Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 150
Скачиваний: 1
Продиффенцируем выражение (2.24) по t\ |
|
|
Y* = Y \ ( t - t 0) + |
Y(t0) b ( t - U \ |
(2.25) |
где в силу тождественности принято |
|
|
Y ( t ) 6 ( t - i 0) = |
Y (i0) 8 (1 — t0). |
|
Умножив выражение (2.25) на ал (/), а выражение (2.24) |
на а0 (t) |
|
и сложив их, получим |
|
|
a, (t) Y* + а0 (t) Y* = |
(/) Y + а0 (t) Г] X |
|
X 1(t — *0) + ai (ОY (*о) б (t — /„).
Учитывая уравнение (2.22) и (2.23), получаем выражение для эквивалентной правой части:
Z(t, t0) = a i (to) Y ( t 0) 8 ( t - t0).
Если система характеризуется уравнениями вида (2.21) при за данных начальных условиях Y t (/„), то эквивалентная правая часть, заменяющая начальное условие у каждого уравнения, имеет вид
Z; (t, t0) = Y i (t0) 8 ( t - tQ).
Вболее общем случае система имеет уравнение вида
сначальными условиями при t = t0
Y(t0), . - У("-1) (*„)■
Применяя аналогичную процедуру преобразования, запишем эквивалентную правую часть в виде
Z (t, |
t0) = [ап (t0) |
(t0) |
+ • ■• + a, (t0) Y (/„)] S |
(/ - to) + |
+ |
[an(to) Y'[n- |
2) (t0) + • |
• • + a2 (t0) Y (/„)] 6' (t - |
10) + |
+an (Q Y (to) 6(n_1) (t — ^o)-
2.4.Метод передаточных функций
При вероятностном исследовании стационарных устойчивых авто матических систем только в установившемся режиме их функцио нирования после завершения переходных процессов можно при менять метод передаточных функций, при котором в качестве харак теристик линейной системы используют ее передаточные функции. Предварительно рассмотрим одномерную систему.
Для одномерной стационарной системы связь между входной и выходной переменными в установившемся режиме определяется фор мулой (1.40):
СО
Y (i) — J w (т) X (t —- т) dx.
о
50
Применяя операцию математического ожидания, получим выра жение для математического ожидания выходной функции в устано вившемся режиме:
СО |
|
тУ(t) = j w (т) тх (t — т) dx. |
(2.26) |
о |
|
Полезный сигнал тх ( t — т) является медленно |
меняющейся |
функцией времени. Его можно аппроксимировать полиномом пли разложить в ряд Тейлора в окрестности точки t:
m, (t - т) = V ( - 1У т (2.27)
где /и'.'') (/) — производные функции mv (/).
Подставляя выражение (2.27) в формулу (2.26), получим
|
СО |
|
|
|
Щ (0 = У ] |
^rm{xr\t), |
(2.28) |
|
1ST |
|
|
где |xr = |
j xrw (т) dx — моменты |
весовой функции |
стационарной |
линейной |
о |
|
|
системы. |
|
|
Моменты [лг весовой функции связаны с передаточной функ цией Ф (s) системы и ее производными при нулевом значении аргу мента [58]. Для получения этих зависимостей воспользуемся фор мулами (1.42) и (1.45):
00 |
|
J w (s) e~sT dx = Ф (s). |
(2.29) |
о |
|
Полагая в формуле (2.29) s = 0, определяем момент нулевого порядка передаточной функции
СО
р.0 = J w (т) dx = Ф (0).
о
Дифференцируя выражение (2.29) г раз по s, получим “
(— 1)ЛJ тrw (т) е ST dx = Ф(г) (s).
