Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

мальной с математическим ожиданием U* и дисперсией D *. Дей­ ствительно, апостериорная плотность вероятности

Априорная плотность вероятности параметра является нормаль­ ной:

Условная плотность вероятности наблюдаемого сигнала при фик­ сированном значении параметра

Если помеха представляет собой белый шум с интенсивностью Ддг, то

г

Подставляя соотношения (13.77), (13.78), (13.79) в формулу (13.76),

представим апостериорную плотность вероятности в следующем виде:

то формула для апостериорной плотности вероятности (13.80) оста­ ется прежней, а изменяется лишь выражения для апостериорной оценки параметра U* и дисперсии ошибки D*.

Подставляя апостериорную плотность вероятности (13.80) в фор­

3 6 4

где введены следующие относительные допуски и оценка параметра:

Используя выражение (13.78), отношение правдоподобия (13.73)

от априорного математического ожидания и соответственно допуски отсчитывать также от априорного математического ожидания пара­ метра. При этом целесообразно ввести также коэффициент несимметрин поля допуска k, изменяющийся от нуля до единицы. При сим­ метричном относительно априорного математического ожидания параметра поля допуска коэффициент несимметрии равен единице.

В результате перехода к центрированным величинам отношение правдоподобия принимает вид

где k& — А, — т\ А = т — А х; А = А/а*; I/* = V*/a*\ V*= U*—т.

Вместо сравнения отношения правдоподобия в форме выражения (13.86) с единицей можно сравнивать величину

с величиной 0,5. Эквивалентность этих процедур нетрудно показать. Отношение правдоподобия в форме выражения (13.87) стремится к нулю при стремлении относительной оценки к бесконечности и

имеет максимум. Абсцисса максимума определяется дифференци­

рованием этого выражения по V* и приравниванием производной к нулю. Выполняя дифференцирование функции (13.87), получаем

Равенство суммы экспонент нулю означает равенство их аргумен­ тов, поэтому из формулы (13.88) получаем

Решая это уравнение, найдем значение абсциссы точки максимума

Из последней формулы следует, что при k < 1 абсцисса точки максимума смещается в область отрицательных значений. В частном случае симметричного поля допуска (k = 1 ) абсцисса точки макси­ мума равна нулю.

365

Значение ординаты в точке максимума определяется подстанов­ кой соотношения (13.90) в формулу (13.87):

При k = 1 величина максимума

При k < 1 величина максимума (13.91) меньше, чем при /е = 1.

На рис. 13.8 показаны графики функции Z (V*) при различных значениях относительного поля допуска и k = i. На рис. 13.9 при­

ведены графики функции Z (V*) при k = 0,8. Из графиков следует,

можно существенно упростить, отказавшись от вычисления функции

Z (И*) по формуле (13.87) и переходя к непосредственному сравнению измеряемой в процессе"контроля"оценки параметра с некоторыми новыми контрольными допусками.

Контрольные допуски на оценку параметра находят путем при­ равнивания величины Z к пороговому значению 0,5:

На графиках рис. 13.8, 13.9 равенству (13.94) соответствует прямая линия, параллельная оси абсцисс. Абсциссы точек пересе­

чения этой прямой с кривой Z (К*) есть контрольные допуски. Непо­ средственно из графиков следует, что точек пересечения две, причем при k = 1 точки пересечения расположены симметрично относительно нуля.

z(v*)

366

Аналитически контрольные допуски определяются решением

уравнения (13.94). Значения V = Дi, 2, удовлетворяющие этому уравнению, представляют собой контрольные допуски. Уравнение- (13.94) в явной форме имеет вид

Из этого уравнения следует, что контрольные допуски зависят

от относительного гарантированного допуска А и коэффициента иесимметрии /г. _

Для пересечения кривой Z (У*) с прямой Z = 0,5 необходимо,, чтобы Zmax 0,5. Интересно отметить, что предельный случай Zmax = = 0,5, когда происходит только касание кривых, соответствует полю контрольного допуска, которое стянуто в одну точку. Исполь­ зуя соотношение (13.91) для определения величины максимума, най­ дем предельное выражение для относительного поля допуска:

Пользуясь таблицей для функции Ф (х) (приложение 4), решаем это уравнение относительно аргумента:

-A ii+ iL = 0,6744.

Учитывая выражение для относительного допуска (13.84), полу­ чаем

В частном случае при симметрии допусков k = 1 и

_Д

0,6744.

о*

Как известно, такое соотношение имеет место, если гарантиро­ ванный допуск равен вероятному отклонению, т. е.

А = Е.

Таким образом, если гарантированный допуск меньше апостериор­ ного вероятного отклонения, то контрольный допуск равен нулю.

Для решения практических задач определения контрольных допусков необходимо решить уравнение (13.95) и построить зависи­ мость контрольных допусков от гарантированных допусков и коэф­ фициента иесимметрии. Анализ уравнения (13.95) показывает, что при

~ ~ 1 Г " " ^ 0,6744

контрольные допуски равны нулю. При

д (k + 1) ^ Q|6744

3 6 7

Данный алгоритм принятия решений обеспечивает получение минимума вероятности ошибочных решений.

Часто необходимо определить решение, обеспечивающее минимум вероятности ошибочных решений при дополнительном условии сох­ ранения заданного риска заказчика. Риском заказчика называют вероятность принять негодное изделие за годное:

р'ош = « * + Р* = m in ; Р* = с,

где а* — апостериорный риск изготовителя; (}* —апостериорный риск заказчика; с = const; р*ош— вероятность ошибочных решений.

В данной постановке задача решается введением множителя Лагранжа. Оптимальная процедура принятия решений определя­ ется из условия

где А = 1 + А1э Ах — множитель Лагранжа.

Можно показать, что условию (13.98) соответствует правило реше­ ния

Таким образом, правило решения отличается от предыдущего только изменением порогового значения. Вместо величины 0,5 поро­ гом'является величина 0,5А.

368