формирующего фильтра помехи, a w~ (t, т) — весовая функция об ратной системы. Входной сигнал X (I), прошедший через обратную систему, трансформируется в сигнал с помехой в виде белого шума, для которого легко можно найти оптимальную систему. Последова тельное соединение системы, преобразующей помеху в белый шум, и оптимальной системы для помехи типа белого шума на входе есть искомая оптимальная система в общем случае.
Обозначим выходной сигнал системы, обратной формирующему фильтру помехи,
V (/) = |
Jt w~ (t, т) X (т) dx. |
|
|
|
tо |
|
|
Подставив сюда выражение |
|
|
* ( т ) = |
£ U/Pr(x) + N(x) |
|
|
|
Г—1 |
|
|
для входного сигнала системы, получим |
|
V(t)= S £/Дг(0 + |
^ г(0 . |
(Ю.84) |
|
|
г=1 |
|
|
где N x (t) —■белый шум, а |
(t), . . ., |
%N (t) — преобразованные |
функции срх (t), . . ., |
фд, (t): |
t |
|
|
|
|
|
|
%Г(0 = |
J ur (t, т) ФлМ dx■ |
(10.85) |
|
|
^0 |
|
|
|
(/•= 1 ......... N) |
|
|
Очевидно, что без потери |
общности можно считать, что интен |
сивность белого шума |
N х (t) равна единице. Действительно, этого |
всегда можно достичь |
введением соответствующего |
коэффициента |
усиления в весовую функцию w~ (t, т) системы, обратной форми
рующему фильтру. |
в помеху |
Формирующий фильтр преобразует белый шум N x (t) |
N (/), а функции %г (t) в соответствующие функции фг (£): |
|
t |
|
Фг (0 = J w (t, т) Хг (т) dx- |
(10.86) |
tо |
|
(Г= 1, . ... N)
На основании результатов, полученных в гл. 10, п. 4, оптималь ная система для входного сигнала V (t) представляет собой парал лельное соединение согласованных фильтров, соответствующих преобразованным компонентам входного полезного сигнала %х (t), . . .
. . ., Хдг (0. с усилителями на выходах. Следовательно, оптимальная система для входного сигнала X (t) имеет структуру, показанную на рис. 10.8. В общем случае оптимальная система представляет собой параллельное соединение согласованных фильтров с усилителями
Рис. 10.S. Оптимальный фильтр при произвольной помехе
на выходах (рис. 10.9). Однако при этом весовые функции согласо ванных фильтров не равны функциях (рг (т), а определяются фор мулами
|
I |
|
gr { i , ^ )= |
J Xr (°) w~(ст. т) do< |
(10.87) |
tо |
|
(/' = |
1. . . .. N) |
|
где функции %г (t) выражаются через компоненты входного сигнала cpr (t) формулой (10.85). Формула (10.87) вытекает из общей формулы для весовой функции последовательного соединения линейных систем.
Покажем, что весовые функции gr (t, т) согласованных фильтров удовлетворяют некоторым интегральным уравнениям. Для этого
вычислим |
интеграл |
|
t |
I |
t |
J Kn (t'> T) Sr (*, t)dT = J KN (V, x) dx J y-r(a) w~ (a, x) do, |
iо |
^о |
f о |
где Км (t', |
t) — корреляционная функция |
помехи N (i). |
Принимая во внимание, что помеха N {t) формируется из белого шума N , U) единичной интенсивности формирующим фильтром
Рис. 1U.9. Преобразованная схема оптимальном системы при произвольной помехе
с весовой функцией w {t, т), напишем следующее выражение для кор
реляционной функции помехи:
I
К у (/', т) = [ w (/' X) w (х, X) dX.
