Поскольку производная в правой части есть выходная перемен ная системы (8.86), решаемой совместно с системой (8.85) [или соот ветственно систем (8.88), (8.89)], то математическое ожидание можно вычислить на основе изложенных выше методов. Аналогично опреде ляют вторую производную математического ожидания по k-му и /г-му параметрам:
|
д-'п!П ( 0 |
м Г d-Y; ( 0 1 |
(8.93) |
|
dUk dUh |
L dUk dUn . |
|
|
Рассмотрим производные от ij-го корреляционного момента пе ременных:
дв |
|
|
|
|
о |
< |
|
LL |
= М |
__i уО |
|
I уи |
dUk |
(8.94) |
dUk |
|
дик г ' |
"Г r i |
|
Вторые производные |
|
|
|
|
|
д Ю ц _ М |
Г э-уЧ |
|
V» |
дУЧ |
дУ°. |
дик dUh |
dUk |
L.+ |
дик дик |
|
|
dUh |
|
|
дУЧ |
дУЧ |
|
д2У°, |
(8.95) |
+ |
_ |
__ L _1_ V - |
________ |
dUk ' |
dUk Г |
1 |
dUk dUn |
Производные от выходных переменных системы есть переменные дополнительных систем. Поэтому моменты первого и второго поряд ков по формулам (8.92)—(8.95) вычисляют точно так же, как и для обычных автоматических систем, описание работы которых дается уравнениями (8.85), (8.86), (8.87) и уравнениями (8.88), (8.89), (8.90)
для линейных систем.
Применительно к нелинейным системам с использованием методов статистической линеаризации и уравнений для моментов данная процедура рассмотрена в [25]. Для линейных систем с использова нием метода весовых функций процедура вычисления частных про изводных от моментов по параметрам разработана в [24].
Рассмотрим теперь основанный на приращениях способ вычисле ния производных от моментов по параметрам. Для определенности рассуждения проведем для второго начального момента, представ
ленного формулой |
|
|
|
|
|
a(V) = a(m) + £ |
BiVi + |
' S |
C^V.Vj, |
(8.96) |
/=1 |
_ |
i. /=1 |
|
|
где V[ = Ut — 'ml — центрированные значения |
параметров. |
|
Дадим k-му параметру приращение |
Vk = |
Аь |
а остальные па |
раметры будем считать равными своим математическим ожиданиям.
Обозначим |
значение второго |
начального |
момента, |
вычисленного |
с учетом приращения только одного k-vo параметра, |
через a (А*). |
Очевидно, |
что формула |
(8.96) |
для |
этой величины примет вид |
|
а (А*) |
= а (т) + |
Вк Ак + |
Скк А*. |
(8.97) |
Далее дадим этому k-му параметру отрицательное приращение
—Ak и вычислим второй начальный момент при математическом ожи дании всех остальных параметров. В соответствии с формулой (8.96) будем иметь
а (—д а) = а М — Bk Ak + Ckk д а- |
(8.98) |
Вычитая из равенства (8.97) соотношение (8.98) и деля получен ную разность на удвоенное приращение, получаем величину коэффи циента
|
Вь |
а (Д^) — « ( — Дк) |
(8.99) |
|
2Л* |
|
|
|
Если имеется алгоритм вычисления второго начального момента при фиксированных значениях параметров, то правая часть соотно шения (8.99) определяется двукратным повторением вычислений величины а при положительном и отрицательном приращении k-то параметра.
Для определения коэффициентов Ckk необходимо сложить ра венство (8.97), (8.98), из полученной суммы вычесть 2а (пг) и резуль тат поделить на удвоенное приращение:
_ а (Ак) + « (—Aft) — 2а ("О
Скк — 2Д*
Нетрудно показать, что коэффициент Ckh можно формуле
а (Ак , А;,) — а ( Ak) — « (Ah) - f а М
ГиА/1— 2А/[Ал
(8. 100)
вычислить по
( 8. 101)
Формулы (8.99), (8.100), (8.101) дают приближенные значения производных. Точность вычисления зависит от вида функциональной зависимости второго начального момента от параметров и величины приращения Ак. Обычно в качестве приращения берут величину среднего квадратического отклонения параметров. Существуют ре комендации по выбору величины приращения, равной двум средним квадратическим отклонениям [48].
