Файл: Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем.pdf

Вместо правила решения (13.99) можно использовать следующее правило:

где контрольные допуски определяются из уравнения

йД*

= с = J [l-p ;(/)]«p (V *)d V *

—д»

В этом выражении р\ (V*) определяется формулой (13.83), а

Ф (У*)— безусловная плотность вероятности оценки. Для рассмот­ ренных выше характеристик наблюдаемого сигнала эта плотность вероятности имеет вид

24 В. С. Пугачев

14.1. Задачи идентификации

При решении многих задач автоматического управления необхо­ димо иметь математическую модель объекта или всей системы. Под математической моделью понимается оператор, характеризу­ ющий поведение системы и описывающий все ее информационные свойства. Построение математической модели объекта заключается в определении оператора, ставящего в соответствие выходные и вход­ ные сигналы (переменные) системы.

Математическую модель системы можно построить различными способами: на основе теоретических исследований, логического анализа с учетом предыдущего опыта, на основе экспериментального изучения и сопоставления входных и выходных сигналов. Послед­ ний способ представляет собой способ идентификации, т. е. отожде­ ствление модели оригиналу или определение оператора преобразо­ вания входного сигнала на основе совместного изучения выходного

ивходного сигналов.

Впростейших случаях идентификация может быть осуществлена путем анализа выходного сигнала при подаче на вход некоторого детерминированного стандартного сигнала и подбора такой модели, которая давала бы близкую в определенном смысле выходную пере­ менную. Однако в практических задачах часто нет возможности организовать идентификацию путем изучения реакции системы на специальные детерминированные пробные сигналы. Кроме того, наличие случайных помех при измерении детерминированных сиг­

налов приводит к ошибкам в определении характеристик идентифи­ цируемой системы. Поэтому задача идентификации должна формули­ роваться следующим образом. Необходимо построить математиче­ скую модель сложной системы в процессе ее нормальной эксплуата­ ции при наблюдении за случайными входными и выходными сигна­ лами. Такой способ называется статистической идентификацией

[601.

При статистической идентификации динамические характеристики системы или ее оператор определяются на основе анализа статисти­ ческих характеристик. Статистические методы требуют большого объема вычислений, но они дают возможность решать задачи иденти­ фикации для широкого круга систем и позволяют значительно уве­ личить точность решения. При этом в результате идентификации определяется приближенное значение оператора, его оценка, кото­ рая и используется в качестве характеристики истинного оператора.

370

Для статистических объектов и систем достаточно полной вероят­ ностной характеристикой является условная плотность вероятности / (у/х), где у — вектор выходных переменных; х — вектор входных переменных. Эта характеристика может быть определена опытным путем и является оператором, определяющим связь между полными вероятностными характеристиками входной и выходной функций, т. е. между плотностями вероятности / (л;) и f (у)\

СО

При идентификации системы по опытным данным необходимо получить оценки плотностей распределения f {х) и f (у) и решить уравнение (14.1) относительно / (ylх). Методы определения f {у/х) достаточно сложны и требуют большого объема вычислений. Поэтому при решении практических задач, особенно для многомерных сис­ тем, вместо законов распределения используют условные моментные характеристики случайных величин — математическое ожидание и

дисперсию.

Условное математическое ожидание случайной выходной пере­ менной Y относительно входной X для одномерной системы опреде­ ляется уравнением регрессии

Условная дисперсия той же системы выражается с помощью

Наиболее простым является случай линейной регрессии, урав­ нение которой имеет вид

При этом условная дисперсия р (х) оказывается практически постоянной. В случае нелинейного уравнения (14.2) условная дис­ персия зависит от х. Практически для решения задачи идентификации

вэтих случаях линию регрессии аппроксимируют отрезками прямых

[60].Приведенные вероятностные характеристики дают возможность достаточно просто построить приближенную модель одномерной ста­ тической системы. Изложенный способ распространяется также на

многомерные системы.

Для динамических объектов и систем при статистической иден­ тификации применяют методы теории случайных функций. При этом для полной идентификации требуется определить многомерные услов-

ные плотности вероятностей, что связано с громоздкими вычислени­ ями. Поэтому применяют методы, основанные на использовании кор­ реляционных функций для систем с линейной регрессией и дисперси­ онных функций для систем с нелинейной регрессией [60 ]. Эти методы приводят задачу определения динамической характеристики систе­ мы к решению некоторых уравнений, характеризующих связь между корреляционными или дисперсионными функциями входных и выход­ ных переменных. Решая эти уравнения, определяем детерминиро­ ванный оператор, наилучшим образом (в смысле принятого статисти­ ческого критерия) аппроксимирующий оператор идентифицируемой системы.

В некоторых случаях задача идентификации оператора динами­ ческой системы решается в два этапа: предварительно каким-либо способом определяют структуру оператора, а затем находят оценку его параметров.

14.2. Идентификация линейных систем

Рассмотрим задачу идентификации динамической системы (рис. 14.1), для которой одновременно могут быть измерены входная X (t) и выходная У (t) случайные переменные. Стохастическая при­ рода выходного сигнала Y (/) обусловлена как случайным входным сигналом X (/), так и неконтролируемой помехой N (t) (рис. 14.1). Кроме того, имеются ошибки измерения как для X (t), так и для Y (t).

Задача состоит в определении оператора модели A x (t) (рис. 14.1), наилучшим образом аппроксимирующего истинный неизвестный оператор реальной системы.

Пусть для модели зависимость между входом и выходом имеет вид

К* (0 = А х (0 X (т).

В сущности задача состоит в определении оптимального оператора модели, при котором зависимость У* (t) близка к Y (/). По термино­ логии теории оптимальных систем Y (t) является требуемым теоре­ тическим сигналом [56].

При решении задач идентификации в большинстве случаев опти­ мальный оператор находят по критерию минимума среднего квад­

372

ратор условного математического ожидания. Он является опти­ мальным в классе всех возможных операторов при выбранном критерии. Будем отыскивать оптимальный оператор в классе всех линейных операторов.

Уравнение для определения линейного оператора получим сле­ дующим образом. Умножим правую и левую части выражения (14.6) на X (т') и осредним по входному сигналу:

Линейный оператор А х (t) коммутативен с оператором математи­ ческого ожидания М, поэтому соотношение (14.8) запишем в форме

Равенство (14.9) является уравнением для определения оптималь­ ной оценки оператора в классе линейных операторов по критерию минимума среднего квадрата ошибки.

Уравнение (14.9) можно записать для линейного интегрального оператора

идентификации линейной системы необходимо определить из опыта F.v.v (т, т'), Tyx(t, т') и решить интегральное уравнение (14.10).

Без ограничения общности для линейных систем можно считать

Изложенный метод идентификации обобщается на многомерные линейные системы. Оптимальный оператор представляет собой оператор условного математического ожидания при заданном век­ торе входных сигналов, а оптимальные оценки операторов могут быть получены из системы уравнений типа (14.10), содержащих корреляционные и взаимные корреляционные начальные моменты рассматриваемых переменных.

Некоторые разновидности решаемой задачи возникают тогда, когда требуется идентифицировать весовые функции линейной сис­ темы, на которую действуют неконтролируемые помехи.

Пусть необходимо идентифицировать весовую функцию g (t, т) системы (рис. 14.2), имеющей два входа и состоящей из двух частей с весовыми функциями gy (t, т), g2 (t, т).

373