Рис. 12.1. Структурная схема оптимальной системы
Мы нашли оптимальную систему в классе всех возможных си стем частично эвристическим путем, цостулируя, что выходной сиг нал оптимальной системы представляет собой безынерционное пре образование выходных сигналов согласованных фильтров. Можно показать, что при нормальном распределении помехи найденная система действительно является оптимальной системой в классе всех возможных систем [56, 58].
12.3. Оптимальная система при нормальном распределении
входного и требуемого выходного сигналов
Рассмотрим частный случай, когда не только помеха, но и по лезный входной и требуемый выходной сигналы распределены нор мально. При этом требуемый выходной сигнал Ут (t) линейно за висит от параметров Uъ . . ., UN:
(12-14)
г=1
а величины Uх, . . ., UN распределены нормально:
f (Uj, |
. . . , Ид,) = |
1 |
N |
) |
---- n- |
S |
см (ир — тр)(ич — тч)\, (12.15) |
|
р, q=l |
) |
где С — матрица, обратная по отношению к корреляционной мат рице случайного вектора U с составляющими Uх, . . ., UN, cpq— элементы матрицы С, а т 1г . . ., mN— математические ожидания величин Uх, . . ., UN. Предположим еще, что функция потерь пред ставляет собой функцию ошибки, т. е. разности Y—Ут:
l(Y, Yr) = l(Y — Yr). |
(12.16) |
В этом случае формула (12. |
13) |
принимает вид |
|
F(Q) |
|
i------ ———— |
со |
со |
|
/ |
N |
\ |
( |
N |
V |
(2я)" |
J |
j |
1 |
I |
0 — 2и |
Ur^r•'•] |
ехр‘ v \ |
2L i и'г' |
|
|
|
I |
■■■J |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
9~ |
|
[bpqtlpUg |
Cpq{Up |
Шр) faq ^<7)] 1dll± . . . |
dlljq. ( 1 2 . 1 7 ) |
P, |
П=1 |
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
Введем новую случайную величину |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
V = Q— £ (7 ri|y- |
|
|
(12.18) |
|
|
|
|
|
r= 1 |
|
|
|
Очевидно, что интеграл (12. 17) пропорционален условному мате матическому ожиданию случайной величины l(V) при данных зна чениях zlt . . ., zN выходных сигналов согласованных фильтров в момент t:
F (0) = а0М[1 (У) | гъ . . . . z;V], |
(12.19) |
где а0— некоторый коэффициент пропорциональности, не зави сящий от 0. Найдем условное математическое ожидание величины I (У). Согласно общей формуле
со |
|
М[1{У)\гъ .... zN] = j / (о) g (о |zlt .. ., zN)dv, |
(12.20) |
где g (v |Z], . . ., zN) —-условная плотность вероятности случайной величины V. Для нахождения этой плотности вероятности заметим, что случайная величина V представляет собой линейную функцию величин U1 , . . ., UN, условное распределение которых нормально и определяется на основании (12.10) формулой
f («1. • |
• •. |
Mjv| Zi, • • •, zN) = |
axexp |
f |
* |
«/Л — |
|
|
£ |
|
|
|
|
|
\r=i |
|
|
1 |
N |
\Ppqllpllq -}- Cpq (lip |
tTl^)(llq- |
\ |
(12.21) |
<r |
S |
|
где a1— нормирующий множитель, величина которого несуще ственна. Поэтому для нахождения условной плотности вероятности случайной величины V достаточно найти ее условное математи ческое ожидание и условную дисперсию при данных значениях zlt . . ., zN случайных величин Zb . . ., ZN. Для определения этих величин можно использовать общие формулы для математических ожиданий и дисперсий линейных функций случайных величин. Предварительно необходимо найти условные математические ожи дания, дисперсии и корреляционные моменты величин U ь . . ., UN. Введем для, краткости обозначение
Hr = М[1)г\гъ .... zN\.
