Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 189
Скачиваний: 0
Воспользовавшись равенством
|
|
дЮ |
Id G \ 2 |
|
|
|
|
|
да2 |
^ |
ди J |
|
|
для дисперсии случайной функции X(t) получаем |
|
|||||
D\X{t)\ |
, I1 — 6 WJ te g ) + T W 1 |
4 t ) + |
T(t) |
|||
|
[1 |
|
|
1 — т (t) |
||
|
|
|
|
|||
или, что то же самое, |
|
|
|
|
|
|
D \Х(0] = |
i |
е2 ^ |
1 [1 - |
‘ ]. |
(9.38) |
|
При X— риз (9.37) |
и (9.38) следуют равенства |
|
||||
|
л ( / ) = / , |
D[X{t)]^2lKl. |
|
(9.39) |
||
Из (9.37) — (9.39) получаем, что предельные значения матема
тического ожидания x(t) п дисперсии D[X(i)] случайного процесса X(t) следующие:
|
|
|
0 |
при |
X < |
р; |
|
|
||
|
|
1 |
|
X = |
р; |
|
(9.40) |
|||
|
|
|
I |
при |
|
|||||
|
|
|
со |
при |
а > |
р; |
|
|
||
H m D [ * ( 0 ] = |
, |
0 |
при |
7 < |
р; |
|
(9.41) |
|||
|
|
|
а. ; > р . |
|
|
|||||
t - ~ |
( с о п р и |
|
|
|
||||||
Согласно (9.30) и (9.33) |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|||
Пт 6(t) |
|
|
l1 |
при |
X > |
р; |
|
|||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
при |
Х < р ; |
|
|
|||
lim f (t) ■ |
■ |
1 |
при |
X |
|
р; |
|
|||
|
X |
при |
X < |
р, |
|
|||||
|
|
. |
9 |
|
||||||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
при |
|
х < р ; |
|
|||
11m G (гг; t) — |
|
|
\1 |
|
|
|||||
l ( i ' |
при |
Х > |
Р, |
(9.42) |
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в то время как G(l; t) — 1 |
при любом ограниченном t. |
не зависит |
||||||||
Так как предельное |
значение |
функции |
G(«;oo) |
|||||||
от и, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim P j ( 0 |
= |
0 |
( / = |
1 , |
2 , . |
. |
. ) . |
( 9 . 4 3 ) |
||
t - * со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
68
Для предельной вероятности перехода из состояния С1 в С0, т. е. для предельной вероятности вырождения процесса, при этом полу чается следующее выражение:
1 |
при |
Х < ; р ; |
lim Р0(t) = |
при |
(9.44) |
■y-'j |
Х > р . |
Решение систем дифференциальных уравнений Колмогорова для процесса размножения и гибели известно и при более сложных по
сравнению |
с (9.15) зависимостях постоянных |
коэффициентов Ак и |
||||||||
рк от |
k. |
Эти уравнения |
проинтегрированы и |
для нестационарного |
||||||
процесса |
в |
случае, когда лк (t) = |
k\(t) |
и Рк( 0— |
гДе МО |
11 |
||||
ц(^)— заданные положительные |
функции. Применительно |
к |
си |
|||||||
стеме |
(9.8) |
при М = о о |
производящая |
функция G(u; |
t) вероятно |
|||||
стей |
Рj |
(t) |
в этом случае также определяется формулой |
(9.32), |
||||||
только функции 9(^) и т (0 записываются в виде: |
•\ |
|
|
|||||||
0(*) = |
i — |
= т(1------0 |
г г г , |
(9.45) |
|
w(t) |
w(t) |
|
|
|
0 |
|
|
(9.46) |
|
|
|
|
|
|
t |
(?)e~w& dX |
|
|
w (t) — ev(l) 1 -)- J p |
|
(9.47) |
||
|
и |
|
|
|
Формулы (9.35) |
для вероятностей |
Р\ (t) (/ = |
(), 1, ...) |
справед |
ливы и при нестационарном процессе. Математическое ожидание п дисперсия случайной функции X(t) в этом случае определяются формулами
|
|
’x(t) = le'>®, |
|
|
|
(9-48) |
||
|
|
|
t |
|
|
|
|
j |
D\X{t)\ = |
le*® |
f |
[4 £) + M 0 k |
- |
^ . |
(9-49) |
||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
Если >.j (t)-j'k(t) |
и iJ-j. (/) |
—- jn(t) |
(/ = |
0, |
1, ...), |
то при Ы— со |
||
и k —-l система дифференциальных уравнений |
(9.10) |
относительно |
||||||
функций Рц (t) |
Pl} (t0, t) |
записывается в виде |
|
|||||
Р\о (t) = рЛ, (t) ; |
|
|
|
|
|
|
||
р 'ч (0 = |
~ J >■( + I1) |
р ч (0 + (/ - |
1)Р ц - i (t) + |
(9-о0) |
||||
|
+ |
а + |
1 ) рРц+i (t) |
|
|
|
||
|
|
( / = 1, 2 , . . . ). |
|
|
|
|
||
69
Начальные условия при этом следующие:
1 |
при |
/ = /; |
Pij(0) = S„ = |
при |
(9.51) |
О |
j ф I. |
Данная система обыкновенных дифференциальных уравнений ничем не отличается от системы (9.16). Следовательно,
Pli (t) = i Cl С\-+l-s -i [1 - 0 (t) - т (/)]s [S(/)];~s [т (0 ]j- s |
(9.52) |
(/ , / = 0, 1 , . . . ) .
