Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 160

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

12.2. Оптимальная система в случае линейной зависимости входного сигнала от неизвестных параметров

Рассмотрим задачу определения оптимальной системы в классе всех возможных систем, когда полезный входной сигнал 5 (/) и тре­ буемый выходной сигнал YT (t) определяются формулами

S(Q

= S £ /r Ф,(0.

YT (t) = ф (/,

Uи ....

UN),

(12.1)

 

г=1

 

 

 

 

где Ult. . .,

UN — случайные

параметры

сигнала,

фi (^),• ■

Фдг (t) — известные функции времени, а ф (/,

Uъ . . .,

UN) — извест­

ная функция времени t и параметров сигнала U ъ . .

UN. В общем

случае функция ф может быть нелинейной. Это справедливо, напри­ мер, для задач, когда требуемый выходной сигнал представляет собой результат некоторого нелинейного преобразования полезного входного сигнала S (t). В частном случае, когда требуемый выходной сигнал представляет собой результат линейного преобразования

полезного входного сигнала,

 

Ут (0 = Е i/гФг (0 .

(12.2)

г=1

 

где функции фг (/) представляют собой результаты заданного линей­ ного преобразования функций фг (t) (г — 1,. . ., N). Задача опреде­ ления оптимальных линейных систем для этого случая была решена в гл. 10. Отбросим ограничения линейности и будем искать опти­ мальную систему в классе всех возможных систем как линейных, так и нелинейных.

В пп.

10.4, 10.5 и 10.7, где определялась оптимальная линейная

система,

сначала находились согласованные фильтры для соответ­

ствующих

компонент полезного входного сигнала фх (t),

. . .,

фдг (t),

а затем их

выходные сигналы усиливались и суммировались.

Фак­

тически

это означает, что определялась оптимальная

линейная

функция выходных сигналов Z x ((), . . ., ZN (t) согласованных филь­ тров:

У(0 = Е * г (0 z r(t). r=l

. Это значит, что заранее задавался вид функции, осуществляющей безынерционное преобразование выходных сигналов согласованных фильтров, и определялись оптимальные значения коэффициентов этой функции ^ (t), . . ., ^ { t ) . Естественно в более общем случае не задавать вид функции, а искать ее в классе всех возможных функций. Иными словами, естественно выразить выходной сигнал искомой оптимальной системы в виде:

Y(f) = B(t, Zx(0, . ... ZN(t))

(12.3)

и искать оптимальную функцию 0 (t, Zlt . . ., ZN), не задавая за­ ранее ее вида.

322

Чтобы решить поставленную

задачу, предположим, что

за­

дана функция потерь I (Y , YT), и

вычислим математическое

ожи­

дание функции потерь при произвольной функции 0. В случае ква­ дратичной функции потерь и линейной зависимости требуемого выходного сигнала (12. 2) от случайных параметров U х, . . ., UN, рассмотренном в гл. 10, для вычисления математического ожидания функции потерь (среднего квадрата ошибки) достаточно было знать вторые начальные моменты случайных величин Uг, . . ., UN и кор­ реляционную функцию помехи Kn ?)■ В общем случае произ­ вольной функции потерь и нелинейной зависимости (12. 1) требуе­ мого выходного сигнала от случайных параметров Uх...........UN необходимо знать законы распределения случайных величин Uи . . ., Uдг и помехи N (t). Поэтому предположим, что задана плотность вероятности / (иг . . ., uN) случайных величин U х, . . ., UN, а по­ меху N (t) будем считать нормально распределенной случайной функцией, независимой от Uх, . . ., UN. Так же, как и в гл. 10, зафиксируем момент начала работы системы t0 и текущий момент t, а любой промежуточный момент времени в интервале (t0, t) обозна­ чим т. При фиксированном t можно считать, что выходные сигналы системы и согласованных фильтров

Y = Y(t), Zx= Z1 (i), ... , ZN = ZN(t)

являются обычными случайными величинами. Для определения математического ожидания функции потерь достаточно знать плот­ ность вероятности случайных величин Uх, . . ., UN и условную плотность вероятности значений выходных сигналов согласован­

ных фильтров Z lt . .

