Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл (11,42Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 110

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[ Г Л . I

соотношения х

ЕЕ К

следует, что

(—х,

0) ЕЕ Z).

Далее, в

пространстве X

X R1

задана прямая П

= ((Ь, Х))хе (-«,, +«,),

пересекающая

конус Z.

Рассматриваемая

задача

заклю

чается

следующем:

найти

max {X \ (Ь,

X) ЕЕ £ } .

Предполагаем,

что

решение

существует.

Положим

(Ь, ц.)

z„.

Т е о р е м а

1.6

( т е о р е м а

К у н а

—

Т а к к е -

р а). Пусть выполнено

хотя бы одно

из следующих

двух

условий:

а)

конус Z

многогранен

б) прямая П содержит внутреннюю точку

конуса

Тогда

найдется

функционал

(р, у) ЕЕ X*

такой, что

1) я (г0 ) =

шах я

(г) = 0,

P G К*;

Т> 0.

Доказательство следует из теорем отделимости. За

метим, что в случае, когда Z — не многогранный конус

условие

б) (называемое

обычно

условием

Слейтора)

не

имеет места, можно гарантировать лишь, что вместо стро гого неравенства у ^> 0 выполняется у >= 0.

§ 2. С У П Е Р Л П П Е Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы И В Ы П У К Л Ы Е МНОЖЕСТВА

1. Суперлинейные функционалы. Исследование супер линейных точечно-мпожественных отображений, н дина мических моделей экономики, которым посвящена основ ная часть этой книги, существенно опирается на свойства суперлинейных функционалов. В настоящем параграфе устанавливаются эти свойства и связи между суперлиней ными функционалами и выпуклыми множествами.

Функционал q, определенный на замкнутом выпуклом конусе К в векторном конечномерном пространстве X, на зывается суперлинейным, если он

1) супераддитивен: для х, у ЕЕ К

? (я -г у) > q(x) + q (у),

2) положительно	однороден:
q(Xx)=Xq(x)	{х ЕЕ К, X > 0),

3) полунепрерывен сверху.

С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы

Функционал р, определенный на К, называется суб линейным, если он| субаддитивен, (р (х -\- у) ^ р (х) -j- + р (у) для х, у ЕЕ К), положительно однороден и полу непрерывен снизу. Ясно, что р сублинеен тогда и только тогда, когда функционал q = —р суперлинееи. Таким об разом, изучение*сублинейных функционалов сводится к изучению суперлинейных функционалов (и наоборот). В связи с этим мы иногда будем формулировать и доказы вать интересующие нас результаты лишь для одного из указанных классов функционалов.

Условимся совокупность всех суперлинейных функцио

налов, определенных на выпуклом замкнутом конусе

К,

обозначать

через

(К).

Отметим

некоторые простые

свойства

суперлинейных

функционалов.

1) Если q ЕЕ Q (К),

то

вогнут.

самом

деле,

для

х,

у ЕЕ К,

а,

р >

р* =

1 имеем

q(ax

+ |3г/) >

> g

(os) +

q фу)

(ж) +

рд

(у).

Заметим, что и наоборот, вогнутый, положительно

од

нородный

полунепрерывный

сверху

функционал

супер

линееи.

Из 1) следует, в частности, что

2) q непрерывен на множестве

r i

К.

3) Если q ЕЕ Q (К),

то q (0) =

0. Это равенство следует

из соотношений q (0) =

q (2-0)

2-q

(0).

4) Функционал q, определенный на конусе К,

супер

линеен тогда

только

тогда,

когда

подграфик

Z 3 =

{(х,

X) ЕЕ X

В1

| х ЕЕ К,

К <

(х)}

этого функционала является выпуклым замкнутым ко нусом.

В самом деле, выпуклость Zq эквивалентна вогнутости
q, замкнутость Zq — полунепрерывности				сверху q; поло
жительная		однородность q эквивалентна		тому, что Zq —
конус.		q}, g2 ЕЕ Q {К),	то и gt + g2	ЕЕ Q	(К).
5)	Если
6)	Если	q ЕЕ Q {К), к >	0, то и Xq ЕЕ Q		{К).
7)	Нижняя огибающая ограниченного снизу семейства


суперлинейных		функционалов является		суперлинейным
функционалом. Иными словами, если qa				ЕЕ Q (К)		(а ЕЕ А)
ж	для каждого х ЕЕ К		найдется такое		С. что	qa(x)^>
>	С при всех	а ЕЕ Л,	то функционал		q, определенный

32 Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я [ Г Л . I

на К формулой

q (ж) = inf qa (х) (х е К),

а.

