Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

Pl{t) =

e~*ii-, '

v

(8.17)

I

Pi (t) = h+1 ^

I Л+1 («) ^

&

(8.18)

(i= о, l

,

... , / - 1

) .

Р е ш е н и е р е к у р р е н т н о г о у р а в н е н и я ( 8 . 1 8 )

п р и р а з л и ч н ы х и н т е н ­

с и в н о с т я х fij

м о ж н о

п р е д с т а в и т ь

в

в и д е

Pi{t) =

^ A ike -IV

( 8 . 1 9 )

k=j

(/ = 0, 1,

..., / - 1 ) .

Так как

Ру (0) = 0 ,

то постоянные А-^ связаны равенством

i

= о и == о , 1 , . . . , / - 1).

( 8.20)

2 4

к='

V

Для определения

постоянных

определяемую

формулой

(8.19) функцию Pj+i

(t) подставим в (8.18). Тогда получим

frjk= ~r~=i+1--------

(* = Л i + u .... /; / = о, 1,

/ - 1 ) . (8.23)

В данном процессе за малое

время Дt из любого состояния

Cj

практически

возможен переход

только в

соседнее

состояние, т. е.

в Cj+1 (/ =

0, 1, ..., N: — 1)

или в Cj_j

(/ =

1, 2,

... , N). Обозна­

чим через

^j(^) временную плотность вероятности перехода из со­

стояния Cj в Cj+1, а через

jij(/) — временную плотность вероятно­

сти перехода из состояния Cj в Cj_j . Тогда

вероятность того,

что

в интервале (t, ^-f- At) произойдет переход:

— и з с о с т о я н и я C j в с о с т о я н и е C j + !

Р>,Ш(t, t +

At) = Xj (t) At +

0 (\t)

(9.1)

(/ = 0, 1,

..., N , -

1);

— из Cj в состояние Cj_j

Л.Ы (t, t +

\t) = pj (t) At +

0 (At)

(9-2)

(/ =

1,

2.........

— из Cj

в любое состояние Ck, отличное от CjH от двух соседних

состояний

Лк (*, * +

Д0 =0(Д<)

(9.3)

(k =

0,

1, ... , / - 2 , / +

2,

/ + 3, ...,

N;

/ = 0,

1, . . . , N).

Вероятность того, что в интервале

(t, t + At)

исходное

состоя­

ние Сj

не изменится,

Рц (Л ■/+ д*) = 1 -

[X, (0 +

h (01 д* +

о (ДО

(9.4)

причем

(/ — О, 1,

...,

А),

XN(t) =

0;

р0 (О == 0.

(9.5)

Подставляя

(9.4)

в (4.1), находим

Ъ(*) =

*1 (*) +

Pj (0

(/ -

0, 1, .. ., IV).

(9.6)

Аналогично по формуле (4.2) с помощью

(9.1) — (9.3)

получаем:

Tj,j+i (0 = M *)

(/ — 0, 1, ...,

А — 1);

7 i , i - i ( 0 = M 0

( / = 1 , 2,

т (0 = 0 (6 =

0, 1,

— 2, / + 2 , / +

3, ..., А ; / =

0,

1,

... , А).]

Система

дифференциальных уравнений

(4.8)

для

(9.7)

вероятностей

Р j (0

( / =

0;

1, . .. , А)

нахождения физической системы в различ­

ных состояниях при найденных коэффициентах Tj (0

и

Tjk (О при-

нимает вид:

П (0 = - М 0 Л , ( 0 + Pi ( № ( 0 ;

w

-

-

[ ч ( о +

Рк (01 ^к ( о +

к -i

(о

(о

+

+

Pk+i W ^

+ i ( 0

(9-8 )

( * =

1, 2 , . . . ,

/V— 1);

А м ( 0 = — P n ( О Р N ( 0 " b ^ ’N - l ( О ^ N - 1 (О -

Начальными условиями для этой системы служат значения

Pj (t0)

(/ = 0,

1, . . . ,

А) искомых функций в'начальный

момент времени

t — to.

определить вероятность

перехода

системы

за время от t

до t -f At

в состояние

Ck (k = 0,

1, . .. ,

А),

когда

гипотезой

А,-

является

факт нахождения системы в момент t в состоянии С)

(/ = 0, 1, ...

... , А). Так

как вероятность

перехода из

состояния

Сj

в Ск при

j ф k равна

Tjk (t) At -f- 0(Af)i

а при

} — k эта вероятность равна

1 — Yj(0A^+0(A0, to при известных

временных плотностях пе­

рехода приходим к следующим равенствам:

Р0(t +

Д*) = P 0(t)[ 1 - К V) М\ +

Р, (t) р*, (t) Lt +

О (Д*);

Pk {t +

&t) — P k ( t )

[1

( 0

M

—

Pk (t) Д^] +

(9.9)

4" Pk-1 (0

^k—1 (^) ^

+

^k+l (^) (J-k+l it)

+ 0 (Д£)

( * = 1 ,

2........ ЛЛ— 1);

dt

...=

- b

if) + h (t)] Pkj (*o, t) +

+ X j-i it) Pk.j-i fw

t) +

Pj+i (t) Pk,j+i (t0, t)

(9.10)

где

{k,

/==0, 1, .... Щ,

Pk, - l (^o. t) =

P*. N+i (^o. t) — 0;

1

(9

11)

X-, if) =

if)

0;

p0 {t) = pN+1 {t) =

0. I

В соответствии с (4.7)

начальные условия для системы (9.10)

сле­

дующие: Р ы(*0, *0) = skj

ik, j =

0, 1,

N).

..., N) постоян­

Если процесс однородный, то А,,-

и pj (j = 0 , 1,

ные. При этом система

(9.10)

упрощается и принимает вид

Ki it) = -

i'4 +

ft) PWit) + V

A , j-1 it) + pj+1Pk, 1+1it)

(9.12)

iK / = o, l , . . . , щ ,

причем Pkj(O) =

Skj •

Вторая система дифференциальных уравнений Колмогорова (4.9)

для процесса гибели и размножения записывается в виде

дРкj it,

х)

[Xk it) +

PU it)] Pw it, x)

-

----- Tt------ =

-

pk WPk-x.j it, x) -

Xk it) Pk+uit,

x)

(9.13)

ik,

/ =

0, 1,

.... N).