Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 180
Скачиваний: 0
Подставляй |
это |
выражение |
в (7.11), с учетом: равенства |
||||||||
Pj(0) = 0 |
приходим к следующей |
рекуррентной формуле: |
|
||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-jx.(£)d£ |
|
|
||
|
|
|
(Q = |
J* |
C-u) |
|
(X ) e ’ |
dx. |
|
(7.12) |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
В частном случае, когда все |
A,j — постоянные величины, т. е. |
||||||||||
процесс чистого размножения однородный, |
|
|
|
||||||||
|
РЛ*) = |
0 |
(/ = |
0, 1, |
. . . . / - 1 ) ; |
Pl (t) = |
e - Xt'-, |
(7.13) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
Pi (t) = |
W |
_Xjt 1 pi-i («) ^ & |
|
(7-14) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(;' = / + |
1, |
1 + |
2, ...). |
|
|
||
Процесс |
чистого |
размножения |
называется |
линейным, |
если |
||||||
Aj = /Я |
(/ = |
0, |
1, ...), |
где Я — положительная |
постоянная. |
Для |
|||||
этого процесса согласно (7.13) и (7.14) |
|
|
|
||||||||
|
Pi(t)zs о |
(у = |
0, 1, |
|
|
— 1); |
P,(t) = |
e - lu ; |
(7.15) |
||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
Л ( 0 = |
(У — 1 ) ^ “ ,м J Pj - i ( « ) e ,xE d\ |
|
(7.16) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
(/ = / + |
1, |
1 + |
2, ...). |
|
|
||
Явные выражения для искомых вероятностей при этом записы ваются в виде
|
Pi (t) = С|1)е-Ш(1 — e - lty~l |
(7.17) |
|||
|
|
(/ = |
/ , / + 1, ..•)• |
|
|
Действительно, |
подставляя |
функцию Р\-\ (t) в (7.16), |
прихо |
||
дим к равенству |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
■^,(0 = CJiJ(y- 1)Яе-1м]>*(^~ I)1-»-1dl |
|
||||
|
|
|
о |
|
|
Полагая вх^—1 = |
г, получаем |
|
|
||
|
|
|
Z |
|
|
Pi (t) = |
С‘-\ и - |
1) e-JM j |
dz = |
|
|
|
|
(у — 1)! |
0 |
|
|
= |
|
|
I)1"*, |
|
|
( / _ ! ) , {j — t)\ e~iU(ем- |
|
||||
что совпадает с (7.17).
50
Положим |
|
|
p(t) = e~Xi, |
q(t)= \—p(t)=l —е~и |
(7.18) |
Тогда равенства (7.17) |
можно переписать в виде |
|
Р-Л*) = &-\ lp(t)Y[q(t)¥-‘ |
(7.19) |
|
( 1 = 1 , 1 + 1 , . . . ) .
Из этих равенств следует, что одномерный ряд распределения ли нейного процесса чистого размножения X(t) совпадает с распреде лением Паскаля при p { t ) = e ~ Xx. Производящая функция этого процесса
G (щ 0 = 2 uipi V) |
up (t) |
(7.20) |
1 — uq (t) |
||
i=i |
|
|
Математическое ожидание случайного процесса X(t) |
||
*(*)=■ 1 |
■leu . |
(7.21) |
P(t) |
|
|
а дисперсия |
|
|
|
|
(7.22) |
При 1 = i распределение Паскаля |
совпадает с |
геометрическим |
распределением, которое для линейного процесса чистого размно жения называется распределением Юла — Фарри.