(r= 1, .... N)
Для нахождения величин р.ъ . . u,v достаточно заметить, что согласно свойствам нормального закона распределения эти вели чины представляют собой значения переменных . . ., uN, при которых плотность вероятности (12. 21) имеет максимальное зна чение. Поэтому для нахождения условных математических ожиданий piх, . . ., [Ллг величин Uь . . ., UN достаточно продифференцировать показатель степени в выражении (12. 21) по переменным иъ . . ., uN, положить в полученных выражениях их = щ , . . ., uN = j-ijV и приравнять результаты нулю. Тогда получим уравнения
|
N |
|
|
|
' |
iLl \brq\lq-ф Crq(f.1^ |
Plq)] • • О |
|
|
4=1 |
|
|
|
или |
|
|
|
|
h |
(brq+ сг„) Ц, = |
+ |
Ъ crqtnr |
(12.22) |
? = 1 |
|
|
<7=1 |
|
(/- = 1 ,
Решив эти линейные алгебраические уравнения, найдем условные
математические ожидания щ , |
. . ., |
случайных величин U |
. . ., UN. |
Условные дисперсии и корреляционные моменты величин Uг, ..., UN— |
элементы условной корреляционной |
матрицы ир?(р, <7 = |
1 , . . . , N) |
случайного вектора 0 |
представляют собой элементы матрицы, об |
ратной по отношению к матрице В+С. |
Поэтому решение уравнений |
(12. 22) определяется формулой |
|
|
|
Мр = |
S j V |
( zr + |
Ъ crqm0) • |
(12 .23) |
|
Г— 1 |
\ |
q = l |
! |
|
(Р = 1, • • •, N)
Найдем условное математическое ожидание и условную дис персию случайной величины V. На основании (12.18) и известных формул теории вероятностей для математических ожиданий и ди сперсий линейных функций случайных величин условное математи ческое ожидание х и условная дисперсия D случайной вели чины V определяются формулами
|
|
|
|
N |
|
|
x = M [ V \ z y, |
... , zN) = |
0 — £ |
ц д , = |
е — |
|
N |
|
N |
Р = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
— |
2j |
V V r — |
S |
W |
l V n?’ |
(12.24) |
|
p, r=1 |
p, |
q, r=l |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
D = D[V\z1, ... , zN] = |
S |
|
(12.25) |
P ,
Определив величины x и D, можно написать выражение для ус ловной плотности вероятности случайной величины V:
g (v \Zl, . . . . zN) = - ^ = = - 4 |
( 12.26) |
\
Подставив это выражение в формулу (12.20), можем переписать соотношение (12.19) в виде
”(0-.V)2
|
|
F (0) = а2 j I (w) е |
dv, |
(12.27) |
где |
а 2— некоторая |
постоянная, не существенная для дальней |
шего. На основании |
формул (12. 21) и (12.27) нахождение значе |
ния |
0, дающего |
минимум функции |
F (0), |
сводится к опре |
делению значения переменной х, при которой интеграл в правой части формулы (12.27) имеет минимальное значение. Для этого достаточно продифференцировать выражение (12.27) по х, при равнять результат нулю и найти такое решение полученного уравнения, при котором вторая производная F" (0) положительна.
Докажем, что F (0) имеет минимальное значение при х = О, если функция потерь представляет собой неубывающую функцию
|
абсолютной величины ошибки. В этом случае функция |
/ (и) |
четная |
|
и формула (12.27) |
может быть переписана в виде |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
{У— Х ) 2 |
|
Д±Д11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2d |
_]_ е |
2D |
dv. |
|
|
|
Дифференцируя левую часть этой формулы |
по 0, а |
правую — |
|
по х и учитывая, |
что |
на |
основании |
(12.24) |
дифференцирование |
|
по х равноценно дифференцированию по 0, |
получаем |
|
|
|
|
F'(Q) = |
% \ l ( v ) [ ( v - x ) |
(у |
х)2 |
|
(V -f- х) |
|
(р+*)8 |
dv. |
(12.28) |
|
2D |
|
|
2D |
|
Отсюда |
непосредственно |
следует, |
что правая |
часть |
обращается |
|
в нуль |
при х = 0 ,\F'{Q) ]*=o = 0. |
Для |
того |
чтобы |
доказать, что |
|
при х = 0 |
интеграл (12. |
27) |
действительно имеет минимальное зна |
|
чение, |
найдем вторую производную функцию F{Q) при х = 0: |
|
|
|
|
IF" (0)], =0= |
|
о |
(v2 — D) е~ |
|
dv = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
у 2 |
|
V D |
|
|
|
|
|
у 2 |
|
|
|
J |
I (v) (v2— D) е |
20 |
dv — |
j |
/ (w) (D — v2) e |
20 dv |
(12.29) |
|
D |
|
Vd |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя по частям, убеждаемся в том, что |
|
|
|
|
|
|
|
“ |
|
_ _«=_ |
|
Vd |
|
|
__^ |
|
|
__ |
|
|
|
J (v2 — D ) e ~ 2D |
d v= J (D — v2) e |
2D dv = |
y H L . |
|
|
|
V d |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
