Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 205

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

мальным значениям параметров; Уг = U т1— отклонение па­ раметра от оптимального значения; I — число параметров;

Bt = (даJdUi)m-, Си = 0,5 (PaldU, dU,)m.

Применяя к выражению (8.76) операцию математического ожи­ дания, получаем среднее значение второго условного начального момента

M[a(V)] = a ( m ) + £ CuK ih

(8.77)

г, i=i

 

где Кц — корреляционный момент связи i и /-го параметров.

Если

параметры некоррелированы, то из выражения (8.77) следует формула

M [a(V)] =

a ( w ) + S CuDt,

(8.78)

 

 

i=1

 

где D t — дисперсии

случайных параметров.

 

Из формулы (8.78)

следует,

что среднее значение второго началь­

ного момента больше его минимального значения а (т ). Действи- ' тельно, так как второй начальный момент ошибки имеет минимум, то в этой точке вторые производные являются положительными ве­ личинами Сн >■ 0. Дисперсии параметров также неотрицательные величины, поэтому сумма в (8.78) является положительной величи­ ной, что и доказывает неравенство М [a (V) ] > а (т).

Вычислим второй безусловный начальный момент критерия ка­ чества (8.76). Для этого возведем это выражение в квадрат и при­ меним операцию математического ожидания. В результате получаем

M [a2(K )]= a ’-(m )+ £

BtB,M [У£, V,] +

 

 

*. /=1

 

+

S

CijCkhM(VlViVkVh] +

i,

/. k, ft=1

 

 

+ 2a (m) % CUM [VtVf] +

. £

BfijkM [VtVjVk]. (8.79)

i. /=i

 

 

i, i,

*=1

Для нормального закона распределения вероятности параметров

имеют место

соотношения

 

 

 

М [ В

д

= 0;

м [Vtv y kv h] =

K u Kkh +

/с а + K ihK ik,

поэтому из

выражения (8.79) получаем

 

 

 

M [a2(F)] = a2(m) +

i,

£

+

 

 

 

 

/=1

 

+

 

S

с £/с ЛЙ[/с,-Дм +

а д *

+ Д /Д /,] +

 

 

/> й. л=1

 

 

 

 

 

 

+ 2a (m) £

С;Д г/.

(8.80)

 

 

 

/=1

 

 

221


При некоррелированных параметрах данная формула упрощается II принимает вид

i

 

I

М [ а 2 ( V ) ] = а (2т) + Е

Я ?А +

£{ С и С п + 2С 2и ) А А +

/=1

I,

/=Л

 

/

 

4 - 2а ( т ) S

C A

 

/=1

Дисперсию условного момента (8.76) получим вычитанием из соотношения (8.80) квадрата безусловного математического ожида­ ния. Возводя выражение (8.77) в квадрат и вычитая его значение из уравнения (8.80), получаем

Dа

 

1

 

 

I

 

. /=i

 

 

 

i

 

 

 

у

[KutKjh

K i h K j k \.

(8.82)

I-. /, к. /1=1Cifikh

 

 

Для некоррелированных параметров безусловная дисперсия

критерия качества

 

 

Da = S B)Dt

2 S

(8.83)

/ = 1

i, /=i

 

Ухудшение качества системы за счет случайного разброса пара­ метров можно оценить по увеличению средней квадратической ошибки, вычисляемой по формуле

1] = у М [а2 (У)] — а2 (т).

(8.84)

Эта величина характеризует только влияние разброса параметров.

. Изложенное показывает, что методы теории чувствительности заключаются в построении для критерия качества автоматической системы ряда Тэйлора и вычислении безусловных характеристик точности системы. Наибольшую сложность и трудоемкость при этом имеют способы вычисления коэффициентов В;, Си ряда Тэйлора. Изложению этих способов посвящен следующий параграф.

Выражение (8.76) в общем случае можно не рассматривать как ряд Тэйлора, и, следовательно, не обязательно трактовать коэффи­ циенты В;, Сц как частные производные от критерия качества по параметрам в точке разложения. Это выражение в общем случае можно считать одним из видов аппроксимации истинной зависимости критерия качества от параметров. Поэтому вычисление коэффи­ циентов аппроксимирующей функции будет зависеть от вида аппро­ ксимации.

Как известно, существуют следующие способы аппроксимации: аппроксимация в точке; аппроксимация в ряде точек и аппрокси­ мация в области [12, 61, 72].

При аппроксимации в точке истинная и приближенная функции совпадают точно только в одной выбранной точке. К этому виду аппроксимации и относится способ разложения критерия качества

222


в ряд Тэйлора по параметрам. Аппроксимация в ряде точек преду­ сматривает совпадение функций в нескольких, определенным обра­ зом выбранных точках (узлах). При аппроксимации в области истин­ ная и приближенная зависимости в определенной области измене­ ния аргумента отличаются не более чем на фиксированную величину. В следующем параграфе рассматриваются способы вычисления коэф­ фициентов разложения (8.76) при аппроксимации в одной точке.