., ZN в данный

момент времени

t. Для того,

чтобы определить условную плотность

вероятности случайных вели­

чин Zi . . ., ZN при данных значениях иг, . . .,

uN случайных пара­

метров Uх,. . ., UN, обозначим,

как и в п.

10.

7, весовые функции

согласованных фильтров через

(t, т),

. . .,

gN (t, т).

Эти весовые

функции определяются интегральными

уравнениями (10.88):

Jt

KN(t',

r)gp{t, T)dx = (pp{t').

(12.4)

^0

 

 

 

 

. . .,

 

 

 

(t0^ f

^ t ;

p = \,

 

N)

 

 

Принимая во внимание, что входной сигнал системы в момент т выражается формулой

х (т) = 2 и гфг(т) + N (т),

Г=1

получаем следующие выражения для выходных сигналов согласованных фильтров в момент t:

t

N

t

z p = j gp {t, т) X (t) d r = ^

U,bpr + J gp (t, t) N (t) dr,

tо

Г—I

10

21*

 

323

где,

так

же,

как и в гл. 10,

 

 

 

 

 

t

 

(12.5)

 

 

 

Ьрг= I gp(t,

т)фг(т)с(т.

 

 

 

^0

 

 

 

 

 

(Р, Г — 1,

. . . ,/V)

 

Так как

при данных значениях

ии . . ., uN случайных величин

Ult

. . .,

Uдг

выходные сигналы согласованных фильтров

представ­

ляют собой результаты линейных преобразований помехи N(t), то условное распределение этих выходных сигналов при данных зна­ чениях ии . . ., « д г нормальное. Поэтому для нахождения условной плотности вероятности случайных величии Zlt . . ., ZN при данных значениях иъ . . uN величин Uг, . . ., UN достаточно вычислить условные математические ожидания, дисперсии и корреляционные моменты величин Z u . . ., ZN. Из формулы для Zp непосредственно следует, что условное математическое ожидание случайной вели­

чины Zp при данных значениях

иъ . . .,

uN величии Uъ

. . ., UN

выражается формулой:

N

 

 

 

 

 

111р ( « х , - ■- ,

« д г )

ttfipri

( 1 2 . 6 )

 

г= 1

 

 

(Р = 1 , ---- ЛД)

 

 

а условные дисперсии и корреляционные моменты этих величин определяются формулой

kpq = Ji Jt gp (t, t) gq(/, a) KN(t, a) dx do. to to

Но на основании уравнения (12.14)

J KN(x, o)g4(t, o)do=(pq(x). 10

Подставив это выражение в предыдущую формулу и учитывая

(12. 5), получим

i

 

 

kpq = J ёр ( Л т) % (т) dx = bpq.

(12.7)

to

 

 

(р, q = \ ,

N)

 

Используя полученные результаты, можно написать следующее выражение для условной плотности вероятности случайных величин

Zi, • ■ ., Z N :

fl (г Ъ ■■■> 2 д г | « 1 , • • • , « д г ) =

1

N

 

N

 

 

 

^ Mrbpr

 

V (2n ) w | B |

ъ

УРЧ

Ъ 1Ф qs

р. ч=1

Г—1

S— 1

 

 

 

 

324

где | В | — определитель матрицы В с элементами brs (г, s = 1, . .

N),

a bjq— элементы матрицы, обратной по отношению

к матрице

В.

Используя матричную запись и обозначая через z

вектор-столбец

с составляющими г г, . . ., zN, а через и — вектор-столбец с соста­

вляющими ии . . ., Цдг, можем представить полученное выражение

условной

плотности

вероятности

случайных величин Z lt . .

., ZN

коротко в

виде:

 

 

 

 

 

к ( г \ а ) =

1

ехр( — 4~ (г — B u y В~1(z — Bu ) },

(J2.8)

 

V ( 2 л ) " |В \

У

2

У

 

где индексом «т», так же как и в п.

10. 8, обозначена

операция тран­

спонирования матрицы.

