зама структурная схема найден ной оптимальной системы, выра женная через передаточную функ цию объекта и передаточную функ цию системы управления. Из структурной схемы следует соот ношение
|
ФСУ (s) |
____ Ф(«)___ |
(11.62) |
|
Ф о б W |
[I — си (s)] |
|
|
|
Рис. 11.13. Структурная схема стабилизации высоты
Подставляя в последнее выражение значения оптимальной пере даточной функции (11.60) и передаточной функции объекта
®0Б (s) —s2 (r 2V + 7 ’1s + l )
н учитывая что система управления должна создавать управляю щую силу, компенсирующую действие возмущений, получим сле дующую передаточную функцию системы управления:
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
с у (s) |
= C(,AaVСд |
VoTo^ -(- (v2Tj |
1 ,62v1t 1) s2 -j- |
|
+ v2 (1 + |
1,62v2:Ti + l,62vi7l)s + |
v|(l,62 + l,62v27x + v\ t I) + |
|
+ |
vo(l ,62 + v27’i + |
0I31v|7l)-|- + |
|
|
+ |
Л’2 (1 -Ь О.ЗЬ’гТ1x) -p- -j- 0,31v2 — |
(11.63) |
Передаточная функция |
ФСУ (s) имеет ■размерность лГ1. |
Пара |
метр v 2 определяется формулой (11.61).
Как следует из выражения (11.63), закон управления в продоль ном канале содержит производные и интегралы до 3-го порядка включительно. Синтезированная структурная схема системы упра вления самолетом по высоте представлена на рис. 11.14. Переда точная функция ФСУ (s) для этой схемы определяется форму лой (11.63).
Интересно рассмотреть случаи упрощенного описания динамики движения самолета относительно центра массы. Пусть вместо коле бательного звена это движение описывается инерционным звеном
Рис. 11.14, Структурная схема оптимальной системы стабилизации высоты
ca w y |
с а 'Н/ |
_ с й0 |
а A<*wy |
|
Cav |
C6v |
С6 |
В. = —г—^ — а |
т |
Anv |
с постоянной времени 7Д. Тогда передаточная функция объекта управления имеет вид
®ов (s) |
h |
s- (7\s-|- 1) ’ |
Решение задачи в этом случае приводит к следующим передаточ ным функциям оптимальной системы н системы управления:
2,67vis3 + 3,42\fe2 -l-2,67vfe + v?
^ |
_ s4 + |
2,67vjS3 + 3,42v|S2 + |
2,67vfs + v} ’ |
|
2,67Cg |
|
Фсу (s) |
CfjdctV v1T1sa + v1s(l |
+ l,29v17’1) + |
+ v?(l,29v,Ti) |
v?(l +0,37v1T l) - L + 0,37vl-±r ' . |
Структурная схема системы изображена на рис. 11.14. Параметр определяется формулой
где Т\ = Сa j c a-
Средний квадрат ошибки оптимальной системы вычисляют по формуле
DH = Dn„ + 0,640^,. |
(11.65) |
Пусть теперь движение самолета относительно центра массы рассматривается как безынерционное. Тогда передаточная функция объекта управления представляется как двойное интегрирующее звено
Фоб (s) = ■
Вычисление передаточной функции оптимальной системы для тех же условий, что и в предыдущем случае, дает следующее выра жение:
|
Ф(5) |
2vs2 -Т 2v2s + |
v3 |
|
s3 -|- |
2vs2 -)- 2v2s -]- v3 ’ |
|
|
|
где параметр |
|
|
|
|
|
л |
/ W DX |
( 11.66) |
|
|
v — V |
G,v |
|
Дисперсия ошибки оптимальной системы вычисляют по прибли женной формуле
D„ = D N o + -g- Gn v .
В результате вычисления передаточной функции системы упра вления по формуле (11.62) получаем следующее выражение:
ФСУ (s) = /е ( 2vs + 2v2 + v3 - i- ) ,
k = |
■— |
Сд, |
(11.67) |
C&vAa |
Эта передаточная функция легко реализуется. |
Параметр v опре |
деляется формулой (11.66). Структурная схема системы предста
влена |
на рис. 11.14. |
|
|
|
|
|
Проведем числовой расчет для последней наиболее простой модели |
при следующих данных: (5 |
= 1,35 с |
; Dw = 7,8 |
м -с |
; А а = |
= |
0,01 |
с"1; Gn = |
102 м2-с; |
Са = 46,7 |
с '2; Сб = |
30 с"2; |
Аа = |
= |
1,6 |
с-1; v = 270 |
м-с ь, DNo = 100 м2. Для этих |
данных в соот |
ветствии с формулой (11.66) параметр v = |
0,166 с-1. Среднее квадра |
тическое отклонение высоты полета составляет он — ~\ADh — 10,5 м. Передаточная функция оптимальной системы управления (11.67)
выражается соотношением
Фсу = 2 • 10~4 -f- 2,0210_4s —(—1,67 • 10-5 -i-.
