Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

образований входного сигнала, например для экстраполяции, диф­ ференцирования и т. д. Для экстраполятора Ут (/) = 5 (t + Т), а для дифференциатора Кт (/) = S' (i). В общем случае линейного преобразования требуемый выходной сигнал выражается формулой

торые известные функции. Если форма сигнала известна, то N — 1. Функции фг (t) выражаются через соответствующие функции срг (/) различными формулами в зависимости от конкретной задачи. Так,

случаях функции фг (Г) определяются иначе. Так, например, полез­ ный сигнал на входе схемы выделения сигналов ошибок радиолока­ тора, предназначенного для измерения координат самолетов, опре­ деляется формулой

где со0—-частота сканирования. В данном случае

ср: (t) = sin сo0i, ср. (t) = cos со0t.

Требуемый выходной сигнал этой схемы представляет собой вели­ чину Uг в одном канале и U2 в другом канале, так как эти величины пропорциональны отклонениям луча локатора от самолета в двух ка­ налах. Поэтому в данном случае фх (t) — 1, ф2 U) = 0 для одного канала и фх (/) = 0, ф2 (t) = 1 для другого канала.

Задача определения оптимальной системы для заданного преобра­ зования полезного сигнала решается совершенно так же, как задача фильтрации. Оптимальная система и в этом случае преставляет собой параллельное соединение согласованных фильтров, соответствующих различным компонентам полезного входного сигнала, с подключен­ ными к их выходам усилителями. Однако коэффициенты усиления выходных сигналов согласованных фильтров в случае преобразова­ ния сигнала будут другими, так как в выражении ошибки системы вместо функций cpr (t) будут фигурировать функции фг (t). Вследствие этого уравнения для определения оптимальных значений коэффициен­ тов усиления выходных сигналов согласованных фильтров будут отличаться от соответствующих уравнений, рассмотренных в пре­ дыдущих двух параграфах, тем, что вместо функций cpr (t) в них будут функции фг (t) .Точно так же все формулы для ошибок системы будут отличаться от соответствующих формул преды­ дущих двух параграфов, тем, что вместо функций cpr (t) в них будут функции фг (t). Таким образом, для определения коэффи­ циентов усиления выходных сигналов согласованных фильтров и для нахождения ошибок оптимальной системы преобразования си­ гнала следует в формулах (10.12), (10.13), (10.16), (10.17) заменить

271

функцию ср (t) функцией ф (i), а в формулах (10.33), (10.35), (10.36), (10.37), (10.40), (10.41), (10.42) и (10.44) заменить функции tpr (t)

функциями фг (/).

Следует заметить, что фильтры Калмэна для преобразования полезного сигнала можно построить не для любого преобразования, а только для такого, которому соответствует алгебраическая линей­ ная связь между функциями <рг (/) и фг (t).

10.6. Оптимальные системы описываемые дифференциальными уравнениями

Оптимальные системы фильтрации сигнала известной формы и сигнала неизвестной формы, состоящего из нескольких компонент, а во многих случаях и оптимальная система преобразования сигнала описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Для вывода дифференциальных уравнений оптимальной системы с бесконечной памятью в общем виде рассмотрим задачу воспроизве­ дения векторного сигнала S (t) с составляющими (/), . . ., 5„ (t), определяемого системой обыкновенных линейных дифференциаль­ ных уравнений

Как известно из теории дифференциальных уравнений, общий инте­ грал системы уравнений (10.46) представляет собой линейную комби­ нацию п линейно независимых частных интегралов этой системы уравнений. Обозначим через ф1/( (Л (i = 1, . . ., я) частный интеграл системы уравнений (10.46), удовлетворяющий начальным условиям

ф(7г (*0) = 0 при i =j= k, Ф/г/г (^о) = 1- Частные интегралы такого вида, соответствующие k = 1, . . ., п, линейно независимы. Поэтому требуемый выходной сигнал со случайными начальными значениями

Предположим, что этот сигнал необходимо с наибольшей точно­ стью воспроизвести по результатам наблюдения векторного вход­ ного сигнала X (t) с составляющими

.272

где N x (/), . . ., N,n (t) — некоррелированные один с другим белые шумы, интенсивности которых соответственно равны Glt . . ., Gm. Положив для краткости

Рассматриваемая задача представляет собой задачу одновремен­ ного линейного алгебраического преобразования т сигналов в п сигналов в случае, когда функции ф,.А(t) связаны с функциями cppjfe (/) формулами (10.48). На основании изложенного в предыдущих пара­ графах оптимальная система для воспроизведения каждой состав­ ляющей требуемого выходного сигнала представляет собой парал­ лельное соединение согласованных фильтров с усилителями выход­ ных сигналов. Обозначим коэффициент усиления к-й компоненты /э-го входного сигнала в выражении i-й компоненты выходного

сигнала через Кр)}. Тогда i-я компонента выходного сигнала

/7 1 П t

Определив из (10.56) величины Х%] и подставив в предыдущие уравнения, получим

Обозначим через y~ элементы матрицы, обратной по отношению

к матрице вторых начальных моментов yrS случайного вектора U. Тогда, решив предыдущие уравнения относительно выражений в ква­ дратных скобках и выполнив элементарные преобразования, получим следующую систему уравнений:

(10.57)

(/"= !, . . . . п)

и(10.55) приводятся после преобразований к виду

Пп

Эта формула является очевидным обобщением формулы (10.44). Выведем дифференциальные уравнения оптимальной системы с бесконечной памятью. При этом, чтобы избежать громоздких

выкладок, представим все полученные формулы и уравнения в ма­ тричном виде. Вводя вектор-столбец S и матрицу А:

(10.59)

представляет собой фундаментальную матрицу решений уравнения