Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

ренциальных уравнений относительно моментов первого порядка переменных:

Здесь индекс /е заменен на i. Начальными условиями этого урав­ нения язляются математические ожидания переменных в начальный момент времени.

Для получения уравнений относительно вторых начальных мо-

делах. Проводя вычисления, аналогичные предыдущим, и изменяя индексы i = k, j = I, получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно вторых начальных мо­ ментов переменных системы:

где M — оператор математического ожидания, осредняющий пере­ менные системы. Начальными условиями системы (8.40) являются зна­ чения вторых начальных моментов переменных системы. Уравне­ ния (8.39), (8.40) являются обобщениями уравнений, полученных в [18].

Аналогично вычисляют моменты произвольного порядка. Вы­

Умножая обе части уравнения (8.33) на уг'у£ . . . угп и интегри­

руя по всем переменным в бесконечных пределах, получаем следую­ щую систему обыкновенных дифференциальных уравнений относи­ тельно смешанных начальных моментов iV-ro порядка:

где штрих над суммой означает отсутствие в ней членов при i = j. Уравнения (8.43) являются достаточно общими, сараведливыми для всех автоматических систем, для которых можно вычислить

коэффициенты сноса и диффузии. Из уравнений (8.43) следуют урав­ нения для первых и вторых начальных моментов. Полагая гк = О, при i =j=k и >'i = 1 из уравнения (8.43) получаем уравнения для пер­

вых начальных моментов: mi = aooo...r1.=i...oo = М [Л(.]. Анало­ гично можно получить уравнения для вторых начальных моментов: полагая гк = 0, при i =j= k и к ф j и = /у = 1 из уравнения (8.43) имеем

а ц = а оо...г£= 1.../-/= 1...оо = М [ ^ И / 4 “ ^ i^i ~Ь 2 5 £;-],

что соответствует уравнениям (8.40).

В установившемся режиме моменты переменных определяются системой уравнений (8.43), в которой следует положить равными нулю производные по времени. В результате получаем систему в об­ щем случае трансцендентных уравнений относительно смешанных моментов N-го порядка

Установившиеся значения моментов первого и второго порядка

определяются уравнениями (8.39), (8.40) при т1 = а £/- = 0.

Если нелинейные функции ср (у) могут быть представлены в виде степенных рядов

то коэффициенты сноса и диффузии, как это следует из формул (8.23), (8.31), будут также являться степенными рядами переменных. Учи­ тывая, что в уравнениях (8.43) коэффициенты сноса и диффузии ум­ ножаются на переменные и далее осредняются применением оператора математического ожидания, можно отметить, что моменты в правой части уравнения (8.43) будут более высокого порядка, чем в левой части. Для определения этих моментов необходимо записать новые дифференциальные уравнения соответствующего порядка. Однако они вновь будут зависеть от моментов еще более высокого порядка. Следовательно, для определения всех моментов необходимо соста­ вить бесконечную систему уравнений. Частный случай этой системы уравнений, соответствующий отсутствию мультипликативных воз­ мущений, получен В. С. Пугачевым [57].

Рассмотрим линейные системы. Подставив выражения для коэф­ фициентов сноса (8.25) и диффузии (8.26) в уравнение (8.43) и приме­ нив операцию математического ожидания, получим следующую си-

212

стему уравнений относительно смешанных начальных моментов N-to порядка [76]:

в системе отсутствуют мультипликативные возмущения, то из си­

Для моментов первого и второго порядка из системы (8.46) полу­ чаем

ft, <7=1

Анализ уравнения (8.48) показывает, что коррелированность ад­ дитивных и мультипликативных возмущений приводит к появлению

213

эффекта детектирования, т. е. при отсутствии математического ожи­ дания аддитизного возмущения = 0 математическое ожидание

выходного сигнала не равно нулю в установившемся режиме, а про­ порционально взаимной интенсивности аддитивных и мультиплика­ тивных возмущений. Таким образом, воздействие параметрических возмущений, коррелированных с аддитивными возмущениями, при­ водит к появлению систематических ошибок выходных переменных. Это явление в частности наблюдается в измерителях при недостаточ­ ной жесткости конструкции измерителя, в системах с переменной структурой и самонастраивающихся системах. Уравнения (8.48), (8.49) являются обобщением уравнений для моментов [79] на случай параметрических возмущений.

Возможность получения конечных систем уравнений относительно моментов для линейных систем дает основание применить стати­ стическую линеаризацию для нелинейных систем. При статисти­ ческой линеаризации необходимо знать только первые два момента переменных. Следовательно, уравнения для первых двух моментов образуют замкнутую систему. Представим нелинейную функцию разложением

щие от первых и вторых моментов переменных. Подставляя это вы­ ражение в формулы (8.24), (8.31) и далее подставляя коэффициенты сноса и диффузии в уравнения (8.39), (8.40) и применяя операцию

214

Нелинейные уравнения (8.51), (8.52) являются обобщениями урав­ нений для моментов [1]. Нелинейность уравнений (8.51), (8.52) обусловлена зависимостью параметров статистической линеаризации от первых и вторых моментов переменных.

Уравнения для начальных моментов переменных нелинейных автоматических систем имеют бесконечный порядок. Ограничить порядок этой системы уравнений каким-либо конечным значением не представляется возможным, поскольку значимость высших мо­ ментов, вообще говоря, ие уменьшается с увеличением порядка .мо­ мента.

Удобно построить систему уравнений относительно кумулянтов переменных. Число уравнений для кумулянтов в случае нелиней­ ных систем также будет бесконечным. Однако с увеличением номера кумулянта его значимость уменьшается, поскольку высшие куму­ лянты характеризуют отклонение закона распределения вероят­ ности от нормального. Для получения системы уравнений N-ro по­ рядка достаточно положить равными нулю кумулянты N + 1-го по­ рядка. Точность решения задачи анализа систем с параметрическими возмущениями можно оценить, если вычислить дополнительно N + 1-й кумулянт.

По определению, кумулянтом N-ro порядка случайного вектора

ческим ожиданием. Кумулянт второго порядка равен второму цен­ тральному моменту. Поэтому из уравнений (8.39), (8.40) получаем

Уравнения (8.54), (8.55) образуют совместную систему. Аналогичным образом можно получить кумулянты высших поряд­

ков. Так, для кумулянтов третьего порядка получаем следующее уравнение:

В данном уравнении производные по времени от кумулянтов первого и второго порядков в правой части можно исключить, поль­ зуясь уравнениями (8.54), (8.55).

215