Общее решение уравнений (IV.43) можно записать в виде:
аг — А ! cos st + А 2 sin st + Аап + со/;
а 2 = B 1 cos st + В 2 sin st + со/.
Определим соотношение амплитуд А и В. Для этого подставим значения а х и а 2 из (IV.44) в систему (IV.40) для свободных коле баний. Получим
И отсюда
А |
_ |
|
Ь&2 |
(IV.47) |
В |
|
ba2 |
+ i xs2 ’ |
|
|
или |
|
btt2 -f- J |
|
A |
|
|
В |
~ |
|
ba2 |
|
С учетом значения s из (IV.46) выражение (IV.47) можно записать как отношение
Таким образом, при колебаниях обе полумуфты достигают крайних положений одновременно и их амплитуды находятся в постоянном отношении. Движение имеет колебательный незату хающий характер. С учетом демпфирующих свойств двигателя уравнение свободных колебаний имеет вид
УХУ3а ІѴ-j- У, ( O r a in -{- a*b (Ух -|- У2) а 1 |
I |
/ |
Мк |
а 1= 0. (IV.49) |
4- a,b |
w0 |
|
' |
- |
|
Решение уравнения (IV.49) можно записать в виде суммы част ных решений вида:
ах — Аер<;
а2 - 5ері.
Общее решение уравнения (IV.49) можно получить, подставив значения а 1 и а ,
Л Л р1 + J ^ P * + аф (Уа + У2)р3 + (Од
- Г - CLnb М„- р — а.2ЬМк = 0;
отсюда определяются корни ■— циклические частоты собственных колебаний ■— вида р — — п ± is, так как [( /х + / 2) — всегда положительно, то при условии
COQ <hb(Ji + Jt) - h J -гаф ш0 > О,
движение всегда устойчиво при двигателе, имеющем падающую механическую характеристику.
Аналогично отношение амплитуд
А_ |
аф |
|
ИЛИ |
А___ JгР~ Н~ аФ |
в |
JiP- -г м,' |
|
В |
аф |
а ф |
|
Рассмотрим поведение электропривода с синхронной муфтой при линейной механической характеристике двигателя. Примем, что на исполнительный механизм действует внешний момент, выраженный зависимостью (IV.25)
/И„м = Мп-f- М я sin Ш.
Уравнения движения вынужденных колебаний могут быть запи саны в виде:
J іос'і1 |
bao (af — a 2) + |
U)Q a ' -4- аМш — Мк — 0; |
|
J-гос” — ba 2(ai — a 2) — аМэм + |
(IV.50) |
|
|
|
-j- Мп -f- Мнsin flf = |
0. |
|
Решение системы (IV.50) примем в виде: |
|
а і = Сг sin Qt + |
Aan + |
a t + C2 cos Ш; |
|
■>a2 = Dxsin Qt |
м/ + D2cos £2/. |
|
Заметим, что постоянная |
составляющая момента |
|
|
Мп = |
Ьа2Дссп -)- аМэы. |
(IV.51) |
Подставив значения а х |
и а 2 в |
(IV.50), |
получим |
|
- |
C.Q4, + |
Ъа2Сг - |
Ьсфх- |
CÜQ C.Q + |
' |
' |
+ М П- М К+ ^ С0 = 0; |
|
- |
CJQVJ + ba2C2 - |
ba2D2-f. |
CXQ - |
(IV.52) |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
MK+ ^ « |
= 0; |
|
— D1QiJ2— Ьа2Сг -|- ba2D1-|- MH= 0; |
|
_ ' |
— D2Q2J2— ba2C2+ ba2D2 = 0. |
|
Из системы (IV.52) методом определителей определяются ве личины:
(Ьа2- |
У2й = ) - ^ - ( м к |
(üj |
(м ,( |
|
1 |
Мн — ^ c ü j |
С1==- |
- |
|
Qä-] [*fl2 Ul + |
+ A W |
Й2 |
|
J 2Q2) ( - 4 k |
Q^2 — [Q20a2 |
+ |
J2) |
|
(ba2- |
|
-4k 0 |
(to2 - |
y2Q2) ( м к - |
Л4„ - |
- 4 k |
w) - |
JW„&72] + |
|
|
|
|
|
|
|
|
(IV.53) |
c , = |
|
Ь [К (Л + Д) + -V.Q] ß2 (м к - - ^ - ш) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(öa2— J 2Q-) |
й j — |
T-ba2(J1 + |
J2)-{-J1J2Q4J ' |
|
О г= С х |
|
ba2 |
|
j« H |
|
|
bä«— JnQ2 |
|
|
|
|
|
|
D ,= |
ban |
^ C 2. |
|
|
|
|
|
|
tm2 — JaQ2 v"'2' |
|
|
При й |
= |
s выражение в знаменателе примет вид |
|
|
Q2ba2 (J 1-+ |
J 2) + J \ J 2Й4 — |
|
|
= Й2 |
[ba2 (J 1 Ч- J г) |
J \ J 2Й2 ] = 0. |
Таким образом, с приближением значения й к собственной частоте амплитуды а 1 и ос2 растут. Характер нарастания опреде ляется параметрами привода. Построив амплитудную кривую, можно определить область устойчивой работы.
