служить также для оценки взаим­ ных корреляционных функций, корреляционных функций и диспер­ сий ошибок системы, так как по предположению случайные ошибки

К(() = Y°k (i).

Из изложенного следует, что для оценки вероятностных момен­

тов выходных переменных необходимо иметь все весовые функции системы. Для системы первого порядка весовая функция может быть определена достаточно просто. В общем случае необходимо восполь­ зоваться любыми приближенными способами или вычислительной машиной, причем так как интегралы в вышеприведенных формулах вычисляют по второму аргументу весовых функций, целесообразно воспользоваться сопряженной системой уравнений или сопряженной структурой для определения весовых функций. Это особенно удобно, если дисперсии и корреляционные моменты связи выходных пере­ менных вычисляют для фиксированного момента времени tk.

В качестве примера рассмотрим применение способа моделирова­ ния сопряженной системы для определения весовых функций сле­ дующей системы уравнений:

Yi = t a

u (t)Yi + bi (t)Xi.

(2.21)

/=1

= 1, . . п.,)

 

( i

 

На рис. 2.2 приведена структурная схема системы, соответствую­ щая системе уравнений (2.21). Пусть необходимо определить вероят­ ностные характеристики выходных переменных и ошибок системы только для момента времени tk. Воспользуемся сопряженной систе­ мой. Как известно [46, 58, 64], структурная схема сопряженной си­ стемы получается из структурной схемы основной системы (рис. 2.2) путем следующих преобразований: 1) направление сигналов изме­ няют на обратное; 2) интеграторы и дифференциаторы сохраняют свои функции; 3) узлы заменяют сумматорами и наоборот; 4) пере­ менные коэффициенты пересчитывают в обратном времени. Структур­ ная схема сопряженной системы изображена на рис. 2.3. При этом 6-функции следует подавать в точки, соответствующие прежним выходам системы, а точки приложения возмущений в сопряженной системе являются выходами для получения соответствующих весо­ вых функций как функций второго аргумента gih (tk, t) при фиксиро­ ванном первом аргументе tk.

Подавая на один из входов системы (рис. 2.3) 6-функцию, напри­ мер на вход /г, после интегрирования получаем на всех выходах ве­ совые функции как реакции системы на входное воздействие gih (tk, i). Меняя поочередно входы и выполняя интегрирования, получаем всю матрицу весовых функций системы по второму аргументу при фиксированном первом tk. Заметим, что вместо подачи 6-функции на вход системы можно1задавать начальное условие на ближайшем По ходу сигнала интеграторе. Далее для вычисления математических ожиданий корреляционных и взаимных корреляционных функций следует воспользоваться вышеприведенными формулами.

47

Рис. 2.2. Структурная схема системы

Изложенный метод исследования’ точности применим также для динамических систем, которые имеют отличные от нуля начальные условия. В этом случае предварительно необходимо преобразовать начальные условия в эквивалентный входной сигнал [64]:

Пусть линейная система характеризуется уравнением первого порядка

ai (О У + ао (О У — 0

(2.22)

при случайном начальном условии в момент I = t0, Y (t0) — Y 0. Перейдем от переменной Y (t) к переменной Y* (t), удовлетворяющей уравнению

a1(f)Y* + a0{t)Y* = Z(t, t0)

(2.23)

48

Рис. 2.3. Структурная схема сопряженной системы

при нулевом начальном условии в момент t = t0, Y* (t0) — 0. Опре­ делим Z (t, t0) таким образом, чтобы Y* (t) и Y (t) совпадали при t ^ t. Однако функция 7 (t) удовлетворяет уравнению (2.22), а функ­

ция Y* (t) удовлетворяет уравнению (2.23)

и имеет скачок на

7 0

при t = t0. Это значит, что производная 7*

(I) содержит 6-функцию

с аргументом (t — ^0). Для

того

чтобы

учесть

это обстоятельство,

примем

 

1 ( t —

 

 

(2.24)

7* (0 =

Y(t)

t0).

 

Таким образом, 7* (t)

совпадает с

7

(t) в

интервале t ^

t0,

так как

 

1 при t ^ t 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

0 при t <

ta.

 

 

4 В. С. Пугачев

49

Смотрите также файлы