Полагая, что время наблюдения входного сигнала Т кратно периоду гармонического сигнала, вычислим функцию |3 (и) по фор муле (12.45). В результате получаем
Подставляя весовую функцию g (т, и) в первый член показателя экспоненты в формуле (12.57), представим его в следующем виде:
г |
_______ |
|
J g (т, и) X (т) dx = |
У Н\ + н\ cos (и2 - Ф), |
(13.55) |
где |
|
|
т |
т |
|
Н ± = j sin сотХ (т) dx\ |
Н 2 — | cos сотХ (т) dr; |
(13.56) |
|
|
Ф = arctg (Я i/H2).
Тогда отношение правдоподобия можно записать в виде выраже ния
Л = | J h (ии и2) X
«3 0 — со
xe x p f e - У Н \ -\-Hlcos (и2— Ф )---- dUj_du2. (13.57)
Дальнейшее вычисление отношения правдоподобия осуществ ляется путем подстановки плотности вероятности h, (иъ и2)и вычисле ния интегралов. Однако можно значительно упростить алгоритм работы системы обнаружения, если выбрать в качестве возрастаю щей функции отношения правдоподобия величину
Эта величина неотрицательна, с ее увеличением монотонно воз растает величина отношения правдоподобия (13.57). Поэтому отно шение правдоподобия есть возрастающая функция величины Z и, наоборот, Z есть возрастающая функция отношения правдоподобия Z — %(Л). Таким образом, можно принять, что оптимальная система обнаружения должна формировать величину Z в соответствии с формулой (13.58) и сравнивать ее с порогом сг.
Величину порога сг вычислим, решая уравнение
00 |
|
Дл,т = I W(^/0) dz, |
(13.59) |
где со (z/0) — условная плотность вероятности |
случайной величины |
z при отсутствии полезного сигнала. При отсутствии полезного сиг нала входной сигнал представляет собой помеху, которая по условию
распределена нормально. Величины Н ъ # 2 в соответствии с форму лами (13.56) связаны с входным сигналом линейно, поэтому при отсутствии полезного сигнала они также распределены нормально.
Величину Z, определяемую формулой (13.58), можно рассматри вать как модуль вектора, имеющего компоненты # 4, # 2. Поскольку компоненты вектора — нормально распределенные случайные ве личины, то, как известно, модуль вектора имеет распределение Рэлея. Для полного определения плотности вероятности Рэлея необходимознать только дисперсию величины Z. Вычислив эту дисперсию, полу чим
Dz = |
GnTI2. • |
(13.60)- |
Следовательно, условная плотность |
вероятности |
|
|
_ |
Z~ |
|
a(z|0) = ^ e |
2° 2 . |
(13.61) |
Подставляя эту плотность вероятности в формулу (13.59) и вы полняя вычисление интеграла, получаем
_ |
J l |
|
Рл. Т = е |
°nT ■ |
(13.62)- |
Приравнивая вероятность ложной тревоги рл. т к заданной вели чине а и решая уравнение относительно cz , получаем
cz = |
Y G nT ln(l/a). |
(13.63) |
Вычислим вероятность пропуска |
сигнала по формуле |
|
|
СО |
|
|
Рпр = |
1 — 1 |
(2/1) dz, |
(13.64) |
|
cz |
|
|
где со4 (z|l) — условная плотность вероятности случайной величины
Z при наличии полезного |
сигнала. Если полезный сигнал при |
сутствует в наблюдаемом сигнале, то случайная величина Z также |
распределена по закону Рэлея с дисперсией |
|
|
|
= ^ |
+ |
(13.65) |
.Действительно, представим |
входной сигнал в виде |
выражения |
X (t)= |
Us cos |
a t + |
t/ 4 sin a t + N (t), |
(13.66) |
где U3 — L^sin |
t/2;f/ 4 = |
t/ 4 cos t/2. При распределении амплитуды |
U4 по закону Рэлея, а фазы U2 по равномерному закону в интервале 0—2я случайные величины U3, Д4 распределены нормально. Посколь ку помеха распределена нормально, то и входной сигнал распределен нормально. Величины Н 1г Н 2 линейно связаны с наблюдаемым сигналом, поэтому они также распределены нормально, имеютнулевые математические ожидания и дисперсии, определяемые фор мулой (13.65).
