Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

При f = t из формулы (2.40) получаем выражение для дисперсии функции Y (/) в установившемся режиме:

— СО

Из формул (2.40) и (2.41) следует, что в установившемся режиме, т. е. при неограниченном действии стационарного случайного воз­ мущения на стационарную линейную устойчивую систему дисперсия ее выходной переменной постоянна, а корреляционная функция за­ висит от разности аргументов. Следовательно, выходная переменная стационарной устойчивой системы, находящейся бесконечно долго под воздействием стационарной случайной функции, является ста­ ционарной случайной функцией времени. Из этих формул также следует, что спектральная плотность выходной переменной стацио­ нарной системы равна произведению квадрата модуля ее частотной характеристики на спектральную плотность входного стационар­ ного случайного возмущения, т. е.

Sy (со) = | Ф (/со) |2 Sx (со).

На практике часто стационарная линейная система имеет узкую полосу пропускания гармонических колебаний по сравнению со спектром частоты входного возмущения, что можно оценить по виду частотной характеристики системы и по спектральной плотности воз­ мущения (см., например, рис. 2.4). В таком случае спектральную плотность в пределах полосы пропускания системы можно считать постоянной и равной, например, значению S 0 (рис. 2.4). Это соответ­ ствует замене реального широкополосного возмущения стационар­ ным белым шумом с постоянной спектральной плотностью 5 0 и ин­ тенсивностью G = 2л50. В рассматриваемом случае формула (2.41) принимает вид

— со

сой пропускания стационарной линейной системы. Интегралы, вхо­ дящие в формулы, в общем случае определяют путем численного ин-

54

тегрироваиия, однако в большинстве случаев для них можно полу­ чить аналитические выражения.

Частотная характеристика Ф (/со) физически возможной устой­ чивой системы, характеризуемой обыкновенными дифференциаль­ ными уравнениями, представляет собой дробно-рациональную функ­ цию частоты со. Таким образом, квадрат модуля частотной харак­ теристики линейной системы можно представить в виде [58, 65]

(2.43)

где Н (/со), F (/со) — полиномы относительно /со с постоянными коэф­ фициентами.

Спектральная плотность Sx (со) стационарного случайного про­ цесса также может быть представлена или аппроксимирована в виде дробно-рациональной функции частоты со в следующей форме [25]:

(2.44)

где W (/со), N (/со) — полиномы относительно /со с постоянными коэффициентами.

Из формул (2.43) и (2.44) следует, что при определенных условиях подынтегральные выражения в формулах (2.41) и (2.42) являются дробно-рациональными функциями частоты со. Например, в общем

55

Подставляя выражение (2.45) в формулу (2.41), приведем ее к виду

Dy — 2я/„,

где

Для интегралов /„ составлены таблицы (приложение 2), при по­ мощи которых их значения выражаются через параметры функций

gn (l'“ ) и Л„ (ш).

Корреляционную функцию и дисперсию ошибки Е (t) для уста­ новившегося режима вычисляют по полученным формулам, так как в данном случае Е° (t) = Y° (t).

Для многомерной системы, имеющей несколько входов и выходов, для каждого выхода формулы, характеризующие вероятностные оценки моментов выходной функции и ошибки, аналогичны форму­ лам (2.31), (2.34), (2.41) и (2.42). Однако в этих формулах должны быть учтены реакции всех входных сигналов на рассматриваемый выходной сигнал.

Рассмотрим, например, частный случай, когда в системе имеется один выход (t) и т входов Х г ((), г = 1, . . ., т. Один из вхо­ дов Х г (t) является основным, а через остальные в систему попадают только стационарные случайные помехи, не коррелированные между собой и с Х х (/). В этом случае формулы для математических ожида­ ний выходной переменной и ошибки получаются обобщением фор­ мул (2.31) и (2.34) в следующем виде:

со т

Для дисперсии DtJ = DE в этом случае получаем формулу

тсо

^ = 2 J | <1V * Щ I2s xk (ffljdffl.

k = 1 — сю

Приведенные формулы также позволяют выразить математические ожидания и дисперсии выходной переменной и ошибки системы через ее параметры. Если линейная система имеет несколько выходов, то для каждого выхода справедливы приведенные формулы. Кроме того, возникает необходимость в определении взаимной корреляционной функции и взаимного корреляционного момента связи выходных переменных системы в установившемся режиме. Эта задача решается

56

следующим путем. Для каждого выхода стационарной системы в уста­ новившемся режиме справедлива формула

где (i) — центрированная случайная функция На k-оч выходе; ФУкхг (s) — передаточная функция систем от /--го входа до /г-го вы­

хода; Vr (со) — случайные белые шумы в интегральном разложе­ нии (2.36) для г-го входа, не связанные между собой. Вычислим про­

изведение Y°k (t) Y°k (t'), пользуясь формулой (2.47), и применим к нему операцию математического ожидания. В результате получим

мулы (2.48) получим выражение для взаимно корреляционной функции:

Г =1 —00

(k, 1= 1, . . ., п)

При t' = t из формулы (2.49) получаем выражение для корреля­ ционного момента связи в установившемся режиме:

Интегралы в формулах (2.49) и (2.50) в общем случае определяются численно. Если система описывается обыкновенным дифференциаль­ ным уравнением, а спектральная плотность входного сигнала SXr (со)

представлена дробно-рациональной функцией частоты со, то инте­ гралы в выражении (2.50) приводятся к виду (2.46) и вычисляются окончательно [58].

2.5. Метод интегрирования уравнений системы

Эффективным методом исследования процессов управления и ре­ шения основной задачи оценки точности при действии случайных возмущений является метод интегрирования уравнений системы [56 ].

Метод интегрирования уравнений системы состоит в представлении

57

всех выходных функций линейной системы в виде канонических млн иных разложений по случайным параметрам, через которые выра­ жены входные сигналы, и в определении базовой системы функций, участвующей в разложении выходных сигналов. Эти базовые коор­ динатные функции определяются путем многократного интегриро­ вания исходной системы линейных уравнений для каждого номера.

Изложим существо метода для одномерной линейной в общем слу­ чае нестационарной динамической системы, характеризуемой урав­ нением вида

F ( t , p ) Y = H (t, р) X.

Начальные условия являются случайными, для которых заданы их моменты — математические ожидания и дисперсии величины Y (0)

н ее производных У(г) (0) до п — l-ro порядка:

Dy (0 ),..., Dy^ i) (0).

Пусть случайное возмущение X (t) представлено каким-либо раз­ ложением вида

где тх (t) — математическое ожидание функции X (/); х,- (t) — из­ вестные координатные функции; Vj — случайные величины с нуле­ выми математическими ожиданиями и корреляционной матрицей

МiVtVj] = Rlj-

Выходную переменную Y (t) представим в форме

У (i) = т„ (0 + Y 0 (/),

где ту (t) — математическое ожидание; У0 (/) — случайная центри­ рованная составляющая. На основании принципа суперпозиции функции ту (t) и У0 (t) определяются уравнениями

Уравнение (2.52) следует интегрировать при заданных начальных условиях t = 0, ту (0), . . ., my(n-i) (0). Выходную функцию У0 (t) определим также в форме суммы

* Везде далее в тексте для коэффициентов корреляции случайных функций принято обозначение 0(-/.

58