Рис. 14.2. Линейная динамическая система
Входной и выходной случайные сигналы обозначим через X (t) и Y (t). Кроме того, на систему действует неконтролируемая помеха N (t). Для простоты предположим, что математические ожидания всех сигналов равны нулю. Выходной сигнал рассматриваемой сис
темы (рис. |
14.2) |
имеет вид |
|
К° (i) |
|
t |
t |
= |
f g ( t , x ) X* (т) dx + |
j g 2 (t, x) № (t) dx, |
|
t - T |
i - T |
(14.12)
где g {t, t) — весовая функция всей системы; g*( t , т) — весовая функция от входа N до выхода системы (рис. 14.2). Умножая левую и правую части выражения (14.2) на Х° (t) и применяя операцию математического ожидания, получаем
t
Кух {t, |
х)' |
= |
| |
g {t, т) Кх (т, х') |
dx + |
|
|
|
i — T |
|
|
+ |
Jt |
gi ( t , |
x)KNx(x, x') dx. |
(14.13) |
|
t - T |
|
|
|
Из выражения (14.13) |
следует уравнение (14.11), если помеха |
не коррелирована со входным сигналом Х° (/). |
Следовательно, при |
некоррелированной с входным сигналом X (t) случайной неконтро лируемой помехе N ( t) для идентификации весовой функции линей ной системы получаем уравнение (14.11). В случае коррелированной и неизмеряемой помехи задача идентификации весовой функции линейной системы не может быть решена. Ее надо ставить и решать так, как изложено в начале данного параграфа.
14.3. Оценка параметров линейных систем
Рассмотрим задачу получения оптимальных по критерию минимума среднего квадрата ошибки оценок параметров линейных нестацио нарных динамических систем, описываемых уравнением
У = А {t, U) Y + В (t, U ) Z { t ) , |
(14.14) |
где А (t, U), В (t, U) — матрицы коэффициентов, зависящих от вре мени и вектора случайных параметров U.
На интервале [О, Т] наблюдается вектор
X (I) = H Y (t) + N (О, |
(Н.15) |
где Н — матрица, характеризующая измеритель; N (t) — вектор помех измерителя. Требуется по наблюдению сигнала (14.15) постро ить оптимальную оценку вектора параметров.
Выходной сигнал системы (14.14) можно представить в интеграль ной форме
|
t |
|
|
у (t) = |
J G (t,r, |
U) Z (x) dx, |
(14.16) |
|
о |
|
|
где G (t, t, U) —■матрица |
весовых |
функций системы. Подставляя |
Y (t) в формулу (14.15), получаем выражение для вектора наблю даемого сигнала:
/
X (t) = Н \ G.(t, т, U )Z(x) dx + N{t). |
(14.17) |
о |
|
Поставленная задача может быть решена методами, изложенными в гл. 13. . С принципиальной точки зрения эта задача не вызывает каких-либо трудностей. Однако конкретные результаты можно полу чить только при условии принятия дополнительных предположений, так как аналитические выражения весовых функций можно полу чить лишь для простейших систем и в частности для стационарных систем невысокого порядка. В подавляющем числе случаев весовые функции могут быть получены лишь в результате численного интег рирования уравнений системы при фиксированных значениях пара метров. В этом случае остается неизвестной зависимость весовых функций от случайных параметров. Поэтому нельзя осуществить интегрирование по случайным параметрам при вычислении оптималь ной оценки вектора параметров.
Чтобы получить какие-то реальные результаты, целесообразно учесть априорную информацию о значениях параметров. В качестве такой информации можно использовать законы распределения пара метров или моменты распределения. В удовлетворительно спроекти рованном и реализованном устройстве параметры незначительно отклоняются от своих номинальных значений. Поэтому возможно разложение весовых функций системы в ряд Тейлора по параметрам относительно математических ожиданий параметров и сохранение в разложении линейного, а в ряде случаев и квадратичного членов раз ложения.
Другим фактором, который можно использовать для получения приближенного аналитического решения, является сравнительно высокая точность оценки параметров. При этом условная плотность вероятности вектора параметров при фиксированной реализации входного сигнала близка к 5-функции. Поскольку 6 -функция явля ется пределом нормальной плотности вероятности при стремлении дисперсии к нулю, то при высокой точности измерения параметров апостериорная плотность вероятности может быть аппроксимиро-
ваиа нормальным законом относительно оптимальной оценки век тора параметров. Эта идея уже использовалась рядом авторов [3, 4, 5] и оказалась весьма эффективной для решения ряда задач в стати стической теории оптимальных систем.