Рассмотренный способ определения производных достаточно эффективен как по точности вычисления, так и по его трудоемкости, поэтому он получил широкое распространение на практике.
8.8. Применение статистической линеаризации
Случайные параметры входят в систему, как правило, неадди тивно. Поэтому, как было уже сказано, система со случайными па раметрами является нелинейной. Предположим, что уравнения ее движения приведены к виду
(/г = 1, . . ., п)
|
|
|
|
|
|
где фА— в общем случае |
произвольные |
нелинейные |
функции; |
Ук — переменные системы; |
0 — случайные параметры |
(величины); |
Хк (t) — случайные |
функции — белые |
связанные шумы со взаим |
ными корреляционными |
функциями |
|
|
|
' KXpXq (t, t ) |
= М [Х°р (0 X°q (Г)] = |
Gpq (t) б ( t - t ) . |
: |
{р, q = \ , . . |
п) |
|
|
Для анализа рассматриваемых систем, имеющих гладкие диффе ренцируемые нелинейности, может быть применен метод обычной линеаризации. При наличии в системе существенных нелинейно стей следует воспользоваться методом статистической линеаризации. Однако все методы линеаризации при наличии множительных эле ментов дают удовлетворительные результаты при малых уровнях дисперсий случайных параметров.
Применим статистическую линеаризацию нелинейностей. На основании формулы для многомерной нелинейности запишем
Ф а = Фа о + t |
k kiY°i + S lkhVh, |
(8.103) |
;=i |
/i=i |
|
(k |
n) |
|
где Vh — Uh — tnh — отклонение |
случайного параметра |
от сред |
него значения. |
|
|
Согласно формулам статистической линеаризации статистические
характеристики cpA0 и коэффициенты kki |
зависят от вероятностных |
моментов первого и второго порядков входных функций |
Y к и слу |
чайных параметров |
Vk: |
|
|
|
|
|
|
ф*о |
= Фао (*, |
ту, т „ , |
0, |
Q, |
£>); |
(8.104) |
|
&А,’ |
kki |
Шу* |
Q» |
k)), |
|
^A/i |
^ А Л ( ^ » |
Mm |
Q » |
D), |
|
где my, tnu— совокупность математических ожидании |
переменных |
Y, |
U, а 0 и Q — матрицы корреляционных моментов связи перемен |
ных Y и U\D — матрица корреляционных моментов связи случайных |
параметров U. В формулах (8.104) приняты следующие обозначения |
для |
вероятностных |
моментов: |
|
|
|
|
|
myk(t) = M[Yk (t)Y, т и/ = |
М[Д,]; |
|
|
Qpq(t) = |
М [Y°p (t) Y'q (/)]; |
Dvh= |
M [VvVH]\ |
|
Qvl (t) = M [VvY°i (/)].
Моменты mul и Dvh должны быть заданы. Подставляя выражения (8.103) в уравнения (8.102) получим систему
Yk = фас + S kkiY°i + S hhVh + Х к. |
(8.105) |
i= l |
h= 1 |
|
(к = |
1........п) |
|
Применяя операцию математического ожидания, из системы (8.105) выделяем уравнения для математических ожиданий переменных:
тУк = |
ср/;0 + |
т.ч.. |
(8.106) |
(/е = |
1, .... |
п) |
|
Вычитая почленно уравнения (8.106) из уравнения (8.105), полу чим линейные уравнения для центрированных составляющих:
y°k — \ j kkiYi |
/1=1 |
I k h V h X k ’ |
(8.107) |
i=l |
|
|
(k= 1, • • •> п)
На основании системы уравнений (8.107) можно получить уравне ния для корреляционных моментов 0/,,р, Qvl. Для этого воспользуемся процедурой преобразования, уже примененной в гл. 2, п. 6. В ре зультате получим
п I "1
[kitflip + kpfiik] + |
/1=1 |
UkhQhp + lphQ.hk\ + Gkp, |
i= I |
n |
l |
|
(8.108) |
|
|
|
Q v k — |
iLl k k iQ k i + |
ll=i |
k t P v h ■ |
|
i—\ |
|
|
(k, p = |
1 ,.. ., П, |
v = |
1, . . ., t) |
Присоединяя к уравнениям (8.107), (8.108) формулы (8.104), получим систему уравнений для определения математических ожи даний и корреляционных моментов переменных Yк. Интегрируя их при заданных начальных условиях, определяем искомые вероят ностные характеристики.
