Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 210
Скачиваний: 1
Таким образом, в автодальномере имеют место систематическая постоянная ошибки в измерении дальности.
Вычислим дисперсию ошибки измерения дальности. Поскольку полезная часть входного сигнала некоррелирозана с помехой, то дисперсия ошибки равна дисперсии выходного сигнала. Дисперсию выходного сигнала для установившегося режима вычислим по фор муле (6.31):
D>=> I К т ^ ) И ® Т Т 1 г ^ |
(7.36) |
|
где ¥ — передаточная функция, в которой вместо аргумента г стоит аргумент (1 + ig)/(l — г'£); Pd (l£) — преобразованное значение спектральной плотности входного возмущения,
P d (%) = f — S d |
1° i _ |
) • |
(7.37) |
Анализ корреляционной функции (7.27) показывает, что время корреляции входной помехи больше, чем типовой период повторения импульсов в автодальномере. В основном эта корреляция опреде ляется федингом. Расчет дисперсии выходного сигнала с использо ванием корреляционной функции (7.24) или (7.27) очень сложен. Поэтому рассмотрим простейший случай, когда входную помеху можно считать дискретным белым шумом с постоянной спектральной плотностью:
Sn H = - ^ 1, |
(7.38) |
где D — дисперсия импульсов.
В соответствии с формулой (7.37) преобразованное значение спек
тральной плотности в данном примере |
|
|
|
|
рd ^ = |
- L - |
|
<7-39) |
|
Подставляя выражения (7.31) |
и (7.39) в формулу (7.36), |
получаем |
||
А , = |
|
2 2D |
|
(7.40) |
|
2л |
1 + I2 |
||
+ (А-1) |
|
|||
|
|
|
||
Преобразуем подынтегральное выражение к виду, удобному для применения таблиц интегралов, приведенных в приложении 2. В ре зультате получаем
п _ 2 № |
° г ______________П-(ДГ-1 dt______________ |
/74П |
||
2л |
J [(tg)2 (2 — |
£) + 2 ( g + i : ] [(— / |)2 (2 — /?)— 2 ( | + |
£ ] ' 'Ч/ ' |
|
Используя |
интеграл / 3, |
для которого коэффициенты Ь0 |
=— i; |
|
bx = 1; а 0 = |
(2— /г); аг — 2; а.2 = |
k, получаем |
|
|
|
р |
kD |
kxk2D |
(7.42) |
|
U,J ~ |
2 — k ~ |
2 — kxk2 • |
|
|
|
|||
13 В . С. Пугачев |
193 |
Из данной формулы следует условие устойчивости дискретной системы: k < 2.
Второй начальный момент ошибки автодальпомера
„2^2
« е =■ k" |
kD |
(7.43) |
2 — к ' |
Средний квадрат ошибки при оптимальном значении коэффициента усиления k0 имеет минимум, который определяется путем дифферен
цирования соотношения (7.43) |
по /г и решения уравнения |
|
||
v-Tu |
, |
D |
(7.44) |
|
к* |
1 |
(2 — к)3 |
||
|
||||
Решая это кубическое уравнение, получаем оптимальное зна |
||||
чение коэффициента усиления. |
|
|
|
|
7.3. Следящий фазометр |
|
|||
Следящий фазометр представляет собой устройство для опреде ления угловых координат объектов в радиолокационных станциях. Функциональная схема следящего фазометра представлена на рис. 7.10 [411. Входным сигналом фазометра является последова тельность пакетов синусоидальных колебаний с частотой повторения импульсов, генерируемых передатчиком радиолокатора. Длитель ность пакета синусоидальных колебаний определяется числом при нятых импульсов в пачке. Пакеты синусоидальных колебаний про ходят через фазовращатель, который изменяет фазу сигнала в за висимости от угла отклонения диаграммы направленности радиоло катора от некоторого фиксированного положения. Таким образом, фаза входного сигнала является параметром, пропорциональным углу азимута или наклона положения цели в системе координат, свя занной с радиолокатором.
Структурная схема следящего фазометра, описывающая динами ческие свойства элементов, представлена на рис. 7.11. На этой схеме фазовый дискриминатор представлен в виде вычитающего устрой ства, импульсного п нелинейного элементов. Исполнительное уст ройство — электродвигатель — изображено на схеме в виде последо вательного соединения интегрирующего и апериодического звеньев. Фазовращатель на схеме представлен безынерционным звеном с ко эффициентом усиления k3. Выходной сигнал фазометра есть изме ренная фаза ф„ входного сигнала.
I------------------------------------------ 1
Рис. 7.10. Функциональная схема следящего фазометра
J94
Рис. 7.11. Структурная схема следящего фазометра
Для составления разностного уравнения, описывающего работу следящего фазометра, примем допущения:
длительность импульсов мала по сравнению с периодом их сле дования и фазовращатель за время импульса не поворачивается; двигатель отрабатывает выходную фазу в промежутки между
импульсами; система является линейной.