На основании этой передаточной функции закон управления самолетом по высоте имеет вид
6= 2-10-4 АН + 2,02 -Ю'4 АН +
+0,167-10'4 Jt ДЯ (т) dx,
0
где АН = Я - Я пр.
Рассмотренное выше решение задачи справедливо для системы без жесткой стабилизации угла тангажа. Если такая стабилизация есть, то можно в первом приближении пренебречь влиянием турбу лентности атмосферы на изменение положения самолета относительно
центра массы. В этом случае параметр Аа = Аа. |
При этом |
полу |
чаем v = 0,416 с-1; ан = 11,3 м. Закон управления |
высотой |
полета |
имеет вид |
|
|
6 = 3,05• 10-3 АН + 1,27-10"3 АН + |
|
|
+ 0,264-10 '3 Ji АН (т) dx. |
|
|
о |
|
|
Характеристическое уравнение замкнутой системы стабилиза ции высоты полета имеет вид
(s3 + 2vs2 + 2v2s + v3)AH = 0.
При v = 0,416 с-1 система устойчива.
Представляет интерес вычислить средний квадрат ошибки ста билизации высоты полета для второй, более полной модели движе-
нiiя самолета относительно центра массы в виде инерционного звена.
При 7 \ = 0,15 |
с н тех же самых значениях остальных параметров |
в соответствии |
с |
формулой (11.64) параметр |
= 0,417 с-1. По |
формуле (11.65) |
|
получаем ан — 11,42 м. Аналогичный расчет для |
первой, наиболее полной модели дает следующий |
результат: v2 = |
= 0,77 с-1; ан = |
12,2 м. |
|
Анализ результатов расчета показывает, что усложнение модели объекта управления несущественно увеличивает среднюю квадра тическую ошибку стабилизации высоты для оптимальной системы. Учитывая, что усложнение модели приводит к одновременному усложнению закона управления, можно сделать практический вывод о целесообразности принятия более простых моделей объекта управления при синтезе закона управления.
Г лава 12 ОПТИМАЛЬНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
12.1. Задачи, приводящие к нелинейным оптимальным системам
В гл. 10 изложены методы определения оптимальных линейных систем по критерию минимума средней квадратической ошибки. Для определения оптимальной системы в этом случае нет необходи мости знать законы распределения входного и требуемого выходного
сигналов — достаточно |
знать только моменты второго порядка |
случайных величин Ult |
UN и корреляционную функцию по |
мехи N {t), а если входной полезный сигнал содержит нерегулярную часть, то и взаимную корреляционную функцию нерегулярных частей входного полезного и требуемого выходного сигналов. Это равноценно знанию математических ожиданий входного и требуемого выходного сигналов, корреляционной функции входного сигнала и взаимной корреляционной функции входного и требуемого выход ного сигналов. Естественно возникает вопрос, существуют ли нели нейные системы, превосходящие по своим качествам оптимальную линейную систему, например, дающую меньший средний квадрат ошибки, чем оптимальная линейная система. Чтобы решить этот вопрос, необходимо научиться находить оптимальные системы в классе всех возможных систем по любому критерию качества. Это необходимо также для решения ряда практических задач. Так, например, для практики большое значение имеет задача определения фазы синусоидального сигнала неизвестной амплитуды, принимае мого вместе с помехой. Зависимость этого сигнала от начальной фазы нелинейна. Поэтому естественно искать оптимальную систему в классе нелинейных систем. Другим примером задачи, в которой естественно искать оптимальную систему в классе нелинейных систем, может служить задача распознавания сигналов или ее
частный |
случай — задача обнаружения сигналов. Наконец, есте |
ственно |
искать оптимальную систему среди нелинейных систем |
в случае |
нелинейной зависимости требуемого выходного сигнала |
от параметров полезного входного сигнала, например, когда требуе мый выходной сигнал представляет собой результат некоторого нелинейного преобразования полезного входного сигнала.
Обобщая сказанное, можно отметить, что характерным призна ком задач, в которых естественно искать оптимальную систему среди нелинейных систем, являются задачи, в которых требуемый выходной сигнал нелинейно зависит от параметров входного полез ного сигнала, а также задачи, в которых как входной полезный, так и требуемый выходной сигналы нелинейно зависят от параметров.