8.7. Вычисление коэффициентов

Для вычисления коэффициентов выражения (8.76), рассматри­ ваемых как частные производные от критерия качества по параме­ трам, можно применить два способа. Первый из них заключается в дифференцировании по параметрам исходных уравнений автома­ тической системы. Полученные уравнения для частных производ­ ных переменных системы по параметрам следует рассматривать как дополнительные уравнения, описывающие работу автоматической системы. Для определения критерия качества и производных от него по параметрам можно применить изложенные ранее методы (см.

гл. 2, 4, 6 и 8).

Второй способ вычисления производных критерия качества по параметрам заключается в использовании приращений: производ­ ная приближенно равна отношению приращения функции к при­ ращению аргумента. Рассмотрим последовательно оба способа.

Пусть нелинейные автоматические системы описываются диффе­

ренциальными уравнениями

вида

 

 

 

 

 

Yt = v t (t,Y,

U ) +

Е М * . U )N ,■((),

 

(8.85)

 

 

 

 

i=i

 

 

 

где

У,- — переменные

системы;

<pt. (.) — нелинейные

функции,

дифференцируемые по вектору параметров U\

Ьц {t,

U) — коэффи­

циенты, дифференцируемые по вектору параметров U\

N,- (t) — вход­

ные

возмущения.

соотношение (8.85)

по k-му

параметру.

Продифференцируем

Меняя местами дифференцирование по времени и по параметру, получаем

d

dYt

_<3Ф,■(/, V, U)

,

\ л

.дЬц((, U)

д, /л

(8.86)

dt

' dUk

dUk

1

Z j

dUk

i K>

/=i

Данное уравнение необходимо решать при нулевых начальных условиях совместно с уравнением (8.85). Это следует из того, что производная нелинейной функции по параметру зависит от значения вектора переменной Y .

Продифференцируем уравнение (8.86) по /г-му параметру. В ре­ зультате получаем

d

d2Y t

д2Ф,- (t. К, V)

,

2

д2Ьц (t, U)

(8.87)

dt

' dUk dUh

dUk dUh

т

dUk dUh М О ;

 

 

 

 

i=i

 

 

223


это уравнение также зависит от переменных У., поэтому его необхо­ димо решать совместно с уравнением (8.85).

Для вычисления коэффициентов ряда Тэйлора необходимо знать значения производных в точке, соответствующей математическим ожиданиям всех параметров. Поэтому уравнения (8.85), (8.86), (8.87) решают совместно при математических ожиданиях параме­ тров Ui = mv

В частном случае линейных систем уравнение (8.85) принимает

вид

 

 

Y , = l 1ai i (t,U )Y j +

S Ьц (t, U) Nj (t).

(8. 88)

/=i

i=i■ '

 

Соответственно уравнения (8.86) и (8.87) преобразуются к сле­ дующему виду:

d

дУ;

V

*

и

г r\ dYi I

 

w

m

= L

a'iV. "> зщ +

 

п

 

/=i

 

 

 

 

 

U)

 

 

 

 

бац {t,

 

 

 

 

+ Е

dUk

 

 

 

 

 

/=i

 

 

 

 

 

 

d

&Yl

 

 

 

d2Yi

f

dt dUk dUh

/-i

'I '

' dUkdUn

 

п

дан (t, U)

- 2 - dUh

/= i

п

V

дац (i, U)

dUk

2 j

i=i

 

 

 

Li

д-ац (t, U) Y

,

 

'

dUkdUh

' _1~

 

 

/=i

 

 

d

_i_

V d"b‘i V ’ u \ N

■(t)

'h

i

LJ

dUkdUh

i [ >'

/=i

(8.89)

(8.90)

Из уравнений (8.89), (8.90) следует, что частные производные по параметрам можно рассматривать как выходные переменные неко­ торой дополнительной системы. Входными сигналами этой дополни­ тельной системы являются выходные переменные исходной автома­ тической системы. Если принять эту трактовку частных производ­ ных, то достаточно легко можно определить частные производные от моментов переменных автоматической системы с использованием изложенных в предыдущих главах методов анализа. Покажем это на примере первых двух моментов.

По определению математического ожидания имеем

тв1 (0 = MI Y, (*)],

(8.91)

где М — оператор математического ожидания. Дифференцируем это выражение по /е-му случайному параметру. В результате полу­ чаем

дтУ 1 - м

Гак''(/)1

(8.92)

dUk —

L dUk J

 

224