Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 183
Скачиваний: 0
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
1 |
|
|
|
|
Qn (2 ) <с 2 |
э |
|
|
|
а потому |
|
|
1 -0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(z) = |
lim Q„ (z) |
— — *■ |
|
(7.39) |
||
|
|
|
|
j=0 |
|
|
Если случайный процесс X(t) |
невырожденный, |
то |
|
|||
S(t) |
= |
lim Srt (t) = 2 |
Pi (t) = 1. |
|
(7.40) |
|
|
|
П-* 00 |
j=0 |
|
|
|
Тогда согласно (7.37) |
при любом z > |
0 справедливо предельное ра |
||||
венство |
|
|
|
|
|
|
Q{z) = \er«S(t)dt = \ - . |
■ |
(7.41) |
||||
|
|
о |
|
z |
|
|
'1
Если принять — = x j > х, то равенство (7.41) будет противо
речить (7.39). Отсюда следует, что ограниченного числа х, опреде ляемого равенством (7.33), не существуете потому процесс чистого размножения регулярный (невырожденный) тогда и только тогда, когда выполняется условие (7.32). Физический смысл этого условия рассмотрен в § 2. Случайное время Тj , в течение которого справед ливо равенство X ( t ) = j , имеет показательное распределение с па раметром (/’ —0, 1, ...). Математическое ожидание этой случай
ной величины A l ( 7 j ) = ^ - . Математическое ожидание суммарного
времени Т пребывания случайного процесса во всех состояниях
во во _
|
ЛК7-) = |
2 |
м (^ ) = 2 |
т '- |
<7-42) |
|
|
|
1=0 |
|
1=0 Ч |
|
|
во |
|
|
|
|
|
|
Если ряд 2 т ~ расходится, |
то М( Т )= |
со. |
Это означает, что |
|||
j-о |
Ki |
|
|
|
|
не может принять |
за ограниченное время случайный процесс X(t) |
||||||
все возможные |
значения |
-Xj = |
/ |
(/ = 0, 1, |
...). |
Когда .М (Т) < оо , |
т. е. не выполняется условие (7.32), математическое ожидание слу чайного времени Тj при увеличении j стремится к нулю, а интен
сивность A,j быстро |
возрастает |
(быстрее, |
чем /). Вследствие |
этого |
|
случайный процесс |
X(t) может |
принять |
значение оо |
при |
конеч- |
|
|
|
00 |
|
|
ном времени t\ вероятность такого исхода равна 1 — 2 |
Л’ (О- |
СУМ- |
|||
|
|
|
1=о |
|
|
54
марная вероятность всех возможных значений равна единице. Сле-
оо
довательно, не равная единице сумма 2 P\{t) является суммарной j=o
вероятностью всех ограниченных значений случайного процесса
X(t). |
получить |
явные |
выражения |
для |
вероятностей |
Рj (t) |
|
Чтобы |
|||||||
(j = / + 4, |
l + 2, ...) |
при однородном процессе чистого размноже |
|||||
ния с различными интенсивностями Aj |
(/ = |
/, |
/ + 1, ...), предста |
||||
вим решение рекуррентного уравнения (7.14) |
в виде |
|
|||||
|
|
|
к=1 |
|
|
|
(7.43) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(/ = |
/ + 1, / + 2, |
...). |
|
|
|
Постоянные |
определим из сравнения коэффициентов при |
||||||
одинаковых показательных функциях е~Хк |
в выражении, |
которое |
|||||
получается из (7.14) при подстановке в него (7.43). Кроме того, из условия Pj (0) = 0 следует, что
|
2 Л ]к = |
0 |
( / - / + |
1, |
1 + 2, |
...). |
(7-44) |
||
|
к«/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е~Н f |
5 d |
|
\ |
|
(<ГХ*‘ - е ~ Ч ), |
|
|||
|
У |
|
А; ---- ки |
