Пример. Динамическая система первого порядка описывается уравнением
1>“ — 5 Г К + ' & 2<')' |
(,4 37) |
где U2 — постоянная времени: и г — коэффициент усиления: Z (I) — зондирующий входной сигнал. Случайные величины Ult U2 имеют нормальный закон распределе ния вероятности, математические ожидания mv т2, дисперсии Dlt D„ и нулевой взаимный корреляционный момент.
На интервале [О, Т) выходной сигнал системы наблюдается совместно с адди тивным белым шумом, имеющим интенсивность G.
Требуется определить оптимальные оценки коэффициента усиления и постоян
ной времени по критерию минимума среднего квадрата ошибки. |
функ |
В данном случае матрица Н = 1 и наблюдаемый сигнал есть скалярная |
ция |
|
X (I) = Ут + 5 (/) V + N (0, |
(14.38) |
где Ут — выходной сигнал системы, имеющей номинальные значения параметров:
Кт = |
------ У т + |
— |
Z (/). |
(14.39) |
1 |
пц ‘ |
гп2 |
' |
' |
Формируя сигнал YT согласно математической модели (13.39), можно вычесть его из наблюдаемого сигнала (14.38) и получить центрированное значение. Тогда
наблюдаемый сигнал |
имеет вид |
|
|
|
А' 0 (0 = Su (OVi + S12 (/) V2 + N (0- |
(14.40) |
Матрица 5 (() имеет следующие компоненты; Su = Фи : |
S12 = Ф12 и S 21 = |
= S 22 = |
0. Элементы матрицы Ф определяются решением при нулевых начальных |
условиях |
следующих |
уравнений: |
|
>1 2 + 4 YT— ^ Z ( i ) .
ЩЩ
Уравнения (14.39), (14.41), (14.42) описывают модель инерционного звена и модель чувствительности по параметрам при номинальных значениях параметров.
Согласно формуле (14.29) весовая функция оптимального фильтра
Вычислим матрицу С по формуле (14.30);
т
|
С = 1 |
"IS u |
0 |
II *^11 |
|
|
|
о
|
|
G II *^12 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
Г П о |
Г |
S n S I2 |
|
(14.44) |
G J |
^11*^12 *^12 |
|
0 |
1 |
Интеграл от матрицы в этой формуле понимается как интеграл от каждого эле мента матрицы.
а 22 — I 1 + |
j |
S 2u W d r j |
1 5 12 (г) X |
(T) rfx. |
|
Точность определения оценки вектора параметров характеризуется матрицей |
апостериорных корреляционных моментов |
x-------) J S jj (x) S12 (x) dr |
|
-Di J 1 + |
-qj- |
j" S2a (x) d |
|
K* = M 1 |
|
|
|
|
|
|
J Sn (x) S12 (x) dr |
D2 ( 1 + A |
j s 2n (x) dr |
|
где M — оператор математического ожидания. |
|
|
оп |
Если помехи нет (G = |
0), то, как нетрудно проверить по формуле (14.49), |
тимальные оценки случайных параметров равны истинным |
значениям: Vj = |
Ej, |
'Vi = ^
Алгоритм (14.49) достаточно сложен с точки зрения реализации в измеритель ной аппаратуре. Его можно упростить за счет соответствующего выбора формы зон дирующего сигнала и времени наблюдения.
14.4. Оценка параметров нелинейных систем
Рассмотрим задачу оценки параметров нелинейных динамичес ких систем, описываемых дифференциальным уравнением
Y = <p(t,Y, U) + В (t, U) Z (t), |
(14.50) |
где Y — /г-мерный вектор фазовых координат; <р (t, Y, U) — нели нейная вектор-функция размерности /г, зависящая от времени и вектора случайных параметров U\ Z (t) — вектор входного случай ного сигнала; В (t, U) — матрица коэффициентов.
Наблюдению подвергается вектор К„, функционально связанный с вектором фазовых координат системы. Этот вектор в общем случае имеет меньшую размерность, чем вектор фазовых координат, что учи тывается введением матрицы наблюдения Н. Наряду с полезным сигналом в наблюдаемом сигнале содержится аддитивная помеха. Наблюдаемый сигнал имеет вид
X (0 = H Y H+ N(t). |
(14.51) |
По результатам наблюдения необходимо получить оптимальную оценку вектора параметров системы по критерию минимума сред него квадрата ошибки.
Относительно вектора случайных параметров известны априор ные данные в виде закона распределения вероятностей вектора мате матических ожиданий и матрицы корреляционных моментов.
Построим вектор Кн так, чтобы он линейно зависел от вектора случайных параметров системы. Для этого введем модель системы. В качестве модели рассмотрим нелинейную систему, на вход которой поступает сигнал Z (t), а параметры системы равны своим математи-
ческим ожиданиям. Уравнение, описывающее модель системы, имеет вид
Кт = <р (*, Ут, т) |
+ В (t, т) |
Z |
(t), |
(14.52) |
где т — вектор математического |
ожидания |
параметров; УТ— век |
тор фазовых координат модели |
(теоретический |
вектор). |
|
Предположим, что замена случайных параметров математическими ожиданиями приводит к незначительному отклонению фазовых коор динат системы (14.52) по отношению к соответствующим координа там системы (14.50). На основании этого предположения можно рассмотреть движение системы, описываемой уравнением (14.50), в вариациях относительно движения системы, описываемой уравне нием (14.52). Приняв допущение о дифференцируемости векторафункции ср (t, У, U) и матрицы В (t , U) по фазовым координатам и параметрам, линеаризуем уравнение (14.50) относительно движения системы, описываемой уравнением (14.52). Разложение в ряд Тэй лора нелинейной вектор-функции и матрицы коэффициентов и учет в этом разложении только линейных членов приводит к следующим выражениям:
Ф (t, У, |
U) |
= |
ф |
( / , К т, |
т) |
+ |
Уф {t, |
УТ, |
т) |
АУ + |
|
|
|
+ |
Уцф (t, |
УТ, m) |
V) |
|
|
(14.53) |
В (t, |
U) |
= |
В (t, т) |
+ |
VUB |
(t, |
т) |
V, |
(14.54) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д к = К _ К т; |
V — |
U — т\ УФ (t, |
К т, m) = |
| ^ |
> |
У Т, т)/дУ,-\\- |
Vu<P(t, |
У т. |
т ) = |!5ф(. (/, YT, тп)/ди,сII; |
|
|
VuB(t, |
m) = \\dBi} (t, |
m)/dUk \\. |
|
|
(i, |
/=1, |
2....л), |
|
( k = l , |
2 ,...,/). |
Подставляя соотношения (14.53), (14.54) в уравнение (14.50) и вычитая из него уравнение (14.52), получаем линейное дифференци альное уравнение относительно вектора вариаций фазовых коорди нат:
ДК = у Ф (t, Уг, пг) АУ + У„Ф (t, Ут, m) V —
— VUB (t, m) VZ (t). |
(14.55) |
Выходной сигнал системы (14.55) пропорционален вектору откло нений случайных параметров относительно математического ожи дания
t
A K = J g (K t , m> 1, т ) [ У ыф(т ; Y r, m) — VUZ? (т; m)Z(i)]dxV,
о
(14.56)
