Рассмотрим установившееся решение этого уравнения при dfldt = 0. Полагая, что при бесконечном значении аргумента одно мерная плотность вероятности и ее производная обращаются в нуль, получим из выражения (9.4) линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно стационарного значения плотности
вероятности, которое представляет собой уравнение |
|
Пирсона: |
|
|
0. |
|
(9.5) |
Решение уравнения (9.5) имеет вид |
|
|
(9.6) |
f(y, |
оо) — С ехр |х (*/)}, |
|
где С — нормировочная |
постоянная, а |
функция |
|
|
а+ш/ |
+ 2 km" ■ |
|
.ZN |
In 12В, |
k (а + mz ) G |
X |
,Gzu — kGZN
к (у) -■ |
|
|
x г г arclg |
v t |
при A > |
0 |
а+нЦ |
|
|
(9.7) |
|
|
|
k (a + mz ) G'ZN |
|
In I 2B, |
a* |
|
km" |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
X Gz y — kGZN |
при A = 0, |
где |
|
A = k2 {GNGZ — GZN). |
|
|
(9.8) |
|
|
|
|
Общий вид графика плотности вероятности при |
А >• 0, |
tnN = |
= mz = 0, |
GZN > 0, |
а > |
0 приведен на рис. 9.1. |
Функция |
имеет |
максимум, |
смещенный в |
область |
отрицательных |
у |
при GZN >• 0 |
и положительных у |
при GZN < 0 . |
При |
уменьшении |
корреляцион |
ной связи между аддитивным и мультипликативным возмущением происходит деформация кривой распределения и при GZN = 0 максимум расположен в точке у — 0 (см. рис. 9.2).
Несимметрия кривой плотности вероятности при GZN =j=0 при водит к появлению математического ожидания переменной у. С физи ческой точки зрения это объясняется нелинейным эффектом детекти рования, возникающим в линейной системе с аддитивным и мульти пликативным возмущением при наличии корреляции между ними.
Рис. 9.1. График плотности вероят |
Рис. 9.2. График плотности |
ности |
вероятности |
Вычислим моменты выходной переменной уравнения (9.1).
Используя уравнение |
(8.48), |
получаем |
|
ту = — (а + |
т2 ■— |
G2 ^ ту ---- -- kG2N + kmN. |
(9.9) |
Интегрируя это уравнение при математическом ожидании началь ного условия тУо, получаем
ту (/)
а + г г г -----<Зг |
|
+ тУое—^a+ni2—-^- G2) |
(9.10) |
Из данной формулы следует, что фильтр является устойчивым |
по математическому ожиданию, если а + mz > |
Gzl2. При а + mz = |
= Gz/2 математическое ожидание стремится к бесконечности со
скоростью, равной GZN. При а + mz > |
Gz /2 математическое ожи |
дание в установившемся режиме |
|
k[mN----YX Gzn) |
ту |
(9.11) |
а + т2 -----Y |
Gz |
Непосредственно из данной формулы определяем смещение ма тематического ожидания, обусловленное взаимной корреляцией возмущений:
2 {a + т2 ) — Gzn '
При отсутствии взаимной корреляции между мультипликатив ным и аддитивным возмущениями (GZN = 0) установившееся зна чение математического ожидания пропорционально математическому ожиданию аддитивного возмущения:
т„ |
kmЛ |
(9.13) |
|
|
а + ,п2 — L |
а 2 |
Составим уравнение для второго начального момента, пользуясь соотношением (8.49). Для рассматриваемого примера получаем
ау = — [2 (а + т2) — 2G2]ay -\- 3k {mN — 2GZN) my + k2GN. (9.14)
Интегрируя это уравнение с учетом начального условия а Уо и значения математического ожидания, получаем
ау (t) = с ^ е - I2 (а+"‘2) -2G2] <+ (1 — е - f2 («+"‘z) -™z] ‘) х
к2Gn (^a + mz -----+ 2/г2 (//rv — 2GZ,V) mN + /e2Gzw=
^[2 (a + /nz ) — 3Gz ] [a -f- mz — Gz \
A a+mZ— |
e- t2 (a+mz)-2G2) t |
X |
SkGZlV — 2kmN |
/г |
GZN- m N ) |
(9.15) |
1ПУа + |
|
X |
|
a + niz ----Gz |
a + m z - - i - Gz |
|
Из решения следует, что фильтр является устойчивой системой относительно второго начального момента, если а + mz >> Gz. Таким образом, требования устойчивости по второму начальному моменту являются более жесткими, чем по математическому ожи данию. Из устойчивости по второму начальному моменту следует устойчивость по математическому ожиданию, но не наоборот.