При ограниченном числе N\ каждая из систем дифференциаль ных уравнений Колмогорова имеет единственное решение, удовле творяющее соответственно условию
2 * М * ) = 1 |
(9.53) |
i-o |
|
или |
|
2 P»(t, -с) = 1 (k = 0, 1, . . . , N). |
(9.54) |
j=0 |
|
Когда N = со, эти системы дифференциальных уравнений при определенных условиях, накладываемых на функции Xj (t) и pj (t) (/ — 0, 1 , ...), также имеют единственные решения, удовлетворяю щие условиям (9.53) или (9.54). В некоторых случаях кроме ука занных решений может существовать любое число нерегулярных (невероятностных) решений, для которых вместо (9.53) и (9.54) выполняются неравенства:
2 Л ( / ) < 1; |
0 < 1. |
(9.55) |
j= 0 |
г— о |
|
При определенных условиях системы уравнений имеют только нере гулярные решения.
Однородный процесс размножения и гибели изучен достаточно полно. Для этого процесса определены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых первая и вторая системы диффе ренциальных уравнении Колмогорова с постоянными коэффициен тами имеют единственные (вероятностные) решения. Для первой системы это условие записывается в виде
у |
V 'i-н • • •^j+k _ |
(9.56) |
|
jti |
• • •! W . |
||
|
а для второй системы — в виде
1 |
2 |
!ij+lltj+2 |
ft+k |
oo. |
(9.57) |
|
/'j/'i+i |
. X,- |
|||||
|
|
|||||
k=0 j= 0 |
j+k |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
70
Достаточным условием существования единственного решения пер
вой системы (9.12) при N = со является |
> О при |
k и |
||
Ек1*к-Ч-1 |
• • |
• !*s |
_ |
(9.58) |
~ V'k+1 |
• • - |
К |
|
|
|
|
|||
Получены также другие условия, при выполнении которых рас сматриваемые системы дифференциальных уравнений имеют един ственные решения.
§ 10. СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ПРОЦЕССА РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ
Вероятность |
Pj (/) нахождения физической системы в момент t |
в состоянии Cj |
и вероятность Pkj (t) перехода из состояния Ск в Сj |
(к, j = 0, 1, — |
, N) для однородного марковского процесса размно |
жения и гибели при малом t существенно зависят от этого аргу мента. При больших t указанные вероятности, как правило, стано вятся практически постоянными. Предельные вероятности состоя ний системы
д = Н т />,(*) |
(/ = |
0, |
1, . |
. |
. , |
N) |
(10.1) |
t °о |
|
|
|
|
|
|
|
и предельные вероятности перехода |
|
|
|
|
|
|
|
/>к] = Н т Р ы (*) (к, |
j = |
0, |
1 , . |
. |
. , |
А'), |
(10.2) |
характеризующие поведение системы при установившемся режиме, могут быть найдены из соответствующих систем дифференциаль ных уравнений Колмогорова, в которых для установившегося ре жима производные от искомых вероятностей равны нулю. Для ве роятностей Pi (/ = 0, 1, ..., N) из системы (9.8) получаются сле дующие уравнения:
— \Ро + |
lliР\ — 0; |
|
|
|
|
|
|
— |
0-к |
!‘ к)Рк + К->Рк-\ + |
Гк-нДк-Ы = |
0 |
(10.3) |
||
|
( k = 1, 2, . . . , N - 1); |
|
|||||
|
|
|
|||||
— |
IJ'n P n + '-n - iP n - i = |
0 . |
|
|
|
||
Согласно |
(9.12) |
при фиксированном k (k = |
0, 1 , |
... , N) уравне |
|||
ния для вероятностей pki записываются в виде: |
|
|
|||||
|
— \)Дк,о + lliДкд = |
0; |
|
|
|
||
|
— ( ^ j + \l i ) P k i |
|
|
i + P j + I / J k , j + i = |
0 |
||
|
|
( / = 1 , 2, |
• |
• . , |
N - 1); |
|
(10.4) |
|
|
|
|
||||
— IWk.N + ^N-1 Дк,К-1 ~
71