 

 

 

 

Таким образом, получены все необходимые данные для вычисле­ ния математического ожидания функции потерь. Однако для даль­ нейшего целесообразно выразить математическое ожидание через безусловную плотность вероятности случайных величин Zx, . . ., ZN иусловную плотность вероятности случайных величин С/х, . . ., UN. Для этого, по известным формулам теории вероятностей, пользуясь матричными обозначениями, находим условную плотность вероят­

ности случайных величин Ult

. . .,

UN:

 

 

 

f ( а ) exp | -----

—l

 

(z — B u ) TB ~ 1 (z — B u )

j

f ( u \ z ) = - -----------^-----

=----------------------------------

 

 

 

 

, (12.9)

j / ( ® ) e x p | -----

^-(z — ifa>)Tfi_I (z — B v )

J<fo>

где интеграл представляет собой Af-кратный

интеграл

по перемен­

ным tij, . . ., % — составляющим вектора v.

Заметим, что, так как

матрица В симметрична, то

 

 

 

 

 

 

(z —Ви)тВ ~1(z —В и) = (z —В и ) т(В~ хг — и) = z TB~ lz —

—z Tu —u Tz +uTB u =

z TB ~ lz —

 

N

 

 

N

 

 

 

— 2 S UrZr +

 

S

bpqapur

 

r=l

 

p, <7=1

 

 

 

Подставив это выражение в формулу (12. 9), найдем, что пока­ зательная функция ехр ( ---- \ - z TB ~ lz\ в числителей знаменателе

У2 J

сокращается. Поэтому, возвращаясь к скалярным обозначениям, можем переписать формулу (12. 9) в виде:

f (“i, • • ■, uN| Zi, • • •,

zN) =

xf (ult . ..,

uN) x

,N

 

l

N

|

 

X exp |

UrZr ■

2

^

,

bpqtlpllqi ,

( 12. 10)

 

 

"

"pq^p^Q

 

 

 

 

P, 9=1

 

325

 

 

 

 

 

 

где

я = J . . . J m ,

■.VN)exp

rS= I

VrZr—

iV

 

 

- I

2

dvN

( 12.11)

p. q=1

 

 

 

Обозначим /i (zx, . . zN) безусловную плотность вероятности случайных величин Zx, . . ZN. Тогда, пользуясь формулой (12. 10), можно написать следующее выражение для математического ожи­ дания функции потерь:

00

со

 

м [I (Y, Ут)] = X J . . .

\

(zx...................2 д г ) dz1 . . .

. . .

dzN

J

. . .

J

zlf/ ( 0.

(. /., ,zN)\

 

 

— CO

— CO

 

 

 

 

 

Ф(*, «1 .

• •

u N ) ) f ( u lt

. . . ,

u N )

X

 

l N

 

 

N

 

\

 

 

 

Xexp I

urzr ---- Y

S

bpqllpuq\dui

■■■ duN•

(12.12)

U=1

 

 

p, p = l

 

J

 

 

 

Очевидно, что эта величина будет

иметь

минимально возможное

значение, если выбрать функцию 0 (t, zx, . . ., zN) таким образом, чтобы при любых значениях zlt . . ., zN внутренний интеграл имел минимальное значение. Легко видеть, что задача минимизации вну­

треннего

интеграла

в формуле

(12.12) при фиксированных значе­

ниях г ъ

. . ., zN сводится к нахождению минимума функции F(Q)

переменной 0, определяемой формулой

 

 

со

со

 

 

 

F (0) = J ...

}

/(0, Ф (t,

« ! ,..., uN)) f(ut ... uN) X

 

 

— СО

Ч -С О

 

 

 

 

( N

 

 

N

 

 

х exp j 2

urzr —

p q llp U q \d ll-y . . . dittf.

( 1 2 . 1 3 )

 

l r=l

p, 9 = 1

 

Значение переменной 0, при которой функция F(Q) достигает минимума, зависит от параметров t, zx, . . ., zN, которые были за­ фиксированы, т. е. является искомой функцией 0 ( t , zlt . . ., zN) выходных сигналов согласованных фильтров, при которой матема­ тическое ожидание функции потерь (средний риск) достигает мини­ мального значения.

Таким образом, найдено оптимальное безынерционное преоб­ разование выходных сигналов согласованных фильтров, обеспечи­ вающее минимум среднего риска. Структурная схема полученной оптимальной системы представлена на рис. 12. 1 .

326

Смотрите также файлы