|
|
|
|
||
|
О |
|
|
i “ |
лк |
|
|
|
|
то в результате подстановки Р\-\ (t) |
из |
(7.43) |
в |
(7.14) получаем |
|||||
|
|
j—1 |
Л - u |
(e-xkt _ e_ V)> |
|
||||
|
|
|
: |
1 1 , |
|
ч * |
1 |
* |
(7.45) |
р >« = |
2 x 7 = |
|
|
|
|
||||
|
|
к=/ |
J |
|
|
|
|
|
|
Из сравнения этого равенства с |
(7.43) |
следует, |
что должно |
быть: |
|||||
А (к == |
А ,. |
|
(k — l, |
/ + 1» ..., |
j — 1) ; |
|
|||
------;— Aj~i,k |
|
||||||||
ljk" |
Ч = К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
j - |
1 |
A |
|
j-1 |
|
|
|
|
v |
A'-i.fc |
■ 2 л jk ' |
(7.46) |
|||||
|
^j—1 ^ |
x |
__X |
||||||
|
|
к=1 K) |
|
к=/ |
|
|
|||
Согласно последнему соотношению выполняется условие (7.44). |
|||||||||
Чтобы найти постоянные |
(7.46), |
воспользуемся равенством |
|
||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
P l+1(t) = V W f А и " ^ Ed\ = . - - l |
{ e - V - |
|
|||||||
|
о |
|
|
|
|
h+i |
h |
|
|
55
Тогда
Аi+иг '■ |
н |
л . |
М+1,1+1- |
|
Л/о. — |
Л» |
\ — Щ+1 |
|
4+1 ~ |
Az |
Подставляя эти выражения в (7.46), находим:
4 + 2 , |
Г - |
"1+1 |
|
|
|
|
00+1 |
|
|
1+2 ~ |
О |
|
+ ’ |
(0+2 0) (0+2 — 0) |
|
||||
|
|
|
|
||||||
Аi+2, г+1 |
_ |
0+1 |
|
•4г+1, г+i: |
|
0 0 + 1 |
0+i) |
||
|
|
0+2 ~ |
0+1 |
|
|
(0+2 — 0+i)(0 |
|||
^4г+2, 1+2 : |
■(Ац-2, г + |
^4г+2, г+i) |
_ |
00+i_______ |
|||||
|
(О — О+гХО+i |
0+г) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При любых j и k коэффициент Ajk |
|
определяется формулой |
|||||||
j-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ъ—1 |
|
( * = / , |
/ + 1, |
.... j; |
/==/ + !, / + 2, |
...), (7.47) |
|||
Аjk: |
|
||||||||
f ] ( 0 - |
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
s—I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s¥=k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 8. |
ПРОЦЕСС ГИБЕЛИ |
|
||||
Примером убывающего марковского процесса с дискретными ор динатами и непрерывным временем является процесс гибели X(t).
Данный |
процесс |
целочисленный, причем его |
возможные |
значения |
Х 1 — / |
(/ = 0, 1, |
..., N). Соответствующая этому процессу физиче |
||
ская система может находиться в состояниях |
С0, Сь ... , |
СN, при |
||
чем нахождению этой системы в момент t k состоянии Cj соответ
ствует равенство X (t) = j (j = |
0, 1, . .. , N). |
|
|
За |
малое время At возможен переход данной физической си |
||
стемы |
только в соседнее предыдущее состояние. Соответствующая |
||
вероятность перехода |
|
|
|
|
■Pj, j— |
— jj-j(^) —{—0 (Д^) |
(8.1) |
0 = 1 , 2, . ... N),
где p-j (t) — неотрицательная функция, совпадающая с временной плотностью вероятности Yj, j-i (t) перехода из состояния Cj в Cj _ , . Следовательно,
Tk,j-i О) |
f b O ) |
при |
k = j \ |
( |
8 |
. ) |
|
|
I |
0 |
при |
k Фj |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
о = |
1, |
2, .... N). |
|
|
|
|
|
56
Временная плотность вероятности 7к (О смены состояния Ск со гласно (4.3) получается равной
7к (*) = 2 Ты (*) = |
Ты k-i (*) = Рк (0 |
(8.3) |
]-о |
N). |
|
(*=» 1, 2, |
|