Уравнение в конечных разностях для фазового дискриминатора
как линейной системы имеет вид |
|
|
|
|
|
ыф [й] = ki |
(ср |
[/г] — ф„ |
[/г]). |
(7.45) |
|
Для интегратора |
|
|
|
|
|
«! [/г + 1] = |
ы, |
[/г] + /г.Щф [h] |
(7.46) |
||
и для апериодического звена |
|
|
|
|
|
и [h + 1] = и [A] e-v -f их [h + |
1] (1 — e~v), |
(7.47) |
|||
где у = T J T — отношение периода следования импульсов к постоян |
|||||
ной времени звена. |
|
|
|
|
|
Для фазовращателя |
|
|
|
|
|
Фп Hi] = kau [А]. |
|
|
(7.48) |
||
Чтобы исключить величину |
иг \1г + |
11 |
из уравнения |
(7.47), |
|
запишем это уравнение для /i-го такта: |
|
|
|
||
и [/г] = и [/г— 1] e-v + их[/г] (1 — e~v). |
(7.49) |
||||
Вычитая из выражения (7.46) соотношение (7.49), получаем |
|||||
и [h -f- 1] — и [/г] = |
(и [h]— и [/г — 1]) e~v -f- |
|
|||
+ (и, [h + 1] - |
их[/г]) (1 - |
|
e-v), |
(7.50) |
|
но разность выходных сигналов интегратора для двух соседних так тов в соответствии с уравнением (7.46)
ил [Н + 11 — и1 [/г] — А, иф [А] = |
|
= k xk a (ф [/г] — фи [А]). |
(7.51) |
Подставив это соотношение в формулу (7.50) и выполнив некото
рые преобразования, |
получим |
|
u[h-1- 1] —a [ft] (1 + e-v) + W[A— l]e~v = |
|
|
= |
kxk2(1 — e-v) (ф [/г] — ф„ [/г]). |
(7.52) |
13* |
1 9 5 |
Наконец, заменяя выходной сигнал апериодического звена на выходной сигнал фазовращателя с помощью соотношения (7.48), получаем следующее выражение:
Ф„ [Л + 1 ] + № (1 - е-19 - (1 + e - v )} Ф„ [/г] +
+ e-V(p„ [к - 1] = k (1 - |
e-v) Ф [h + |
1], |
(7.53) |
где введен обобщенный коэффициент |
усиления |
k = |
^х/г2^3. |
Приведем уравнение (7.53) к стандартной форме, сдвинув начало отсчета на один такт:
ф„ № + 2] + {А (1 — e -v ) — (1 + e - v ) } ср„ [к + 1 ] + e - v ср„ [к] = |
|
— /г (1 — e~v) ф [h -f- 1]. |
(7.54) |
Данное линейное уравнение второго порядка описывает динами ческие свойства следящего фазометра и связывает измеренное зна чение фазы с истинным значением этой фазы.
Для полного описания работы фазометра необходимо добавить в правую часть уравнения (7.54) к истинной фазе случайный сиг нал N [/г], характеризующий входные помехи:
Ф„ [Л + 2] + \k (1 - e - v ) - (1 + |
e -v)} |
Фи [к + |
1 ] + |
|
+ e-VcPlI [к] = /г(1 — e-v) {<р [к + |
1] + |
N [к + |
1]}. |
(7.55) |
Рассмотрим условия устойчивости фазометра, характеристиче ское уравнение которого имеет вид
а оФн \к |
2] + «хф,, 1к + |
1 ] |
+ |
|
+ а,сри [/г] = 0, |
|
|
(7.56) |
|
где а0 = 1; ах = k (1 — е~у) — (1 + e_v); а 3 = |
e-v. |
|
||
Критерий Рауса—-Гурвнца для дискретной системы второго ПО' |
||||
рядка дает условия устойчивости |
|
|
|
|
а0 + а1 + я 2 > 0 ; ао— ах + а 2 > 0; |
(7.57) |
|||
|
а0 — а 2 > 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
или, подставляя значения |
коэффициентов, |
получим |
|
|
1 + k (1 — e-v) — (1 + e-v) + e-v > 0; ' |
|
|||
1 — k (1 — e-v) + (1 -f e-v) + |
e-v > 0; |
(7.58) |
||
|
1— e -v > 0 . |
|
|
|
Первое условие соответствует положительности обобщенного коэффициента усиления. Последнее условие выполняется тожде ственно, если период повторения импульсов отличен от нуля, т. е. у > 0 . Из второго неравенства следует условие для коэффициента усиления:
k < 2 |
(1+е~У) |
(7.59) |
|
1- e-v |
|
196
Если период повторения импульсов более чем в 4 раза превосходит постоянную времени инерционного звена (у ^ 4), то можно не учи тывать динамические свойства этого звена. При этом e-v «=* 0 и условие устойчивости системы, содержащей импульсный -элемент с одним интегратором, имеет вид
k < 2. |
(7.60) |
Вычислим математическое ожидание ошибки в установившемся режиме. Вводя разностный оператор сдвига А на один такт, запишем уравнение фазометра (7.55) в операторной форме:
{Д2 + [/г (1 — e-v) — (1 + е-т)] A - f e-v} <ри = |
|
= /г (1 — е-v) А (ф + ЛО. |
(7.61) |
Осуществляя формальную замену разностного оператора на пара метр z, получаем передаточную функцию системы
я|) (г) = |
k (l — е v) z |
(7.62) |
|
[k (1 — e- v ) — (l + e_v)] z + e“ v |
|||
22+ |
|
Предположим, что полезный сигнал изменяется по линейному закону во времени
Ф = Фо + ФоЯТ’ п- |
(7.63) |
Производные входного сигнала
ф' = Фо’> ф" = 0. |
(7.64) |
Вычислим производные передаточной функции по г при г — 1:
¥ ( 1 ) = 1 ;¥ '( 1 ) = - 4 - |
(7-65) |
Требуемая передаточная функция и ее производныерассматри ваемой следящей системы соответственно равны:
Тт (1) = 1; 1Тт(1) = 0. |
(7.66) |
Вычисляя коэффициенты ошибок, получаем
С0 = 0; |
= |
(7.67) |
Используя соотношения (7.63), (7.64) и (7.67),поформуле (6.18) вычисляем математическое ожидание ошибки следящего фазометра:
(7.68)
Вычислим дисперсию ошибки, считая помеху дискретным белым шумом со спектральной плотностью:
SdN ( « > ) = ^ . |
(7.69) |
197