суперлинеен.

Для доказательства достаточно отметить, что вогну тость, полупепрерывность сверху и положительная одно родность элементов семейства сохраняются при переходе к нижней огибающей.

2. Примеры. Прежде чем привести несколько примеров суперлинейных и сублинейных функционалов условимся о следующем: символом Rn в этой книге всегда будет обо значаться n-мерное арифметическое (числовое) простран ство; г'-го компоненту вектора х из Rn будем обозначать через х1; символ i?+ обозначает конус векторов простран ства Rn с неотрицательными компонентами; записи х >

!> у, х ^> у и х ^>			у означают соответственно, что я» !> у{
для всех i;	х{ !>	у1	для всех i и хотя бы для одного / вы
полняется	х1' ]>	у';	х1 ^> у1 для всех i.

Перейдем к примерам.

П р и м е р 1. Пусть X — конечномерное векторное пространст во, К = X. Всякий линейный функционал является одновременно сублинейным и суперлннейным на X функционалом.

П р и м е р 2. Пусть X и К такие же, что и в примере 1. Фупкционал р (х) = || х I является сублинейным на X функционалом.

Вчастности, отсюда вытекает

П р и м е р 3. Функционал р,	определенный при г		1 на Rn
формулой
Л . r \ V r
( 2 1*4	'	( * е д п ) ,

сублинеен (субаддитивность этого функционала составляет содер жание известного неравенства Минковского).

П р и м е р 4. Если 0 < г <J 1, то функционал д, определен ный на конусе i ? " той же формулой, что и выше:

1/г

> i=i	*
суперлинеен.
В доказательстве нуждается лишь супераддптивность; иными
словами, надо проверить, что	при любых г,	справедливо

§ 2]	С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы						33
неравенство
71
\ i=l	'	' i=i	'		> j=l	'
Мы не останавливаемся		на доказательстве			(2.1). Оно приводится,
например, в книге Беккенбаха и Беллмана					[1] (см. § 22 гл. I ) .
П р и м е р	5. Функционал q,		определенный			на	конусе Я "
формулой		п
		п
		»(») = (П«*)1 , В ,
суперлинеен.
В доказательстве нуждается, как и				выше, лишь			суперадди-
							п
тивность функционала		q. Положим		Z = 6		\|	zi = 1}.

i=i

Пусть х ;> 0, i £ Z . Тогда, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, получим

.\1,п

2 ^ > ( П - ' Г - . « *

i = i

i= i

Предположим

теперь,

что х ^> 0, и

рассмотрим вектор г

Ч (х)

/ 1

1 \

что z =

я (grad q) (х).) Ясно, что

( —

> • • • » ~гГ г (Заметим,

\ х1

х J

и . .

(х).

i=l

Таким

образом,

выполняется

для х ^> О

<7 (.г) =

m i n - i — ^

x V .

i = i

Пусть

теперь

х ^> 0, у ^> 0. Тогда

q(x

y)=*J-min

(as* +

у1)z*>

zez .^Ч

i = i

J _

fmin

* V +

m i n Y. i / V ) --= q (rr) + ?

(t/).

Из

непрерывности

q следует,

что неравенство

? ( * + ! / ) >

9 С1) +

Ч (У)

выполняется на всем конусе Л™, что и требовалось доказать.

2 В. Л . Макаров, A. M. Рубинов

Смотрите также файлы

Модуль Введение. Развитие бизнесмышления и навыков успешного предпринимателя.doc

Занятие 9 Настройка сетевого адаптера, смена mac адреса. Цель занятия.doc

План введение Основные особенности древнегреческой цивилизации Греческий род Фратрия, племя и нация греков Религия Культура Заключение Список литературы Введение.rtf

Реферат по теме Материалы и их свойства по дисциплине.rtf

1. Метод хорд. Пусть уже известно, что вещественный корень х с уравнения (1) находится внутри отрезка.docx

Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно