мальным значениям параметров; Уг = U — т1— отклонение па раметра от оптимального значения; I — число параметров;
Bt = (даJdUi)m-, Си = 0,5 (PaldU, dU,)m.
Применяя к выражению (8.76) операцию математического ожи дания, получаем среднее значение второго условного начального момента
M[a(V)] = a ( m ) + £ CuK ih |
(8.77) |
г, i=i |
|
где Кц — корреляционный момент связи i и /-го параметров. |
Если |
параметры некоррелированы, то из выражения (8.77) следует формула
M [a(V)] = |
a ( w ) + S CuDt, |
(8.78) |
|
|
i=1 |
|
где D t — дисперсии |
случайных параметров. |
|
Из формулы (8.78) |
следует, |
что среднее значение второго началь |
ного момента больше его минимального значения а (т ). Действи- ' тельно, так как второй начальный момент ошибки имеет минимум, то в этой точке вторые производные являются положительными ве личинами Сн >■ 0. Дисперсии параметров также неотрицательные величины, поэтому сумма в (8.78) является положительной величи ной, что и доказывает неравенство М [a (V) ] > а (т).
Вычислим второй безусловный начальный момент критерия ка чества (8.76). Для этого возведем это выражение в квадрат и при меним операцию математического ожидания. В результате получаем
M [a2(K )]= a ’-(m )+ £ |
BtB,M [У£, V,] + |
|
|
*. /=1 |
|
+ |
S |
CijCkhM(VlViVkVh] + |
i, |
/. k, ft=1 |
|
|
+ 2a (m) % CUM [VtVf] + |
. £ |
BfijkM [VtVjVk]. (8.79) |
i. /=i |
|
|
i, i, |
*=1 |
Для нормального закона распределения вероятности параметров
имеют место |
соотношения |
|
|
|
М [ В |
д |
= 0; |
м [Vtv y kv h] = |
K u Kkh + |
/с а + K ihK ik, |
поэтому из |
выражения (8.79) получаем |
|
|
|
M [a2(F)] = a2(m) + |
i, |
£ |
+ |
|
|
|
|
/=1 |
|
+ |
|
S |
с £/с ЛЙ[/с,-Дм + |
а д * |
+ Д /Д /,] + |
|
|
/> й. л=1 |
|
|
|
|
|
|
+ 2a (m) £ |
С;Д г/. |
(8.80) |
|
|
|
/=1 |
|
|
При некоррелированных параметрах данная формула упрощается II принимает вид
i |
|
I |
М [ а 2 ( V ) ] = а (2т) + Е |
Я ?А + |
£{ С и С п + 2С 2и ) А А + |
/=1 |
I, |
/=Л |
|
/ |
|
4 - 2а ( т ) S |
C A |
|
/=1 |
Дисперсию условного момента (8.76) получим вычитанием из соотношения (8.80) квадрата безусловного математического ожида ния. Возводя выражение (8.77) в квадрат и вычитая его значение из уравнения (8.80), получаем
Dа |
|
1 |
|
|
I |
|
. /=i |
|
|
|
i |
|
|
|
у |
[KutKjh |
K i h K j k \. |
(8.82) |
I-. /, к. /1=1Cifikh |
|
|
Для некоррелированных параметров безусловная дисперсия
критерия качества |
|
|
Da = S B)Dt |
2 S |
(8.83) |
/ = 1 |
i, /=i |
|
Ухудшение качества системы за счет случайного разброса пара метров можно оценить по увеличению средней квадратической ошибки, вычисляемой по формуле
1] = у М [а2 (У)] — а2 (т). |
(8.84) |
Эта величина характеризует только влияние разброса параметров.
. Изложенное показывает, что методы теории чувствительности заключаются в построении для критерия качества автоматической системы ряда Тэйлора и вычислении безусловных характеристик точности системы. Наибольшую сложность и трудоемкость при этом имеют способы вычисления коэффициентов В;, Си ряда Тэйлора. Изложению этих способов посвящен следующий параграф.
Выражение (8.76) в общем случае можно не рассматривать как ряд Тэйлора, и, следовательно, не обязательно трактовать коэффи циенты В;, Сц как частные производные от критерия качества по параметрам в точке разложения. Это выражение в общем случае можно считать одним из видов аппроксимации истинной зависимости критерия качества от параметров. Поэтому вычисление коэффи циентов аппроксимирующей функции будет зависеть от вида аппро ксимации.
Как известно, существуют следующие способы аппроксимации: аппроксимация в точке; аппроксимация в ряде точек и аппрокси мация в области [12, 61, 72].
При аппроксимации в точке истинная и приближенная функции совпадают точно только в одной выбранной точке. К этому виду аппроксимации и относится способ разложения критерия качества
в ряд Тэйлора по параметрам. Аппроксимация в ряде точек преду сматривает совпадение функций в нескольких, определенным обра зом выбранных точках (узлах). При аппроксимации в области истин ная и приближенная зависимости в определенной области измене ния аргумента отличаются не более чем на фиксированную величину. В следующем параграфе рассматриваются способы вычисления коэф фициентов разложения (8.76) при аппроксимации в одной точке.
