Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 155
Скачиваний: 1
где Vj — те же случайные параметры, что и в формуле (2.51), у (t) — координатные функции разложения, которые необходимо определить.
Подставим выражение (2.54) в уравнение (2.53). Учитывая, что V j — случайные величины и не зависят от времени, получим
£ |
V.-F (/, |
р ) у ,= |
Ъ VjH(t, р)х,. |
|
/=1 |
|
/=1 |
|
|
Преобразуем это уравнение к виду |
|
|||
2 |
v, [F (t, |
р) у, - |
Н (/, р) *у] = 0. |
(2.55) |
/=1 |
|
|
|
|
Так как Уу— произвольные случайные параметры, то для выпол нения условия (2.55) необходимо, чтобы были справедливы равенства
F (t, р) у,■= |
Н (t, р) xj: |
(2.56) |
(/ = 1, |
. . . . Я) |
|
Таким образом, для определения неизвестных функций ру- (I) не обходимо исходное уравнение (2.56) интегрировать N раз при раз личных хj (j = 1, . . ., N) и для определенных начальных условий. Выясним, как следует задать эти начальные условия. Число раз личных функций уj (t) равно N. Для каждой из них необходимо задать я начальных условий. Всего должно быть задано Nn началь ных условий. Но для исходного уравнения (2.53) задано я начальных условий: D y (0), . . . , D y{n-\) (0). Следовательно, имеется известная свобода выбора начальных условий для уравнений (2.56) при опре
делении функций |
у; (/). Продифференцируем выражение (2.54) |
|
( я — |
1) раз, после |
чего положим t = 0. В результате получим си |
стему |
равенств |
|
Y°lr){0 )= |
i> /l//r)(0). |
|
/=1 |
(г = 0, 1, |
. . ., я — 1). |
Умножим на комплексно сопряженное значение каждую из ве личин в правой части равенства и применим операцию математиче
ского ожидания: |
|
|
|
|
|
|
M{[Y0(r) (О)]2}= |
S ^ [V v V /]^ r ,(0)p}r)(0), |
|
||||
|
|
v/=1 |
|
|
|
|
где |
(г = 0, |
1, |
. . ., я — 1), |
|
|
|
Л41[Г<°<'>(0)Г) =Д,(г); |
|
|
||||
|
|
|
||||
|
M[VvVj] = Rvj. |
|
|
|||
В результате |
получаем систему |
уравнений |
для |
определения |
||
y f (0), |
/ = 1, . . . . |
Я; |
г = |
0, 1_____ я — 1: |
|
|
|
£U> = S |
S |
^ ;4/Г(0)^>(0). |
. |
(2.57) |
|
/ = 1 V = 1
59
Очевидно, в уравнениях (2.57) можно положить отличными от нуля только действительные части начальных значений первой функ ции разложения и ее /-е производные, а начальные условия осталь ных координатных функций и их производных считать равными нулю, т. е.
Re К » |
(0)] Ф 0; |
Im [у[г) (0)] = 0; |
0) = 0; |
i ф \ \ |
г = 0, 1........л - 1 . |
Для действительных функций разложения эти условия имеют следующий вид:
У\г) (0) ф 0; у)г)(0) = 0; j Ф I; г = 0, 1....... n — 1.
При сформулированных условиях уравнение (2.57) принимает
вид выражения |
|
D ^ ) = D 1R e [ ^ ) (О)]2, г = 0, 1,... , л - 1 , |
(2.58) |
где обозначено |
|
Д = Лц = М[У?].
Теперь из равенств (2.58) определим л отличных от нуля началь ных условий для первой функции разложения и ее производных:
Re [у[г) (0)] = ] / " ^ Ж , г = 0, 1,..., л - 1 |
(2.59) |
или для действительной функции
Уравнения (2.52) и (2.56) по форме одинаковы, и каждое пред ставляет собой исходное уравнение при подстановке в него мате матического ожидания или координатной функции разложения иско мой и входной переменных. Следовательно, необходимо N + 1 раз проинтегрировать исходное уравнение при определенных различных начальных условиях. После интегрирования этих уравнений опре деляют математическое ожидание функции ту (t) и координатные функции t/j (t), j = 1, . . ., N.