Неоднородный процесс чистого размножения X(t) называется
линейным, если 0 (0 |
= А (0 |
( / = 0 , |
1, ...), где Л(0 — неотрица |
тельная функция. В |
данном |
случае |
искомые вероятности P j (t) |
также определяются формулой |
(7.19), |
только при этом |
|
|
t |
|
|
-I' х (Е) dE
P(t) = e ° |
, q(t) = \-p(t). |
С помощью производящей функции (7.20) находим:
x(t): |
dG (и; t) |
|
|
J X(E)dE |
||
|
|
le° |
||||
|
ди |
|
|
|||
|
|
u - l |
p(t) |
|||
D(X(t)] = |
d2G(u; |
t) |
■f x ( t ) — И * )]2 = |
|||
|
|
du2 |
U = 1 |
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
_ lq(t) |
|
f X (C) dE |
f |
X (£) dE |
||
= |
le° |
[e° |
- 1 ] . |
|||
|
|
|||||
\p(t)Y |
|
|
|
|||
(7.23)
(7.24)
(7.25)
51
Частным типом неоднородного процесса чистого размножения является процесс Полна, для которого
Xj{t) = |
Х Т |
Т & |
(У = |
°> |
•' •)’ |
|
<7.26) |
где а и Л — неотрицательные числа. |
|
|
1, то |
согласно (7.9) |
|||
Если исходное состояние С0, т. е. Ро{0) = |
|||||||
при I — 0 получаем |
|
|
|
|
|
|
|
P0( f ) = s |
— |
|
л |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Po(t) |
= (l + |
<xlt) |
“ . |
|
|
(7-27) |
При / > 1 искомые вероятности для процесса |
Полна |
опреде |
|||||
ляются формулами |
|
|
|
|
|
|
|
Pi V) = ^ ( 1 |
+ <**) - j-V |
П ( 1 |
+ as) |
|
(7.28) |
||
. |
|
|
|
s«0 |
|
|
|
|
( / = 1 , 2, |
...). |
|
|
|
|
|
Производящая функция вероятностей (7.27) и (7,28) |
|
||||||
ео |
|
|
|
|
1 |
(7.29) |
|
О (и; 0 = |
2 « ^ , ( 0 = |
[1 + - « М ( 1 |
— « ) ] “ |
“ . |
|||
j = |
0 |
|
|
|
|
|
|
Математическое ожидание и дисперсия процесса Полна следую |
|||||||
щие: |
|
|
|
|
|
|
|
* ( / ) = № ; |
D [*(f)] = M (l + aM). |
|
(7.30) |
||||
При линейном процессе чистого размножения и для процесса Полна производящая функция G(u; t) при любом t удовлетворяет условию G(l; t) = 1, т. е. справедливо тождество
2 ^ ( 0 = = ! , |
(7,31) |
i=o |
|
являющееся условием регулярности (невырожденности) данного процесса. Не находя явных выражений для вероятностей Я] (t) из рекуррентных соотношений (7.14), определим сначала, при каких условиях этот однородный процесс будет регулярным (невырож денным) .
Считая Xj Ф 0 (/" = 0, 1, ...), докажем, что при процессе чистого размножения равенство (7.31) справедливо только в том случае, когда
со . |
(7.32) |
52
Предположим, что условие (7.31) выполняется при
(7.33)
где х — ограниченное положительное число. Пусть I= 0, т. е. Ро(0) = 1. Положим
|
|
|
|
$.(*) = |
2 ^ ( 0 . |
|
|
(7-34) |
||
|
|
|
|
|
j=o |
|
|
|
|
|
так что при любом п Sa (0) = |
Яо(0) = |
1. |
|
|
|
|||||
Суммируя равенства (7.4) |
по / от 0 до п, получаем |
|
||||||||
|
V |
(t) - |
- |
lnPn {t) = - |
xn [Sa (t) |
- |
(t)\, |
(7.35) |
||
где S_! (t) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Введем вспомогательные функции |
|
|
|
|
||||||
|
|
Qn{ z ) = \ e - « S a{t)dt |
(п = |
0 , 1 , .. . ) , |
(7.36) |
|||||
где z > |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножив обе части |
(7.35) |
на e~zi и проинтегрировав результат |
||||||||
умножения по t от 0 до оо, приходим к равенству |
|
|
||||||||
|
|
ос |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Je - ztSn' (t) d t = |
— la[Qn (z) - |
Qn_, (г )]. |
(7.37) |
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя по частям, получаем |
|
|
|
|
||||||
|
|
f e~zt Sa' (t) dt = - |
Sn (0) + |
zQa (z), |
|
|
||||
поэтому согласно (7.37) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
г» |
/_\ _ *Sn (0) + ^nQn-1 (z) |
|
(7.38) |
||||
|
|
|
Qn |
|
|
7 + T a |
|
|
||
|
|
|
Уп( |
|
|
|
|
|||
Так как |
S„(Q) == 1, то |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Qo(Z)~ |
z * l Q< |
i |
’ |
|
|
|
|
Qn(2) |
„ |
i * |
I |
~ |
Qn-i (2) < ч— ЬQn—i(z). |
|
|||
|
|
|
|
H - |
|
|
|
|
|
|
53