Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

в I + 1 раз меньше интенсивности X исходного простейшего потока. Чтобы добиться той же интенсивности, нужно интервал Т времени между поступлениями отдельных требований уменьшить в / + 1 раз. Получающийся указанным способом поток требований называется нормированным потоком Эрланга l-то порядка. Плотность распреде-

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Тн сле­ дующие:

Из последнего выражения следует, что при I -> со дисперсия D(Tн) стремится к нулю. Следовательно, при увеличении I норми­ рованный поток Эрланга l-то порядка стремится к регулярному по­ току, в котором интервалы между соседними требованиями равны

- у . В таком потоке моменты поступления требований определены

точно, т. е. имеется полное последействие. При I — 0 поток Эрланга совпадает с простейшим потоком, в котором последействие отсут­ ствует. Следовательно, порядок / нормированного потока Эрланга может служить характеристикой имеющегося в потоке последей­ ствия. Исходя из этого, иногда возможна замена реального потока требований с последействием нормированным потоком Эрланга. Та­ кая замена производится из условий совпадения математического

ожидания t и дисперсии D(T) промежутка Т между соседними тре­

Из простейшего потока требований можно получить и другие по­ токи. Пусть, например, любое требование этого потока остается с вероятностью р и теряется с вероятностью q — 1 — р. Вероятность

45

Pq (i) того, что в новом потоке в интервале длительностью t не бу­ дет ни одного требования, определяется по формуле

k-0 k—О

k=0 k\

Из этого выражения следует, что получающийся при указанном «разрежении» поток также простейший, причем его интенсивность равна рК.

Если случайное разрежение произвести в стационарном регуляр­ ном потоке требований, то его интенсивность также уменьшится с А до рХ. При многократном разрежении такого потока получается поток, близкий к простейшему. Когда р < 0,8, исходный рекуррент­ ный поток становится близким к простейшему уже при четырех­ пятикратном разрежении.

Пусть имеется п независимых простейших потоков с интенсив­ ностями As (s = 1, 2, ... , п). Обозначим через Zs число требований,

поступивших за время t из s-ro потока. Суммарное число требова-

П

чайная величина Zs имеет распределение Пуассона и все эти вели­ чины независимые, то суммарная случайная величина Z также

интенсивность А= 2 К-

S —1

Рассмотрим п независимых стационарных ординарных потоков. Моменты поступления требований из этих потоков будем понимать как единую последовательность требований. Получающийся таким образом поток называется суммой или объединением исходных п по­ токов. Так как эти потоки независимые стационарные и ординар­ ные, то результирующий поток стационарный и ординарный. Если отдельные потоки требований оказывают примерно равномерное влияние на общий поток, то при относительно большом п суммар­ ный поток почти не имеет последействия, так как требования из отдельных потоков перемешиваются с требованиями из большого числа других потоков. Поэтому при сложении большого числа неза­ висимых ординарных потоков с последействием получается поток, практически не имеющий последействия. Так как результирующий

46

s-ro потока (s = 1, 2, .. ., п) . Следовательно, в данном случае спра­ ведлива теорема, аналогичная центральной предельной теореме теории вероятностей. В таком же смысле можно утверждать, что среди всех потоков простейший поток требований играет такую же роль, как нормальный закон распределения среди других распреде­ лений случайных величин.

Сходимость суммарного потока к простейшему осуществляется очень быстро. Практически можно считать, что при сложении че­ тырех-пяти стационарных ординарных независимых потоков с при­ мерно одинаковыми интенсивностями получается простейший поток требований. Если потоки между собой слабо зависимы, то и в этом случае при достаточно большом п суммарный поток также близок к простейшему. При сложении п нестационарных потоков с при­

На основании вышеизложенного можно сделать вывод о том, что если входной поток порождается большим числом потоков, то ре­ зультирующий ноток требований можно считать простейшим. Ре­ альные потоки требований часто близки к простейшим и потому могут быть заменены соответствующими простейшими потоками, что осуществляется из условия равенства интенсивностей. Когда входной поток простейший стационарный, часто удается получить формульные зависимости для вероятностных характеристик функ­ ционирования системы массового обслуживания. Показано, что при расчетах средбтв обслуживания наиболее жесткие условия к их ра­ боте предъявляет простейший поток требований. Следовательно, если расчет произведен для простейшего потока, то обслуживание этой системой других случайных потоков с той же интенсивностью будет производиться надежнее. Это и является основной причиной того, что при практических приложениях наиболее часто исполь­ зуется простейший поток требований.

§ 7. ПРОЦЕСС ЧИСТОГО РАЗМНОЖЕНИЯ

Несколько более общим, чем пуассоновский процесс, марковским процессом с дискретными ординатами и непрерывным временем яв­ ляется процесс чистого размножения X(t). Данный процесс также

47

В процессе чистого размножения за малое время At возможен переход из любого состояния Сj только в следующее соседнее со­ стояние С]+1 (/ = 0, 1, ...). Соответствующая вероятность перехода

где Xj (t) — неотрицательная функция, совпадающая с временной плотностью вероятности 7i,j+i(0 перехода из состояния С-} в С1+1. Следовательно,

стема находится в состоянии Сг), то начальные значения искомых вероятностей следующие:

Уравнения (7.4) можно получить также с помощью формулы полной вероятности, не используя общей системы уравнений Кол­ могорова. Для этого следует воспользоваться равенствами:

48

Если из правой части (/ + 1)-го уравнения в левую часть пере­ нести вероятность Рj (t), затем обе части уравнения разделить на At и перейти к пределу при At -> 0, то пз (7.6) получается система уравнений (7.4).

Уравнения (7.4) могут быть проинтегрированы последовательно одно за другим. Из первого уравнения находим

=dt,

г о

поэтому

t