г д е / — единичная матрица, |
диагональные |
элементы которой |
равны 1, а остальные— 0. Вводя случайный |
вектор-столбец U и |
матрицу Ф: |
|
|
|
|
|
/ и л |
/ Ф 1 1 Ф 12 • |
■ |
ф ш \ |
|
|
|
• |
и = |
ф |
= |
• |
Ф г н |
|
|
|
|
|
|
\ и я ) |
\ ф п ц ф ш 2 ■ |
• • ф тп ' |
представим выражение (10.49) вектора-столбца входных сигналов системы I (/) в виде
X(l) = Q>U + N(t). |
(10.61) |
На основании формулы (10.48) матрица Ф |
выражается через |
матрицу фундаментальных решений 'F уравнения (10.59) соотноше нием
|
|
|
|
|
|
Ф = |
С'Г, |
|
(10.62) |
где С — матрица |
коэффициентов |
в формуле (10.48) с |
элементами |
cpi (р = 1, |
• • |
m; |
i |
= 1, |
. . ., |
п). |
|
|
соответ |
Введем матрицу |
М = |
М (/) |
решений уравнений (10.57), |
ствующих |
различным выходам системы, с элементами |
p,.ft |
(i, /е = |
= 1, |
. . ., |
п), зависящими от t. Тогда формула (10.50) |
для |
выход |
ных |
сигналов |
системы на основании формулы (10.56) |
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
Y {t) = |
М (t) |
\ф(т)Ю~'Х{т)с1т, |
|
(10.63) |
|
|
|
|
|
|
*0 |
|
|
|
где G '1— диагональная |
матрица |
обратная матрице |
интенсивно |
стей |
белых шумов |
|
Иг (/), . . . . Nm {t), а индексом «т» |
обозначена |
операция |
транспонирования матрицы. |
|
ошибки |
Матрица Н вторых начальных моментов г\ц вектора |
системы на основании (10.58) |
выразится формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
H = |
YMT= M'FT. |
|
(10.64) |
Вводя обозначение Г для матрицы вторых начальных моментов уРд составляющих случайного вектора U, перепишем уравнения (10.57), определяющие элементы матрицы М, в виде
М ( £ GJlB ip) + Г 1j = Ч»1, |
(10.65) |
где В {р) (р = 1, . . пг) — матрицы, определяемые формулой
/ М ’бй’ . . . ь\;> \
« . » _ |
( р = 1 ......... |
(,0.66) |
ь № ь $ ■ ■ ■W
для |
Продифференцируем |
формулу |
(10.63) |
по времени /. |
Опустив |
краткости |
обозначение переменной /, |
получим |
|
|
|
V = М Jt ф {х)Ю~'Х (т) с/т 4- МФ'О-1^ . |
|
|
|
^0 |
|
|
|
|
Подставив сюда выражение интеграла |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
J Ф {хуб-' Х (т) с/т = М -1 Y, |
|
|
|
to |
|
|
|
|
из |
уравнения |
(10.63), |
получим |
|
|
|
|
|
Y = ММ-1 Y + |
МФТС?_1ЛГ. |
(10.67) |
Это и есть |
дифференциальное |
уравнение оптимальной |
системы |
с бесконечной памятью. Однако в таком виде это уравнение не показы вает, как можно реализовать оптимальную систему. Чтобы при вести это уравнение к виду, непосредственно дающему реализацию оптимальной системы, исключим из уравнения (10.67) неизвестные
матрицы М и Ф, |
выразив их через матрицы коэффициентов |
Л и С |
уравнений (10.59) и (10.62). Для этого продифференцируем |
(10.65) |
по времени /. |
Тогда, |
учитывая соотношения (10.51) и (10.61), |
получим |
|
\ |
|
|
т |
|
т |
|
( |
|
Г 1 |
+ М Е Gp1(фрАфр*)А. *=1.....„ = |
|
Е G~lB {p) + |
|
Р = 1 |
|
/ |
Р = 1 |
|
|
|
|
= ЧГ= ЛЧГ. |
(10.68) |
Но из формулы (10.65) следует
т
ЕGJlB lp) + r“1=M~1'F,
Р= 1
а из соотношения (10.62) получаем
т |
j |
т |
Е Gp |
(фрйфр/Ой, h=1, .... п — ( |
Е Gp фрйфрй/ k, Л=1, п |
р=1 |
\р—1 |
|
= Ф ^ - 1® = |
ЧГ^бМСЧ/1. |
Подставив эти выражения в (10.68), будем иметь
mm- uf + мф^ с - о т = лч 1'.
Умножая это уравнение справа на матрицу Ч0-1 и учитывая формулу (10.64), приведем его к виду
мм-1= Л — НСД/^С. |
(10.69) |
Отсюда следует, что
М= ЛМ — НСТ(?_1СМ. |
(10.70) |
Рис. 10.6. Многомерная система форми рования полезного сигнала
Подставляя выражение (10.69) в уравнение (10.67) и учитывая, что на основании формул (10.62) и (10.64) МФТ - МЧ'+СТ = IIС \ при ведем уравнение (10.67) к виду
У — (A — B&G-'C) V + НOG-'X.
(10.71)
Это уравнение непосредственно указывает путь реализации опти мальной системы. Сравнивая его с уравнением (10.59), видим, что оптимальная система получается из системы формирования полез ного сигнала (рис. 10.6) путем подачи на вход входного сигнала X (t) с коэффициентом усиления (матричным) IIC G 1 и замыкания отри цательной обратной связью с коэффициентом усиления (тоже матрич ным) HCTG C. Структурная схема оптимальной системы показана на рис. 10.7.
Чтобы получить дифференциальное уравнение для матрицы на чальных моментов второго порядка ошибки оптимальной системы Н, продифференцируем (10.64). Тогда, принимая во внимание формулы
(10.60) и (10.70), получим
Н = M'FT+ M'FT= (ЛМ — HCTG-'CM) Ч.Гт + МЧГМТ.
Отсюда, пользуясь формулой (10.64), получаем искомое уравнение
Н-= ЛН-!-НЛт — Н С ^ - ’СН. |
(10.72) |
Это матричное уравнение Рнккатп определяет матрицу моментов второго порядка вектора ошибки оптимальной системы.
Уравнения (10.71) и (10.72) определяют оптимальный фильтр Калмэна для оценки векторного полезного сигнала 5 (t), задавае мого дифференциальным уравнением (10.59) в случае, когда вход ной сигнал системы представляет собой линейную функцию (10.61) этого полезного сигнала, аддитивно смешанную с векторным белым шумом N (t).
Выясним, какие преобразования можно осуществлять с помош.ью фильтров Калмэна. Очевидно, что если требуемый выходной сигнал Кт (t) не совпадает с полезным сигналом S (t), а есть результат не которого линейного преобразования S (t), то вместо функций я|)(А(t)
Рис. 10.7. Многомерный оптимальный фильтр
в формулу для ошибки системы войдут соответствующие преобразо ванные функции со,-/. (/). При этом из всех полученных формул изменятся только формулы (10.54), (10.55), (10.57) и (10.58), куда войдут функции со,./, вместо функций ф,./(. Соответственно в матричных формулах изменятся только формулы (10.64) и (10.65): в них вместо матрицы 'F будет матрица й. Дифференциальное уравнение (10.67) по-прежнему будет справедливо. Однако в общем случае оно не пре образуется к виду (10.71), хотя формально и можно получить опти мальную систему из системы формирования полезного сигнала путем ее замыкания отрицательной обратной связью и подачи на вход соот ветственным образом усиленного входного сигнала. Для этого доста точно представить уравнение (10.67) в виде
У = [А — (А — м м -1) 1К + М Ф ^-'Х. |
(10.73) |
Однако выразить коэффициенты усиления в цепях обратной связи и входного сигнала оптимальной системы через матрицы коэффициен тов А и С и получить дифференциальное уравнение для матрицы начальных моментов второго порядка ошибки оптимальной системы в общем случае не удастся. И лишь в частном случае, когда требуе мый выходной сигнал Ут(/) связан линейной алгебраической зави симостью с полезным сигналом 5 (I), можно построить оптимальный фильтр Калмэна для оптимального воспроизведения сигнала Ут(t).
Предположим, что требуемый выходной сигнал VT (t) связан с полезным сигналом 51(0 формулой
yT(l) = QS(t), |
(10.74) |
где Q — некоторая неособенная матрица, которая |
может зависеть |
от времени. В этом случае матрица 4я в формуле (10.64) и уравнениях (10.65) заменится матрицей й = Q^F и вместо формул (10.64) и (10.65) получим
И = |
Q'FMT= M'FTQT, |
(10.75) |
l m |
|
\ |
(10.76) |
м у |
|
r - I j =QW. |
При этом, если матрица Q перестановочна с матрицей A, AQ = |
— QA, то формулы (10.69) |
и (10.70) заменяются соответственно фор |
мулами |
|
|
|
ММ-1 = |
А + QQ-1— н СЮ-1 Cl, |
(10.77) |
М = AM + |
QQ~'М — HClG_1CiM, |
(10.78) |
|
|
С1= CQ~l. |
(10.79) |
Уравнения (10.71) и (10.72) заменяются в этом случае уравнениями |
V = [ A — (HC[G“ ‘Ci — QQ~')1 У + |
(10.80) |
Н = (А + QQ~~l) Н + Н (Лт + QT_1QT) — HClG^CjH. (10.81)
Заметим, что к алгебраическому преобразованию вида (10.74) приводятся и некоторые операции анализа. Однако определить ма трицу Q в этом случае можно сравнительно просто только для опти мальных систем, предназначенных для дифференцирования полез ного сигнала. Так, например, для дифференциатора первого порядка
Ут(t) = S (t) — ДЗ (t) и, следовательно, Q = А. Для дифферен циатора второго порядка
у т(I) = s(i) = |
-£r |
[AS (01 = AS (t) -f AS (t) = (A + Л2) 5 (/) |
и, следовательно, |
Q = |
A-\-A2. Аналогично определяется матрица Q |
для дифференциаторов более высокого порядка.
Рассмотрим частный случай, когда матрица коэффициентов урав нения (10.59) А постоянная. В этом случае для дифференциатора
любого |
порядка Ут(t) = S(p) (t) = |
APS (l) |
и, |
следовательно, Q = |
= Ap. |
экстраполятора |
|
|
|
Для |
|
|
|
|
yT(t) = S (t + T) = V |
(0 - |
У |
~ A kS (t). |
|
fc=0 |
|
ft=0 |
|
Вводя матрицу |
|
|
|
|
k=0 |
|
|
(10-82) |
|
|
|
|
преобразуем предыдущую формулу к виду |
|
|
|
KT(/) = e*AS(/). |
|
(10.83) |
Сравнивая эту формулу с (10.74), видим, что для экстраполя
тора
Q = еги.
Таким образом, если матрица коэффициентов уравнения форми рования полезного сигнала (10.59) постоянная, то с помощью филь тров Калмэна легко можно осуществлять оптимальную оценку и прогнозирование любых линейных комбинаций полезного сигнала и его производных. При этом уравнения (10.80) и (10.81) отличаются соответственно от уравнений (10.71) и (10.72) только тем, что вместо матрицы С в них входит матрица Сх = CQ-1.
10.7. Оптимальные системы при произвольной помехе
Простота нахождения |
оптимальных |
систем для помехи N (t) |
в виде белого шума дает идею: для |
нахождения оптимальной |
системы в общем случае, |
когда помеха |
N (f) не является белым |
шумом, предварительно преобразовать входной сигнал так, чтобы помеха N (t) стала белым шумом. Это можно легко осущест вить, если известен формирующий фильтр для помехи и соответ ствующая обратная система. Пусть w (t, т) — весовая функция