to
Подставив это выражение в предыдущую формулу, получаем
I
|
|
j К-At ' , |
T)g-r(/, х)dx = |
|
|
tо |
|
/ |
{ |
|
t |
■ J |
dx j w (/', X) w (т, X) dX | %r (a) w~ (a, x) da — |
to |
to |
|
to |
t |
|
t |
t |
— J w (l', |
X) dX [ yr (a) da j w~ (a, x) w (x, X) dx. |
to |
|
to |
to |
Интеграл по x в этой формуле на основании известного соотно шения между весовыми функциями взаимно обратных систем равен б (а — X). Поэтому
I
|
J * * (/', |
т)£г(^. "Odx = |
|
|
^0 |
|
|
t |
t |
i |
|
= J W (f, |
X) dX | %г (о) б (CT •— X) da == j w (С, |
X) yr (X) dX. |
to |
to |
to |
|
Отсюда, принимая во внимание формулу (10.86), получаем |
|
t |
Sr V’ Т) dx = <pr (О- |
|
|
j КN{1\ т) |
|
|
to |
|
|
|
(tn^ t ' ^ t ) |
( 10. 88) |
Это и есть интегральное уравнение, которому удовлетворяет ве совая функция /--го формирующего фильтра.
Таким образом, при произвольной помехе N (t) с корреляцион
ной функцией /(д, {(, (') |
весовые функции формирующих фильтров |
(t, х), . . ., |
gN (t, |
х) |
определяются интегральными уравнениями |
(10.88) при г |
— 1, . |
. ., |
N. |
Выходные сигналы формирующих фильтров определяются в дан
ном случае формулой |
|
|
(0 - |
J gp (t, т) X (х) dx = |
|
|
t о |
N |
i |
t |
^ T i Ur \8 p (Л т) Ч\ (Т) dx + | g p (i , х) N (х) dx. |
Г— 1 |
t о |
t о |
Положив для краткости
t
bpr (0 = J g p
^о
( Р , Г |
= |
1 .............ЛО |
|
•*pUl 1{t) = |
|
Jt gp (*, О yv (t ) dx, |
(10.90) |
(P = |
1, |
Л0 |
|
получим |
|
ЛГ |
|
|
|
(10.91) |
Zp(i) = £ U r b pr ( O + V . W - |
(P = 1, ■• - Л0
Это выражение по форме не отличается от выражения (10.39) для выходных сигналов формирующих фильтров в случае, когда помеха представляет собой белый шум. Поэтому вывод уравнений для оптимальных значений коэффициентов усиления выходных сигналов согласованных фильтров и формулы для минимального среднего квадрата ошибки оптимальной системы в общем случае ничем не отличается от их выхода в случае, когда помеха пред ставляет собой белый шум. Следовательно, оптимальные значения коэффициентов усиления выходных сигналов согласованных филь тров Xlt . . . , XN и в общем случае определяются системой уравнений (10.42) при G = 1, а минимальный средний квадрат ошибки опти мальной системы определяется формулой (10.44) при G = 1. При исследовании оптимальной системы, предназначенной для заданного линейного преобразования полезного сигнала, функции ер, (t) в уравнениях (10.42) и формуле (10.44) следует заменить соответ ствующими функциями (t). Таким образом, в общем случае произвольной помехи и системы, предназначенной для заданного линейного преобразования полезного сигнала, оптимальные коэффи циенты усиления A,lt . . ., XN определяются уравнениями
N Г |
N |
N |
|
V |
V yrpbps (0 + <5, |
£ Уго%®, |
(10.92) |
s=i Lp= i |
р=1 |
|
|
(Г = 1, . . ., |
N) |
|
а минимальный средний квадрат ошибки оптимальной системы определяется формулой
N |
(10.93) |
Г|*= £ |
M O W ) . |
p = |
i |
|
Из структурной схемы оптимальной системы, |
представленной |
на рис. 10.9, вытекает следующая формула для весовой функции оптимальной линейной системы:
N |
(10.94) |
g*{i, т) = £ |
\ {t)gP{t, т). |
p = |
i |
|