Корреляционную функцию переменной Y (t) определяют путем
вычисления М [К0 (t) К0 |
(/')] на основании выражения (2.54). В этом |
|
случае получаем формулу |
|
|
Ky (t, |
п = S 2 х » у }« ) у Л П , |
(2-61) |
|
/ = 1 V = 1 |
|
где yv (t') — комплексно |
сопряженная функция. |
|
При f = t по формуле (2.61) определяют дисперсию выходной переменной
Dy (0 = Ку (t, t).
В частном случае, если случайная функция X (() представлена каноническим разложением по некоррелированным случайным ко эффициентам V/, то формула (2.61) упрощается:
Ky(t, П = |
П, |
|
/=i |
где Dj = М [Vj].
Если для рассматриваемой системы задана некоторая идеальная
операция над полезным входным сигналом вида |
|
||
Ут(0 |
= L (/, |
р) тх, |
|
то ошибка системы |
|
|
|
Е (0 = 7 |
(0 - L |
(t, р) тх. |
(2.62) |
Для математического ожидания и дисперсии ошибки системы по лучим формулы
. тв (I) = ту (0 — L (/, р) тх\ DB (t) = Dy (/).
Изложенный метод вероятностного исследования линейных си стем, в том числе и точности, применим также для многомерных систем.
Пример 2.2. Определить математическое ожидание и дисперсию выходной пере менной и ошибки следящей системы, уравнение которой имеет вид
TaY + Y = rnx + X о,
где тх — полезный входной сигнал, тх = а-\- Ы при а и b — постоянных пара_ метрах: Х° (t) — случайное возмущение, заданное каноническим разложением.
|
|
N |
|
|
Xе (0 = |
£ |
Kve'‘Mv', |
|
|
v= l |
|
где Vv — случайные несвязанные коэффициенты с дисперсиями Dv. |
|||
Начальное условие |
для величины |
Y задано вероятностными моментами тУо |
|
и Dy |
|
|
|
Решение уравнения |
записываем в виде |
||
|
|
|
N |
|
Y ( t ) = m y ( t ) + |
£ Vyyv (/). |
|
V = 1
Для определения математического ожидания ту согласно вышеизложенной теории воспользуемся уравнением
Т0ту + т у = тх;
t = 0; my (0 )= m y0t
которое имеет следующее решение:
__ 1_
ту (0 = а — ЬТ0 + Ы — (а — ЬТ0 — тУо) е Т° •
По формуле (2.2) определяем систематическую ошибку:
__ <_
,пЕ (/) = - ЬТ0 - (а - bTQ- m y^ е г° •
61
Для координатных функций yv (() имеем уравнения
7’oi/v+'/v = ef“v'; |
* = 0; |
</1( 0 ) = |i / - |
|
|
Uv(0) = 0; |
v =f=1, |
|
где D |
|
|
|
u i — |
|
|
|
Решение этого уравнения имеет вид |
|
||
Uv (0 = Jvl (0) е |
т . + |
_ _ |
— |
|
v = |
1, . . |
N |
Дисперсию переменной У0 |
(/) и ошибку Е° (t) вычисляют по формуле |
||
N
Dy(l)=DЕ (() = £ Dvyv (/) yv {t'). v=i
2.6. Метод интегрирования уравнений моментов
Рассматриваемый в данном параграфе метод статистического ис следования основан на использовании канонической формы записи уравнений динамических линейных нестационарных систем вида
П
(2.63)
(=1 (6 = 1 , . . . . п)
где Vk (t) — случайные коррелированные гауссовы белые шумы с отличными от нуля математическими ожиданиями и заданными ин тенсивностями Gkl (i). Для уравнений (2.63) должны быть заданы akl (t), bk (i) — известные функции времени и вероятностные харак теристики начальных условий. Метод состоит в определении теку щих значений математических ожиданий и корреляционных моментов координат системы на основании интегрирования уравнений для этих моментов. Дифференциальные уравнения для математических ожиданий и корреляционных моментов получаются из уравне ний (2.63) путем следующих преобразований.
Применим к уравнениям (2.63) операцию математического ожида ния, получим систему уравнений для математических ожиданий функций
|
П |
|
|
(2.64) |
= |
£ |
а/и (0 mUi + |
bk (0 " V |
|
|
t=l |
|
|
|
|
k |
= 1, . . ., |
n) |
|
Эти уравнения следует интегрировать при заданных начальных условиях: t = 0, myk (0), k = 1, . . ., п. Вычитая почленно из урав-
62