Соответственно величина Z распределена по закону Рэлея с дис персией, определяемой формулой (13.65). Таким образом,
|
co(z|l) = y^-e |
°Zs • |
(13.67) |
|
|
°zs |
|
|
Подставляя эту плотность вероятности в формулу (13.64) и вы |
числяя |
интеграл, получаем |
|
|
|
|
|
рпР = |
1 - е |
2°Zs ■ |
(13.68) |
Подставим в данную формулу значение порога из выражения |
(13.63). |
В результате получаем |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рпр = |
1 _ а 1+\ |
|
(13.69) |
■где v ■=D1Ti2GN —отношение сигнал/шум. |
|
Вероятность правильного обнаружения |
|
|
|
|
|
1 |
(13.70; |
|
Рпо= 1—Pnp=a1+V. |
Вероятность правильного |
необнаружения |
(13.71) |
|
Рпн= 1—Рл. т = 1—«• |
Структурная схема оптимальной системы обнаружения гармо |
нического сигнала представлена на рис. |
13.7. В схеме имеется гене |
ратор опорного напряжения ГОН, |
вырабатывающий сигналы sin a t |
и cos at. Входной сигнал умножается на опорные сигналы и, полу ченное произведение интегрируется на интервале времени 0—Т. Множительное устройство в реальных схемах обычно реализуется в виде фазовых детекторов или кольцевых демодуляторов. С выхода интеграторов сигналы поступают на квадратичные детекторы и
.далее суммируются. Из полученного выражения извлекается квад ратный корень. Операция извлечения корня может быть прибли женно реализована с помощью усилителя, имеющего зону насыще ния. Сигнал с выхода схемы извлечения корня сравнивается с по рогом.
Рис. 13.7. Структурная схема оптимальной системы об наружения гармонического сигнала
Кроме рассмотренной структурной схемы возможны и другие варианты реализации алгоритма оптимальной обработки наблюдае мого сигнала. Например, можно не извлекать квадратный корень, а в качестве возрастающей функции отношения правдоподобия рас сматривать сумму квадратов величин Н 1л # 2. В этом случае сумму квадратов необходимо сравнивать с новым порогом.
13.5. Контроль параметра
Целью контроля является установление факта пригодности сис темы выполнять свое назначение. Для этого измеряют параметры системы и сравнивают полученные оценки с допусками. Получим алгоритм оптимальной процедуры принятия решения «годен», «не годен». За критерий оптимальности примем критерий идеального наблюдателя, который в данной задаче формулируется как минимум вероятности принятия ошибочного решения.
Поскольку возможны только две гипотезы: параметр в поле до пуска и параметр вне поля допуска, то задача контроля параметра эквивалентна задаче обнаружения. Оптимальная процедура приня тия решения имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y* |
= 1 , если Л (х) Ss 1 , |
|
|
К* |
= |
2, если Л (х) < |
1, |
(13.72) |
где Y* = 1 — решение |
«годен»; |
Y* = |
2 — решение |
«не годен» |
(параметр |
вне поля |
допуска); |
Л (х) — отношение правдоподобия; |
|
|
Л {х) = р \ М |
р 1(х) |
(13.73) |
|
|
|
Р2 М |
1 — р\ (х) |
|
Здесь р\ |
(х) — апостериорная |
вероятность нахождения |
параметра |
в поле допуска, вычисляемая по результатам наблюдения реализации входного сигнала X (t)\ рЦх) — апостериорная вероятность нахож
дения параметра вне поля допуска.
Апостериорную вероятность попадания параметра в поле допуска вычисляют интегрированием апостериорной плотности вероятности по полю допуска:
|
|
Д 2 |
|
|
|
р\ (х) = J /* (и/х) da. |
(13.74) |
|
|
д. |
|
|
Если наблюдаемый сигнал имеет аддитивную структуру полез |
ного сигнала и помехи |
|
|
X |
(t) = t/cp (t) + /V (t), |
(13.75) |
где |
cp(/) — известная |
функция времени, и распределен |
нормально, |
то |
апостериорная плотность вероятности параметра является нор- |
