Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

Для определения взаимных корреляционных функций

Если входные случайные функции X t (t) есть коррелированные между собой белые шумы, то из формулы (8.11) получим более про­ стое выражение, представляющее собой обобщение формулы (8.8):

+ Ke!pelq( х>*’’ х)[ dx + J J "hp (t ) mXq CO x

T T

X K RipZlg ^>T>Г’ Т') dT-dl:'J>

•где Gpq (x) — взаимные интенсивности белых шумов

Приведенные формулы дают возможность опредить также дис­ персии и корреляционные моменты выходных переменных, если по­ ложить в них ? = t.

8.3. Системы со случайными параметрами

Для~ описания работы реальных устройств широко используется модель динамических систем со случайными параметрами. Эта мо­ дель учитывает свойства инерции, ограничение скорости протекания процессов в системе и наличие флуктуирующих или постоянных, но случайных параметров. Примерами задач, для решения которых не­ обходимо использовать модель систем со случайными параметрами, являются исследование прохождения сигналов в каналах с флуктуи­ рующими характеристиками, оценка точности прецизионных изме­ рителей, работающих в условиях вибраций при учете конечной жест­ кости конструкции, анализ устойчивости инженерных сооружений с учетом конечной жесткости при действии случайных сил, исследо­ вание работы маятниковых устройств при ускорениях точки подвеса, изучение устройств как объектов контроля и т. п. Из приведенного, далеко не полного перечня задач очевидно, что модель систем со случайными параметрами является весьма общей, поэтому методы вероятностного анализа систем со случайными параметрами нахо­ дят широкое применение в практике инженерных расчетов.

202

При анализе систем со случайными параметрами рассматривают две модели. В первой модели параметры описываются как случай­ ные функции времени. Строго говоря, вместо термина «параметры» следует использовать в данном случае термин «параметрические возмущения», более точно отражающий сущность явлений. Если параметрические возмущения являются сомножителями переменных системы, то такие возмущения называют мультипликативными по­ мехами.

Во второй модели параметры системы рассматриваются как слу­ чайные величины. Возможен и смешанный случай, когда имеют место как случайные величины, так и параметрические возмущения.

Рассмотрим класс автоматических систем, описываемых нелиней­ ными дифференциальными уравнениями вида

коррелированными гауссовскими процессами, которые можно аппрок­ симировать белыми шумами с математическими ожиданиями mfk (t),

т% (t) и интенсивностями Gfkpq (t), G^h (t), Gf£jt (t). Если слу­

чайные функции Zik (i), Hk (t) не являются белыми шумами, а свя­ заны с ними дифференциальными уравнениями, то увеличением числа переменных и соответствующим увеличением числа уравнений вновь можно прийти к описанию системы в форме уравнения (8.12) (понятие формирующего фильтра см. гл. 2, п. 6).

Рассмотрим вначале случай, когда параметры системы фиксиро­ ваны, т. е. являются неслучайными. При этом условии выходные пере­ менные системы (8.12) образуют марковский случайный процесс.

Марковский случайный процесс имеет полное вероятностное опи­ сание в форме уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова [37]:

это уравнение определяет плотность вероятности f перехода, если начальным условием является 6-функция, или одномерную плотность вероятности переменных, если в качестве начального условия для уравнения (8.13) является плотность вероятности начальных значе­ ний переменных системы (8.12).

203

Полным вероятностным описанием системы (8.12) является также уравнение В. С. Пугачева относительно характеристической функ­ ций g переменных

П

В уравнениях (8.13), (8.14) величины A t называются коэффициен­ тами сноса (переноса). Эти коэффициенты определяются как скорости изменения условных математических ожиданий приращений пере­ менных системы (8.12):

Величины Btj в уравнениях (8.13), (8.14) называются коэффициен­ тами диффузии и определяются как скорости изменения условных корреляционных моментов приращений переменных системы (8.12):

Коэффициенты сноса и диффузии полностью определяют марков­ ский случайный процесс.

Вычислим коэффициенты сноса и диффузии уравнения (8.13), пользуясь уравнением (8.12) [26]. В соответствии с определением коэффициент сноса равен пределу отношения условного математиче­ ского ожидания приращения вектора координат к приращению

Функцию ф (* (Y (т)) м о ж н о выразить через ее значение в точке времени t и приращения. Представим компоненты векторного аргу­ мента нелинейной функции в виде

204

Предполагая дифференцируемость нелинейной функции и учиты­ вая, что при t ^ t At второй член аргумента мал, представим нелинейную функцию рядом Тэйлора, сохранив только линейный' член:

Значение дифференциала dYp получим из уравнения (8.12):

П( + A t

Вычислим условное математическое ожидание приращения i - й переменной при фиксированном значении вектора переменных в мо* мент t: Y (t) = у (t). В результате получаем

и I*

205

Поделив полученное выражение на At и перейдя к пределу при A t —>0, получим следующую формулу для /-й компоненты вектора сноса:

х 1Фр, (у) Gfkpq (0 +6wGfftS(/)] + 2 btk [i) т% (t). (8.23)

A=I

(t = 1 , 2 , . . . , /;)

Для вычисления i/-x компоненты матрицы коэффициентов диф­ фузии составим произведение A Y iA Y j, пользуясь соотношением (8.21). Применив к этому произведению операцию условного матема­ тического ожидания при фиксированном значении вектора коорди­ нат в момент t, поделив результат на А( и перейдя к пределу при At —> —>0, получим

П

( / , / = 1 , 2 , . . ., /г)

Полученные формулы для коэффициентов сноса и диффузии яв­ ляются точными, несмотря на то, что в разложении нелинейной функ­ ции в ряд Тэйлора учтен только линейный член. Если учесть допол­ нительно квадратичный член ряда, то при вычислении предела At —>О

поэтому формулы для коэффициентов сноса и диффузии принимают вид

206