о
Полагая в последней формуле s = 0, определяем момент r-го по рядка весовой функции стационарной линейной системы:
р = f xrw (т)dx = (— 1)ГФ(г) (0). |
(2.30) |
|
о |
(г-1, 2 . . .) |
•-*' j |
4* |
61 |
Подставляя выражение |
(2.30) в формулу (2.28), получим |
|
|
СО |
|
* , ( , ) |
= £ > « (0)/7^>(/). |
(2.31) |
г = О
Для определения систематической ошибки системы воспользуемся формулой (2.2), которую запишем в следующем виде:
mE(t)=my (t) — yr {t). |
(2.32) |
Обычно для стационарных устойчивых систем задается идеальная линейная операция L с постоянными коэффициентами, характери зующая теоретический (желаемый) выходной полезный сигнал:
Ут(/) = L [тх (0 ] = |
Фт° (0) т[П (/), |
(2.33) |
|
|
г = О п |
|
|
где ФтГ) (0) — r-я производная |
передаточной |
функции идеальной |
|
системы. |
|
|
|
В частности для следящей системы |
|
|
|
ф<°> = 1, Ф<'> = |
ф<2>... = ф 'л) = 0; |
|
|
для дифференцирующей системы |
|
|
|
ф<1} = 1, ф<0) = ф<.2) = ф<.3) = . . . = |
ф<п) = |
0. |
|
Подставляя выражения (2.31) и (2.33) в формулу (2.32), получим |
|||
формулу для систематической ошибки системы: |
|
|
|
тЕ(0 = |
|) Сгтхг{ ) (0, |
|
(2.34) |
г=О |
|
|
|
где |
|
|
|
c r = j T{ o {r)(0) - o i r)y, |
|
|
|
(г = 0 ,1 ,... я) |
|
|
|
Сг = ± Ф ^ ( 0 у , |
|
|
|
(г = n + 1, п + 2, . . .) |
|
|
|
Величины Сг называются коэффициентами ошибок. |
Если полез |
||
ный сигнал представляет собой полином не выше /i-й степени отно сительно времени, то в формуле (2.34) содержится конечное число членов, так как производные полезного сигнала, начиная с п + 1-й, равны нулю.
Первые три коэффициента ошибок имеют специальные названия:
С0 = Ф (0) — Фт (0) — коэффициент статической |
ошибки или коэф |
||||
фициент |
ошибки |
по |
положению; |
Сх = Ф' (0) |
— Ф(. (0) — коэф |
фициент |
ошибки |
по |
скорости |
С0 = -^-(Ф (0) — Фт (0)) коэффи |
|
циент ошибки по ускорению. Системы, для которых C„=f0 при постоян ном сигнале тх= х 0= const, имеют в установившемся режиме постоян-
52
ную ошибку, отличную от нуля. Если С„ = 0, то система называется астатической. Для таких систем установившаяся систематическая ошибка при постоянном входном сигнале равна нулю. Если для си стемы С0= 0 , Сг ф 0, то в установившемся режиме имеется постоян ная ошибка при входном полезном сигнале, изменяющемся с постоян ной скоростью. Если С0= С1= 0 , С2 ф 0, то в установившемся ре жиме появляется постоянная систематическая ошибка при входном сигнале тх (t), изменяющемся с постоянным ускорением. Если пер вые k коэффициентов ошибок равны нулю: С0 = Сх= • • • = С*_1= О, Ск ф 0, то динамическая система отрабатывает без установившейся ошибки любые входные сигналы, представляющие собой полиномы не выше /е-й степени. Такие системы называются астатическими k-vo порядка или системами с астатизмом k-vo порядка.
Используя формулу (1.40), получим центрированную случайную составляющую выходного сигнала стационарной системы в установив шемся режиме:
00 |
(2.35) |
Y i0) (t) = \w(x)X0(t — T)dx. |
|
о |
|
Из теории стационарных случайных функций известно, что цен трированная случайная функция Х° (t — т) может быть выражена интегральным каноническим представлением через белый шум V (со)
вида [56, 591:
00 |
|
X°(t — т )= |У(со)е'“ <'-*> dw, |
(2.36) |
— СО |
|
где V (со) — случайная функция аргумента со с некоррелирован ными значениями при различных со (т. е. белый шум), имеющая интенсивность sx (со), равную спектральной плотности случайной функции Х° (t) [56, 59]. Подставляя выражение (2.36) в формулу (2.35) и меняя порядок интегрирования, получим
|
|
СО |
|
|
|
|
КО до = \ V (со) е'“'Ф (ко) da, |
(2.37) |
|
где |
|
|
|
|
с о |
|
|
|
|
Ф (ко) = Joy (%) е1ШТД г— частотная |
характеристика системы. |
Да- |
||
о |
|
формулой (2.37), |
запишем |
|
лее, пользуясь |
|
|||
|
СО |
с о |
|
|
Y (t)Y (t')= |
J |
|ф(г'со)Ф (— ко') е‘и' - ‘ш'ГК (со) V (со') dco dco'. |
(2.38) |
|
|
— со. — со |
|
|
|
Применяя к выражению (2.38) операцию математического ожида |
||||
ния, определяем корреляционную функцию в форме |
|
|||
|
со |
со |
|
|
Ky ( t , t ') = |
| |
J Ф (ко) Ф (— fco')e,m' - ,“'''/Co(<o — co')dcodco'. |
(2.39) |
|
63