Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

^kj (О =

—•(^к + he) Рki (t) 4- l*k^k-l,j (t) -f- XkPk+1)j (£)

(9.14)

(k,j = 0,

1, ...,

N),

причем Pkj(0) =

6kj •

Лк(/)

и цк (/) полученные

выше

При произвольных функциях

стояний, т. е. при N ==со,

когда

Xk — kX,

цк = А:р

(k — 0, 1, ...),

(9.15)

где Я и ц — положительные постоянные.

(9.8) при­

В этом случае система дифференциальных уравнений

нимает вид

Рк (t) = - k (X +

Р) Рк (t) +

(к - 1) ХРк_, (t) +

Л(0) = 8« =

1

при

j — I;

0

при

(9.17)

J Ф I.

О (и; t ) = 2 « J> j(0 .

(9.18)

j-o

2

« Ч

(*) = - 0- +

?)

2

« к^ к т +

к-0

к=1

+ х 2 ик (k -

1) Рк_! ( 0 +

^

и

к( Н 1 ) Рк-н (*).

(9.19)

к=1

к=0

k-0

Ft

;

2

UkkPk(t) = U

dG(u;

t)

k=l

&a

i «

k( ^ - l ) Лс- i

C) = 2

ui+-jPi (t) — V?д- { и’ ^ ;

k=l

j-0

k-0

j-1

Следовательно, (9.19)

эквивалентно равенству

[ХЦ2 _ (Х +

[1)Ц + 11] ^ М .

(9.20)

Начальным условием

для этого

дифференциального

уравнения

функции G(u; t)

при ^ = 0. С учетом начальных условий

(9.17) из

(9.18) получаем

G(ц; 0) =

(9.21)

Уравнение (9.20) относится к классу линейных дифференциаль­

ных уравнений в частных производных следующего вида:

^

+ /(•«, У> z ) ^

= g(x ,

у, z).

'

(9.22)

Требуется найти

такое решение

2 ==х(х,

у) этого

уравнения (за­

дача Коши), что при известном значении | аргумента

х

будет

%(g, y ) — ®{H)i гДе и (У) — заданная функция. Из

теории

диффе­

У = Ф(*1 £, Л, £), 2 = -ф(х; g, г|, £)

(9.23)

^ = / (х , У ,2); 4gz=g{x, у, г),

(9.24)

z = y[x\ I, г|. со(л)1; # = <[>[*; I, П, ®(т))],

(9.25)

где £ — известное значение, а г) — параметр. Исключив из

(9.25) па­

раметр т), получим искомую функцию z — %(x, у).

для (9.20) являются соответственно

/, и и

G,

а | = 0.

При этом

Х(1> y ) ~ G ( u - 0) — и1, т.

е.

оз( и ) — и1. Так

как

g(t,

и,

G ) = 0,

a f(t, и, G) — —[А«2 — (Я + р)н +

р],

то

уравнения

(9.24)'

записы­

ваются в виде:

^

^ (А. +

р) и f

pj;

~

- =

0.

(9.26)

Решение второго из этих уравнений имеет вид

G =

£,

поэтому

согласно (9.25) для искомой производящей функции получаем

G(«; t) = ы(г)) = г|г.

(9.27)

При к ф р имеем

________ I________ =

_ ! _ / _ ! __________!___ \

hi2 — {i.+ tfu +

p

1. — Л и — 1

a _ J L

Поэтому первое уравнение из

(9.26)

преобразуется к виду

(р — l)dt

du

du.

р ■ =

0 .

и — 1

и ~ т

В результате интегрирования получаем

(р — X) t — In (й — 1) + In [ и — у-1 = In D,

т. е.

и — 1

е&-1) ‘ = Д

(9.28)

К

/V

ТО D =

j - • Тогда Г) =

Подставляя в это выражение D

{ —д ■

5

65

u.

ii

“ -

t

g(ij.->.) t

[x [1

— eO—x) t] — ic [p. — Хе^~9 f]

к

ii -

l

(9.29)

■*i =

[X —

f i e t e - - *)

t j

—

Хц

l ]

“ - Г

. ^(!-i— X) t

Введем следующие обозначения:

6(t)

=

a 11 __ о(9—Ц t ]

, (t)

4

1

- ^ 4

(9.30)

1 1

_____I ’

Так как

|х —

б (t) +

т'(0

- 1

1

к —

f i g d 1— М 1

’

то (9.29)

можно представить в виде

b(t) +

u [ \ - b ( t )

-

T(fl|

(9.31)

V:

1 — щ (t)

Подставляя это выражение в

(9.27),

получаем искомую производя­

щую функцию

у

G (и; t) —

6(^) +

ц[1

- 6 ( Q

- T(Q]

(9.32)

1 —

щ

(t)

I

Если % = р, то первое уравнение из (9.26) будет

dll =

— ). (и

I)2.

dt

При этом вместо

(9.28) получаем

1

— U = D — - -Ц-

и,— 1

7]—

1

так что

1 .

и — 1

,

'п~ 1 + \ ~ } 1 { и - Т ) '

Данное выражение также можно представить в

виде (9.31), если

положить

(9.33)

Последние выражения следуют из (9.30) при р

Поэтому фор­

мула (9.32) справедлива при любых параметрах К и р.

(О (о + Я [1 - е (t) - т (*)]}' =

£ с?я»[1 - Ш ) - т (t)Y [0 W ] ' - s.

s=0

При |v |< 1 справедливо разложение

(1 - * ) - ' =

2

(9.34)

к=0

поэтому при

|Щ {t) I < 1 будет

[1 — «Т (* )] - '=

[«г W ]k.

к=0

Тогда

О (я;

s=0

к=0

~

Для искомой вероятности P\(t),

которая совпадает с коэффициен­

том при и3 в последнем разложении, находим

Pi (t) =

2

С В Д _ 8_, [ 1 - 6 (* ) - T (t))s [6 (t)]‘- s [T (t)V~s

(9.35)

s=0

(/ = 0, 1, . . . ) ,

где Cs; =

0 при s > l.

можно найти матема­

С помощью производящей функции (9.32)

тическое

ожидание х (i) и дисперсию D[X(t)]

числа индивидуумов

в любой момент времени t, используя для этого

формулы

(2.19) и

G(«; t) да — \ 6(t) + и [1 — 0(t) - Т (/)Г

-1 - Щ V) ( '

1

;

Так как G(l; t ) = 1, то математическое ожидание случайной

функции X(t)

будет

\{{t) ==leQ'^ )t ■

(9-37)

Дифференцируя

(9.36)

по и и полагая ы =

1, находим

- / [т(0 ]2 - [ 1 -

6 ( ^ ) - т (^)]2

д“ 2

\ д и )

Jlu-i

[ 1 - 7 W P