Для установившегося движения с постоянной скоростью урав нения движения (IV.50) имеют вид:
|
М эм sin («г — “ г) Z' + |
|
со — Мк = 0; |
|
(IV.54) |
|
— Мэыsin (ах — а 2) г' + |
Мим = |
0. |
|
|
|
|
Угол |
рассогласования |
полумуфт |
|
|
|
|
|
! |
• |
Мк - |
м„ |
|
|
|
|
Аап = |
0)0 |
1 |
• |
Мим |
(IV.55) |
а 2— а 2 = -р- arcsin — |
Мп |
Т |
arcsin |
|
При |
этом М п = Мим = |
Мэд = const. |
Следовательно, при |
заданных УИЭД и Мт угол рассогласования полумуфт тем меньше, чем больше число зубцов z' и максимальный передаваемый муфтой момент.
При максимальной допустимой нагрузке (т. е. при Мнм= М эм)
|
ctj — а, = J r arcsin |
\ = ~ -L ■ |
(IV.56) |
|
При разгоне привода с муфтой необходимо соблюдение условия |
|
J2со' -J- Мнм •< /Иэы, |
(IV.57) |
|
отсюда |
Мзм |
^ІІМ |
|
|
фі ^ |
|
|
ИЛИ |
|
j 2 |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
dti ^ |
30 |
Мзм |
-Ѵім |
(IV.58) |
|
dt ^ |
я |
J2 |
|
|
Время, необходимое для изменения скорости от пх до пу при разгоне, торможении или изменении режима работы, определяется интегрированием выражения (IV.58) (/Ины = const)
tx«> 3 Ö мш — м ш (пу~ п^ ' |
(IV.59) |
Эту формулу можно записать, заменив момент инерции маховым моментом.
г р |
|
|
г |
GD" |
|
|
|
Так как J 2 |
1 |
= |
-т— ,то |
|
|
|
|
|
|
4g |
|
|
|
|
|
|
|
tx,J > ~375 |
Мэы — Мт (ПУ ~ |
П^ ’ |
(ѴІ‘60) |
где GD'2— маховый момент частей привода, приведенный к валу |
муфты, |
кгс-м2; |
t — в с ; |
М — моменты, |
кгс-м; |
п — в об/мин. |
Формула (IV.60) имеет вид, соответствующий |
известной фор |
муле электропривода для определения времени разгона двигателей. Заметим, что для электромагнитной муфты, имеющей возможность увеличения момента при пуске, в формулах (IV.59) и (IV.60) необ ходимо писать М 3ыкъ.
Для определения характеристик привода при заторможенном двигателе или приводе с большим моментом инерции муфту сле дует рассматривать как систему с одной степенью свободы.
Уравнение движения при этом имеет вид
Л и” — Ьаъ(Дап —..Даг) — аМэм + М„м = 0. |
(IV.61) |
Уравнение свободных колебаний |
|
Л а” + Ьй2Дй2 = 0. |
(IV,62) |
Решение этого уравнения можно записать в виде |
|
а 2 = Be8' + (at, |
(IV.63) |
Подставив решение (IV.63) в уравнение (IV,62), получим уравне ние
J 2Bs2 -f Ьа2В = 0.
Отсюда следует, что корни уравнения (частоты собственных коле баний)
Sl,'-2 = |
± ] |
Ьа2 |
|
(IV.64) |
/ — 'J2 |
|
|
Уравнение движения |
при |
вынужденных |
колебаниях |
|
/ 2а 21+ |
Ьа2Даг + |
Мв sin Qi = |
0. |
(IV.65) |
Решение уравнения (IV.65) можно представить в виде
а .2 = D sin Qi + at. ‘ |
(IV.66) |
а)
Рис. IV.2. Расчетные динамические характеристики муфты «звездочка»: а — зависимость частоты собствен ных колебаний от нагрузки, пред шествующей возникновению коле
Мп/Мэ„ баний; б — амплитудно-частотные характеристики муфты
Определим амплитуду колебаний D, для чего подставим реше ние (ГѴ.66) в уравнение (IV.65)
— J2DQ2sin Qi -j- ba2D sin Qi + |
M asin Qi = 0. |
Отсюда амплитуда колебаний |
|
D = J2Q2— ba2 |
(IV.67) |
На рис. IV.2 показаны характеристики вакуумной магнитной муфты с мощным двигателем (при кьг = 0,5); s = f (Дап) при раз
личных амплитудах колебаний; D = f (Q) при вынужденных ко лебаниях, рассчитанные по формулам пп. 22 и 23 для муфты с •магнитом вида «звездочка», имеющей следующие параметры: Мэм= = 13,8 Н-см; т! = 4; J 2 = 1,63 Н-см-с2.