Для установившегося режима уравнение (9.15) имеет вид
|
k2GN ( a + |
rnz - - 1 |
о* ) + 2/e2 (mN - 2GZN) mN + -J - /rGz 'v= |
|
|
2 [(a + |
tnz) — Gz] a -|- mZ |
-4- Gz |
|
|
|
|
(9.16) |
При |
отсутствии |
взаимной корреляции |
возмущений (Gz,v = 0) |
второй |
начальный |
момент |
|
|
|
а г |
|
|
|
|
2GN ( a + n i z -----i- G z ) + 2 * V '* |
|
|
|
|
(9.17) |
|
|
2 (a ■ |
— Gz ) (a + m ± G Z ' |
Наконец, при отсутствии мультипликативного возмущения по
лучаем известное |
соотношение |
т'N2 |
|
|
|
|
|
(9.18) |
|
ау — Ь2\ |
2а |
|
|
|
|
Начальный момент А^-го порядка при |
mz == mN = |
0 |
<i;V+ N [а - |
~ G Z) aN = —N [ n - |
- i - )k G ™ |
+ |
|
+ N{N~ |
l)- k 2G»aN_2. |
(9.19) |
Из уравнения (9.19) следует условие устойчивости для момента jV-го порядка; а > NGz/2. Это условие является более жестким, чем условия на моменты первого и второго порядков, при которых N = 1 и N — 2 соответственно.
В установившемся режиме из уравнения (9.19) получаем рекур рентное соотношение между начальными моментами
|
aN — |
( N — 1) lt2GNa,у_2 — (21V — 1) kGZNaN_1 |
(9.20) |
|
2a — NGZ |
|
|
|
Составим уравнения для кумулянтов, рассмотрев частный слу
чай tnz = mN = |
0. Первый кумулянт равен математическому ожи |
данию |
« х = ту. |
Второй |
кумулянт |
есть дисперсия, поэтому |
|
|
|
|
«и = Dу = ау — ту2. |
(9.21) |
Для |
установившегося |
режима |
имеем |
|
|
|
|
■ |
|
|
|
|
(9.22) |
При |
GZN = |
0 дисперсия выходной переменной |
|
|
|
|
Хц = |
k2GN |
|
(9.23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( » |
- ^ |
г ) ‘ |
|
Вычислим |
установившееся значение |
третьего кумулянта. |
Под |
ставляя в уравнение (8.56) выражения (9.2) и (9.3) для коэффициентов
сноса |
и диффузии |
и приравнивая |
производную к нулю, |
получаем |
М |
■3 (я — 4 “ |
) I/3 — 4 - |
+ 3 (GV — 2GZNkif + k2GNy)\ = |
|
|
= - j f [«i («и + |
«1) + 2«i«n]. |
(9.24) |
Применяя операцию математического ожидания и учитывая сле дующие соотношения между начальными моментами и кумулянтами:
ту = щ; ау = «? + хи; а 3 = %\ + 3«i«n + «ш, (9.25)
получаем
3(-|-GZ — я) («? — 3«1«ц + «ш ) —
------- k («1 + «и) GZN + 3^2Gw«i = 3ту («п — «?) + Зщау.
(9.26)
Заменяя ту и ау выражениями, вытекающими из соотношений (9.9), (9.14) и преобразовывая, получаем формулу для третьего ку мулянта:
|
k3GZN |
-GZN*— 3Gz GnY |
(9.27) |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