8.7. Вычисление коэффициентов
Для вычисления коэффициентов выражения (8.76), рассматри ваемых как частные производные от критерия качества по параме трам, можно применить два способа. Первый из них заключается в дифференцировании по параметрам исходных уравнений автома тической системы. Полученные уравнения для частных производ ных переменных системы по параметрам следует рассматривать как дополнительные уравнения, описывающие работу автоматической системы. Для определения критерия качества и производных от него по параметрам можно применить изложенные ранее методы (см.
гл. 2, 4, 6 и 8).
Второй способ вычисления производных критерия качества по параметрам заключается в использовании приращений: производ ная приближенно равна отношению приращения функции к при ращению аргумента. Рассмотрим последовательно оба способа.
Пусть нелинейные автоматические системы описываются диффе
ренциальными уравнениями |
вида |
|
|
|
|
|
Yt = v t (t,Y, |
U ) + |
Е М * . U )N ,■((), |
|
(8.85) |
|
|
|
|
i=i |
|
|
|
где |
У,- — переменные |
системы; |
<pt. (.) — нелинейные |
функции, |
дифференцируемые по вектору параметров U\ |
Ьц {t, |
U) — коэффи |
циенты, дифференцируемые по вектору параметров U\ |
N,- (t) — вход |
ные |
возмущения. |
соотношение (8.85) |
по k-му |
параметру. |
Продифференцируем |
Меняя местами дифференцирование по времени и по параметру, получаем
d |
dYt |
_<3Ф,■(/, V, U) |
, |
\ л |
.дЬц((, U) |
д, /л |
(8.86) |
dt |
' dUk |
dUk |
1 |
Z j |
dUk |
i K> |
/=i
Данное уравнение необходимо решать при нулевых начальных условиях совместно с уравнением (8.85). Это следует из того, что производная нелинейной функции по параметру зависит от значения вектора переменной Y .
Продифференцируем уравнение (8.86) по /г-му параметру. В ре зультате получаем
d |
d2Y t |
д2Ф,- (t. К, V) |
, |
2 |
д2Ьц (t, U) |
(8.87) |
dt |
' dUk dUh |
dUk dUh |
т |
dUk dUh М О ; |
|
|
|
|
i=i |
|
|
это уравнение также зависит от переменных У., поэтому его необхо димо решать совместно с уравнением (8.85).
Для вычисления коэффициентов ряда Тэйлора необходимо знать значения производных в точке, соответствующей математическим ожиданиям всех параметров. Поэтому уравнения (8.85), (8.86), (8.87) решают совместно при математических ожиданиях параме тров Ui = mv
В частном случае линейных систем уравнение (8.85) принимает
вид |
|
|
Y , = l 1ai i (t,U )Y j + |
S Ьц (t, U) Nj (t). |
(8. 88) |
/=i |
i=i■ ' |
|
Соответственно уравнения (8.86) и (8.87) преобразуются к сле дующему виду:
|
d |
дУ; |
V |
* |
и |
г r\ dYi I |
|
|
w |
m |
= L |
a'iV. "> зщ + |
|
|
п |
|
/=i |
|
|
|
|
|
|
U) |
|
|
|
|
|
бац {t, |
|
|
|
|
|
+ Е |
dUk |
|
|
|
|
|
|
/=i |
|
|
|
|
|
|
|
d |
&Yl |
|
|
|
d2Yi |
f |
|
dt dUk dUh |
/-i |
'I ' |
’ |
' dUkdUn |
|
|
п
дан (t, U)
- 2 - dUh
/= i
п
|
|
Li |
д-ац (t, U) Y |
, |
|
' |
dUkdUh |
' _1~ |
|
|
/=i |
|
|
d |
_i_ |
V d"b‘i V ’ u \ N |
■(t) |
'h |
i |
LJ |
dUkdUh |
i [ >' |
/=i
Из уравнений (8.89), (8.90) следует, что частные производные по параметрам можно рассматривать как выходные переменные неко торой дополнительной системы. Входными сигналами этой дополни тельной системы являются выходные переменные исходной автома тической системы. Если принять эту трактовку частных производ ных, то достаточно легко можно определить частные производные от моментов переменных автоматической системы с использованием изложенных в предыдущих главах методов анализа. Покажем это на примере первых двух моментов.
По определению математического ожидания имеем
тв1 (0 = MI Y, (*)], |
(8.91) |
где М — оператор математического ожидания. Дифференцируем это выражение по /е-му случайному параметру. В результате полу чаем
дтУ 1 - м |
Гак''(/)1 |
(8.92) |
dUk — |
L dUk J |
|