Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

Для вычисления дисперсии ошибки представим передаточную функцию (7.62) в следующем виде:

Дисперсию вычисляем по формуле (6.31), которая в данном слу­ чае принимает вид

Вычисляя этот интеграл с использованием таблиц приложения 2, получаем следующую формулу для дисперсии ошибки следящего фазометра:

2(1 + e _v) — k (1 — e- v )

При у 5 =4 можно пренебречь величиной экспоненты по сравне­ нию с единицей. Тогда формула (7.73) упрощается и принимает вид

Данная величина имеет минимум по коэффициенту усиления.

8.1. Стохастические системы

Динамические системы со случайным оператором преобразования входного сигнала называются стохастическими системами. К ним относятся системы, у которых случайным образом меняются сзязи между отдельными частями в зависимости от внешних условий или от вида и интенсивности входного сигнала: например, системы со случайно перестраиваемой структурой, некоторые биологические системы [54]. К ним также относятся системы с постоянной структу­ рой, но со случайными параметрами. Стохастические системы по­ следнего вида имеют важное практическое и теоретическое значение, так как к такой модели можно привести большое число автомати­ ческих устройств из-за неизбежного случайного разброса их пара­ метров. Это можно объяснить наличием допусков производства, не­ однородностью деталей и материалов, а также старением и износом элементов системы. Вследствие этого операторы однотипных систем получаются в некоторых пределах различными.

Оператор каждой конкретной системы данного типа является реализацией случайного оператора системы. Полагая оператор од­ номерной в общем случае нелинейной системы случайным, пред­ ставим выходную случайную функцию У (t) через входную случай­ ную функцию в виде

где Ах — случайный оператор.

Для многомерной системы, имеющей п выходных случайных пере­ менных Y . . ., У„ и т входных случайных функций Х г..........Х п , запишем

где А ‘Т— случайные операторы.

В общем случае случайные операторы АТ и А{ могут зависеть от входных сигналов.

Если система линейная и одномерная, то выходную переменную можно представить в виде

У (t) = Аг (t) X (т).

199

Соответственно для многомерной линейной системы выходные переменные выражаются через входные суммой

м

Y](t)= S 4 (О В Д -

/=1

(i = 1..........n)

Линейные стохастические системы линейны по отношению к вход­

ным переменным X t (t). Однако, если случайные операторы А х рас­ сматривать также как дополнительные входы, то системы оказы­ ваются нелинейными.

Для вероятностного анализа стохастических систем в общем слу­ чае необходимо иметь совместные законы распределения входных переменных и операторов. Только для линейной системы со случай­ ными операторами или случайными параметрами оснозная задача оценки точности может быть решена с использованием лишь мсментных характеристик для входных сигналов и операторов.

8.2. Корреляционные функции систем со случайным оператором

Рассмотрим общий случай нелинейной одномерной системы, для которой связь между выходной и входной переменными имеет вид выражения (8.1). Пусть известен закон распределения переменной X (t) и оператора Ах. Тогда математическое ожидание выходной пере­ менной получим, если к выражению (8.1) применим операцию мате­ матического ожидания:

где операция математического ожидания М должна быть взята по переменной X и случайному оператору Ах.

Корреляционную функцию переменной Y (I) вычисляют по фор­ муле

Ky {t, f) = М \АХ[t, X (т)] • Ах, [ГХ (т')]}- ти (t) ,пи (/'), (8.4)

где операция математического ожидания М применяется по перемен­ ным X (т), X (т') и операторам Ах и А х-, а чертой обозначены комплекс­ но сопряженные величины.

Формулы (8.3) и (8.4) можно легко обобщить на многомерный слу­ чай. Математическое ожидание и корреляционные функции пере­ менных для многомерных систем определяют по следующим форму­ лам:

=Xi (т), .. .,Хт(т)]);

Kyiiij (^i t ) = М [Ах [£, Xi (т), . . ., Хт(т)] X

X А‘Х' [/', Х ^ т ')........Х,п(х')\\ — mu.{i)my. (/').

(t, j = 1, . . ., я)

200

Перейдем к рассмотрению линейной одномерной системы, харак­ теризуемой, например, линейным интегральным оператором

Полагая g (t, т) и X (t) независимыми и применяя к выражению (8.5) операцию математического ожидания, при заданных математи­ ческих ожиданиях гпу (t, т), пгх (т) получим

Как частный случай формулы (8.4) для корреляционной функций выходной переменной Y (i) линейной системы имеем

Ку(*• Г) = 1 J {Щ (t, т) mg(/', т') Кх (т, т') +

тт

где Кх (т> "O'. Kg (t, т, t', т') — корреляционные функции соответ­ ственно функции X (I) и весовой функции g (t, т). Если входная слу­ чайная функция представляет собой белый шум интенсивности G (t) с корреляционной функцией Кх (т, "О = G (т) б (т— т'), то по фор­ муле (8.7) в частном случае получаем

Ку (t, t') = j G (x) [mg (t, т)me (t,'x) +

T

+ Kg (t, t, f , t)] dx -f- J | tnx (т)mx (t')Kg(t, t, f , t')dx-dx'. (8.8)

T T

Формулы (8.6)—(8.8) также легко обобщаются на многомерные си­ стемы, имеющие оператор вида

где gLi (t, х) — случайные весовые функции многомерной системы; Х[ (т) — случайные компоненты векторной входной функции системы.

будем считать коррелированными. Применим операцию математи­ ческого ожидания к выражению (8.9). В результате получим

Ш

201