Линеаризованная система уравнений (8.107) позволяет также со ставить уравнения для корреляционных функций переменных. Эти уравнения могут быть составлены аналогично тому, как это сделано в гл. 2, п. 6 или в гл. 4, п. 5.
Уравнения (8.106) и (8.108) могут быть использованы для оценки устойчивости решений для моментов.
Если в системе существует установившийся режим, то постоянные значения вероятностных моментов для этого режима можно опреде лить из уравнений (8.106) и (8.108), если приравнять их правые части к нулю. В результате получим систему нелинейных (8.106) и линей ных (8.108) уравнений для моментов. Их решение может быть полу чено любыми известными способами.
Уравнения (8.107) могут быть использованы также для определе ния спектральных плотностей переменных Yk в установившемся
режиме на основании |
формул |
|
Ч и = |
Ц |
CV , М (IV v (-»■“>) %> |
(8-109) |
|
/./=1 |
|
где Ф|/Ад-г (/со)— частотная характеристика системы от входа |
х1 к вы |
ходу Ук> определяемая |
по |
уравнениям (8.107). |
|
Г л а в а 9 |
С Т О Х А С Т И Ч Е С К И Е СИСТЕМ Ы |
9.1. Формирующий фильтр
Рассмотрим задачу построения формирующего фильтра, обеспечи вающего получение случайного процесса с одномерной плотностью вероятности, принадлежащей к классу зависимостей, описываемых уравнением Пирсона [62], Как известно [39], класс законов распре деления вероятности, описываемых уравнением Пирсона, очень ши рок и включает следующие законы: нормальный, %2, Стьюдента, Фишера, Парето, бэта и др.
Формирующий фильтр описывается линейным дифференциальным
уравнением первого порядка |
|
Y + (а + Z (t)) Y = kN (t). |
(9.1) |
Входными сигналами фильтра являются случайные функции Z (t) и N (^-гауссовскйе коррелированные белые шумы с математическими ожиданиями mz (i), mN (t), интенсивностями Gz, GN и взаимной интенсивностью GZN.
Покажем, что выбором значений интенсивностей белых шумов можно получить случайный процесс Y (t) с одномерной плотностью вероятности, принадлежащей семейству кривых Пирсона. Для этого вычислим коэффициенты сноса и диффузии и составим уравнение для плотности вероятности выходной переменной уравнения (9.1).
В соответствии с формулами (8.25) и (8.26) для |
данного |
случая |
а1Х = —a; Z1X = —Z; |
Ьц = к, при этом получаем |
|
А1 = — (а-\- |
---- g -G ^ + |
lfem"; |
(9.2) |
2 5 г1 = |
Gzy2 — 2kGZNy + k2GN. |
|
(9.3) |
Из этих формул следует, что апериодическое звено, описываемое уравнением (9.1), является примером физической системы, для ко торой коэффициент сноса является линейной функцией переменной у, а коэффициент диффузии — квадратичной функцией этой же пере
менной |
[37]. |
|
|
|
|
|
Подставляя коэффициенты сноса и диффузии в уравнение (8.13) |
для одномерной плотности вероятности, получаем |
|
§ |
■ |
= |
{ [ |
( |
“1e z +) ■y ™z+ 4—- kг a z “ |
|
|
|
+ - r : i p - |
I P |
V - 2W y + Ж » 1f\. |
(9.4) |