Для решения задачи, сформулированной в данном параграфе, воспользуемся условием небольших отклонений параметров от номи нальных. значений. Разложим матрицу весовых функций системы (14.14) в ряд Тэйлора по параметрам и ограничимся линейным чле ном. Разложение выполним относительно вектора математического ожидания параметров:
|
G (t, т, U) = |
G (t, |
х, от) + |
УС? (*, т, от) V, |
(14.18) |
где |
V = U — пг— вектор |
отклонения |
параметров; |
VC? = |
= I dGtjldUk I — градиент |
матрицы весовых |
функций |
по |
вектору |
параметров. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя разложение (14.18) в выражение (14.17), запишем |
наблюдаемый сигнал в следующей форме: |
|
|
|
|
X (I) = |
H Y T + |
S (i) V + |
N (t), |
|
(14.19) |
где матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S (/) = Н { VC? (t, т, |
от) Z (т) dx = НФ (0. |
(14.20) |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Элементы матрицы Ф (() |
имеют вид |
|
|
|
|
|
ф г/ (0 = |
2 |
JdGik% x’ m) Zk (т) dx, |
|
(14.21) |
|
|
*=i о |
|
! |
|
|
|
|
где I — размерность вектора случайных |
параметров. |
номинальных |
|
Вектор Кт есть выходной |
сигнал |
системы при |
значениях параметров. Используя весовую функцию системы, пред ставим этот вектор формулой
t |
|
Yr (t) = } С? (t, х, от) Z (т) dx. |
(14.22) |
о
Предположим, что решение системы (14.14) при номинальных значениях параметров известно. Принимая это решение за опорное (теоретическое). Формируя только наблюдаемую часть этого реше ния ЯК Т и вычитая из выражения (14.19) эту составляющую, полу чаем центрированное значение наблюдаемого сигнала, если помеха имеет математическое ожидание, то его можно сформировать и вы честь из выражения (14.19):
Х° (t) = S (0 V + N{i). |
(14.23) |
Матрицу S (t) можно получить как наблюдаемую часть выход ного сигнала некоторой вспомогательной системы, получаемой из системы (14.14) дифференцированием по случайным параметрам.
Выполняя дифференцирование системы (14.14) и обозначая Ф = VF, получаем
Ф = А (t, т) Ф + VA (/, да) FT + VB (t, т) Z (t), (14.24)
где FT — выходной сигнал системы, описываемой уравнением (14.14), при номинальных значениях параметров:
FT = А (/, т) F T + В (t, да) Z (f). |
(14.25) |
Сформированный сигнал (14.23) соответствует случаю наблюде ния аддитивной помехи и полезного сигнала, линейно зависящего от вектора параметров. Этот случай рассмотрен в п. 10.8. В соответ ствии с результатами, полученными в этом параграфе, оптимальную оценку вектора параметров проводят по формуле
V* = (КС + 1)~гК Q, |
(14.26) |
где / — единичная матрица; К — априорная корреляционная мат рица вектора параметров. Матрицы С и Q определяются формулами
Т |
т |
|
|
С = f # 0 (т) 5 (т) |
6а\ Q = J |
go (т) х (т) dr, |
(14.27) |
б |
о |
|
|
где штрих означает операцию транспонирования. |
|
Матрица весовых функций |
go определяется решением линейного |
интегрального уравнения |
|
|
|
г |
|
|
|
f go (г) KN (t, т) dr = |
5 ' (t). |
(14.28) |
б
Для частного случая, когда помеха является белым шумом с матрицей корреляционных функций K n (U О = <76 ( t — ?), интег ральное уравнение (14.28) легко решается, и весовая функция
go (т) = 5 ' (т) G-K |
(14.29) |
Подставляя это выражение в формулу (14.27) и используя фор мулу для матрицы полезного сигнала (14.22), получаем следующие формулы для матрицы С и Q:
|
т |
|
|
|
С = |
J |
5 ' (т) |
<7_15 |
(т) dr-, |
(14.30) |
|
0 |
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
Q = |
j |
S' (т) |
G ^ X |
(т) dr. |
(14.31) |
|
о |
|
|
|
|
Точность получения компонент вектора оценки параметров
характеризуется апостериорной корреляционной |
матрицей |
К* = М (КС + |
/ ) -1 К, |
(14.32) |
где М — оператор математического |
ожидания. |
|
Структурная схема, соответствующая алгоритму получения оценки вектора параметров для случая, когда помеха является белым шу-
Рис. 14.3. Структурная схема алгоритма оценки |
вектора параметров линейной системы: |
с Г» — операция транспонирования матрицы; ( |
)-1 — операция обращения матрицы |
мом, показана на рис. 14.3. Часть схемы на этом рисунке представля ет собой модель системы при номинальных значениях параметров и модель, характеризующую чувствительность выходного векторного сигнала от параметров системы. Построение такой системы базиру ется на предположении об априорном знании структуры системы.
Для повышения точности получения оценки вектора параметров целесообразно ввести обратную связь, суммируя вектор оценки V* с вектором математического ожидания параметров в матрицах коэф фициентов модели системы. В результате такой корректировки мо дель теоретической системы становится более близкой к фактической системе. При этом точность представления матрицы весовой функции рядом (14.18) повышается.
Если помеха при наблюдении сигнала отсутствует, то оптимальная оценка вектора параметров равна истинному значению вектора. Действительно, в этом случае элементы матрицы отношения спгнал/шум в формуле (14.26) значительно больше элементов единичной
матрицы. Поэтому |
|
V* = C -'K ^K Q = С 1Q. |
(14.33) |
В данном случае вектор |
|
Q = Jт 5' (т) G -'S (т) d - iV . |
(14.34) |
о |
|
Используя формулу (14.30), представим вектор Q в следующем виде:
Подставляя это значение в формулу (14.33), получаем точное равенство между оценкой вектора параметров и его истинным зна чением:
