Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

Поэтому для неубывающей функции l(v) при v ^ O

причем знак равенства в этих формулах одновременно не может иметь места, так как функция / ip) не является постоянной во всем диапазоне изменения v. Следовательно, правая часть формулы (12.29) строго положительна, т. е. [F"iQ) ]*=о > 0. Это служит доказательством того, что при х — 0 функция F(Q) достигает мини­ мума. Легко видеть, что х = 0 является в этом случае единствен­ ным решением уравнения F'(0) = 0. Поэтому других экстремумов

Из последней формулы следует, что функция 0 в данном случае линейна и не зависит от конкретного вида функции потерь. Однако она отличается от линейной функции, полученной в гл. 10, на­ личием дополнительного слагаемого A(t). Можно показать, что это слагаемое компенсирует систематическую ошибку, возникающую вследствие неравенства нулю математических ожиданий т ъ . . ., mN параметров сигнала Uх, . . UN.

Докажем, что при равных нулю математических ожиданиях т и . . ., mN случайных величин Ult . . ., UN функция (12. 31) сов­ падает с линейной функцией, полученной в гл. 10 для оптимальной

331

линейной системы. Прежде всего заметим, что в этом случае Д (0 = = 0 и формула (12. 31) имеет вид

Остается доказать, что функции Xx(t), . . ., ^Л'(0> определяемые первой формулой (12.30), удовлетворяют в этом случае системе уравнений (10. 92). Так как кргпредставляют собой элементы матрицы, обратной по отношению к матрице В + С, то первая формула (12.30) дает решение системы линейных алгебраических уравнений

(Р= 1,--А^)

Заметим, что вторые начальные моменты ypq {р, q = 1, . . .,N) случайных величин Uх, . . ., UN представляют собой в данном слу­ чае элементы корреляционной матрицы случайного вектора U, обратной по отношению к матрице С в выражении (12.15) для нор­ мальной плотности вероятности. Поэтому, умножив уравнение (12.33) на угр и просуммировав по р, на основании известного соотношения между элементами обратных матриц получим

(/•= 1 ,

Эти уравнения совпадают с уравнениями (10.92), что и требо­ валось доказать.

Полученные, результаты, дают основание во многих практических задачах ограничиться определением оптимальной линейной системы. А именно во всех случаях, когда функция потерь представляет собой неубывающую функцию абсолютной величины ошибки и есть основания считать совместное распределение входного и требуемого выходного сигналов нормальным, следует ограничиться определе­ нием оптимальной линейной системы по критерию минимума сред­ ней квадратической ошибки.

12.4. Оптимальная система при нелинейной зависимости входного сигнала от неизвестных параметров

Задача определения оптимальной системы в классе всех воз­ можных систем при линейной зависимости входного сигнала от случайных параметров Uu . . ., UN была рассмотрена в п. 12.2. При этом требуемый выходной сигнал мог зависеть от этих пара­ метров и нелинейно. Рассмотрим общую задачу, когда входной и

332

получим следующую формулу для условного математического ожи­ дания выходного сигнала s-ro согласованного фильтра:

Дисперсии и корреляционные моменты выходных сигналов со­ гласованных фильтров выразятся формулой

Но на основании формулы (12.36)

Jt Kn (t, a)g (t, a, up) da = 9(t, up). 10

Подставив это выражение в предыдущую формулу, получим t

(P. Я —1. •••. N)

Обозначив через Z вектор, составляющими которого являются выходные сигналы всех согласованных фильтров Z1, . . . . ZM, ус­ ловную плотность вероятности вектора Z при данном значении и вектора U можно выразить формулой

мальной системы достаточно знать условную плотность вероятности вектора U при данном значении z вектора Z. Пользуясь формулами теории вероятностей, для этой условной плотности вероятности по­ лучаем формулу

где f(u) — безусловная плотность вероятности вектора параметров сигнала U.

334

Найдем значения плотности вероятности f(u\z) в выбранных точках us (s = \, . . ., М). Имея в виду, что согласно (12.38) и (12.39)

дующее приближенное выражение для условной вероятности зна­ чения и г вектора U:

Эта формула определяет условную вероятность попадания слу­ чайного вектора U в элемент t±.ur с точностью до малых второго порядка относительно тах{Дяг).

Вычислим условное математическое ожидание функции потерь при данном вектрре Z. Для этого умножим значение I (Y , ф (/, иг))

335