Система дифференциальных уравнений (4.8) для процесса ги бели принимает вид:
я; (t) = - h (t) Pi (t) + i,j+1 (0 pi+1 (t)
(8.4)
(y = 1, 2 , . . . , i V - 1);
^N^) = ---!j-n (0^ >n (0-
Если при ^ = 0 случайный процесс X(t) равен I (физическая си стема находится в состоянии Сг), то начальные значения искомых вероятностей следующие:
( 1 |
при |
у = /; |
Р>(о) = з“ \ 0 |
при |
у Ф I. |
|
|
(8.5) |
Следует отметить, что уравнения (8.4) можно получить с по мощью формулы полной вероятности, согласно которой справедливы равенства:
Р 0 (t + |
М) = |
P0(t)-1 |
+ |
Pi (t) Л о (*, |
t + |
м у |
|
|
|
Pi (t + |
М) = |
P} (t)\ 1 - |
Pj, ,_x (f, t + |
Д0] + |
|
|
|||
|
|
|
+ |
Pj+1( 0 / )H-i.j ( |
0 |
Д0 |
■ |
(8.6) |
|
|
( 7 = 1 , 2 |
, . . . , |
|
TV— 1); |
|
|
|
|
|
PN (^ + |
^ 0 — |
^*N |
( 0 [ 1 — PN, N —1 ( 0 t - j - |
Д 0 ] • |
I |
|
|||
Интегрирование уравнений (8.4) производится последовательно одно за другим, начиная с последнего. При условиях (8.5) по ана логии с (7.8), (7.9) и (7.12) получается:
Pj (0 = |
0 |
|
(j— l -(- 1, / -j- 2, ... , |
N); |
(8.7) |
|
|
t |
<e)d£ |
|
|
|
—J |
|
|
||
Pt {t) = |
e |
u |
; |
|
(8.8) |
|
i |
|
t |
|
|
|
|
—j H-j (S)d£ |
|
(8.9) |
|
Pj ( 0 = J |
Pi +i W^j +i We T |
di |
|||
|
0 |
|
|
|
|
U= 0, l , . .. , / - 1 ) .
57
Процесс гибели называется линейным, если интенсивность pj (t) пропорциональна /, т. е. ^ (t) = jp(t) (j — 0, 1, N), где р (0 — неотрицательная функция. В этом случае выражения (8.8) и (8.9) принимают вид:
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f И- (5)dc |
|
|
(8.10) |
||
|
Pi(t) = |
e |
в |
|
; |
|
|
||
Л-W = |
|
|
|
|
|
—j 1P- (E) dS |
|
||
( У + 1) J p ( t ) / 5j+1(t)e |
T |
di |
( 8. 11) |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(/ = |
0, |
1, |
... , |
/ - 1 ) . |
|
|
|
|
Расчетная формула для этих вероятностей |
|
|
|
||||||
где |
Р ^)= С \\ р {Ь )П д (^)]г- 3, |
|
( 8. 12) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- f V.(£) dE |
|
|
1 — p (t) = |
|
— f и- (£) dE |
||||
P ( t ) = e |
; q {t) = |
1 — e 0 |
(8.13) |
||||||
Чтобы убедиться |
в правильности |
(8.12), |
подставим |
определен |
|||||
ную по этой формуле функцию Pj_i |
(t) в (8.11). Тогда получим |
||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
Pi (*) = (у + 1) С{ [р (t)V J V.(*)р (т) [^(T)]'-J-1 d-.. |
|||||||||
Полагая |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
j |
(1 (£) dE |
|
|
|
находим: |
q (t) = |
1 |
- |
e |
0 |
= Z , |
|
|
|
dz = ц(т)р(т)й?т; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
j!* (x) P (x) [<7(t:)]'-3" 1dt = |
j z z_3-1 dz = |
Ц зу - • |
|||||||
Тогда |
|
/! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/! |
(/ |
У)! |
|
|
|
|
|
|
что совпадает с (8.12).
Из (8.12) следует, что одномерный ряд распределения случай
ного процесса гибели |
X(t) совпадает с рядом распределения при |
|
биномиальном распределении с параметрами I и p(t). |
Производя |
|
щая функция этих вероятностей |
|
|
|
i |
|
G ( и ; t) = |
2 ^ P i (t) = \q ( t) - f up (*)]*. |
( 8 .1 4 ) |
|
i=o |
|
58