Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

Pkj — lim Ту {t) — Р\

(Ю-5)

t—00

(k,

j =

0, i,

N).

Следует отметить, что при Xq— 0 и N =

со

равенства рк 0= р0

(k = 0, 1, ...) могут не выполняться. Этот

особый случай в даль­

нейшем будет рассмотрен отдельно.

N) между собой связаны соот­

Вероятности Р} (t) (/ =

0,

1, ... ,

ношением

2 ^ ( 9 = ь

(Ю.6)

j=0

Если число N ограничено, то

для предельных

вероятностей ps из

( 10.6) при t—> оо получаем

§

Л

= 1.

,(10.7)

При N — со вместо (10.7)

может получиться неравенство

2

/>,<

1 -

(ю- 8)

i=o

Если предельные вероятности Р\

связаны равенством (10.7), то

распределение существует всегда, а при №=

оо •для существования

стационарного распределения вероятностей коэффициенты

и j.ik

уравнений должны удовлетворять дополнительному условию.

Чтобы найти решение алгебраических уравнений

(10.3), введем

следующие постоянные:

as =

— ^sA + lVt-iPs+i

(s = 0, 1, . .

. ,

/V — 1).

(10.9)

Тогда соотношения (10.3) принимают вид:

■Оо = 0;

Щ— Яр-1 =

0

(j=---1, 2, ... ,

N -

1); -

aN_,

= 0,

а потому

as =- 0 (s =

0, 1,

..., N — 1).

Из

(10.9)

при

этом по­

лучаем

(« = 0, 1 , ...,

N - 1 ) .

(10.10)

Положим:

7о=1;

7s =

X°Xl

• •

' Xs“ '

( s = l ,

2,

N).

(10.11)

№

• • •Us

Тогда согласно

(10.10)

A =

T.A>

( « = 1 , 2,

...,

N).

(10.12)

Подставляя это

выражение в (10.7),

приходим к равенству

Ро2

Tj = 1.

а потому

j=0

1

Ро~-

(10.13)

N

2 т ,

j=0

При

N'=oo

возможно

равенство

^

7^ =

00.

В этом

случае

р0= 0 и

ps = 0 (s =

1 , 2,

...),

j=o

стационарного распреде­

а потому

< со

(10.14)

j= 0

Рассмотрим особый случай, когда А,о =

0, a N = со. При этом из

состояния

Со нельзя перейти в какое-либо другое

состояние Сj

(j — 1 , 2,

...), а потому Со называется

состоянием

поглощения.

дует,

что Ts — 0 (s = 1 ,

2, ...)

при Ло = 0, поэтому /?3= 0

(s =

1, 2, ...). Необходимое

условие

(10.14) существования стацио­

(10.4) в этом случае следуют равенства

/?](j = 0

( / = 1 ,

2, ...),

а предельная вероятность ркп перехода

из

состояния Ск в состоя­

ние поглощения С0 не определяется.

Равенства

Рко=Ро

(k~

= 1, 2, ...) в этом случае могут не выполняться.

полной

Чтобы найти вероятность рк0, воспользуемся формулой

вероятности

Р(А) = Р(Н1)Р(А/Н1) + Р(Н2)Р(А/Н2)

(10.15)

означают переход системы в момент t

из состояния Ск

в Ск_, и

Ск+1

соответственно. Вероятности этих

гипотез пропорциональны

рк и Хк т. е. Р (Я 1) = ацк,Р (Я 2) = аХк.

Так как Р(Н\) +

Р (Я 2) = 1,

то а =

-г— :----- . Тогда

хк + Рк

Р(Н1) =

Рк

.

р т

К + Рк

(10.16)

+

Рк

равны рк_j 0 и рк+10 соответственно.

Следовательно, справедливы

рекуррентные соотношения

Рк,о

Р к+ 1 ,0

(10.17)

Р к + 1 ,0

Р к.о —

(Р к,0

Р к -1 ,0 )

(10.18)

S

/

S

\

S

Г Ш к+1,0

рм-

) =

1гП1 - рп-

П ( Р к. о

-

Р к -1 ,0 )•

к-1

кк=1

Ки

J к=1

к

После сокращения

общих множителей

с

учетом

/>00 = 1 находим

Рк_

(10.19)

P s f 1,0

Р s,0

< Р |,0

^

Г1 )

к

к=1

( 5 = 1 ,

2, ...).

Суммируя эти равенства по s от 1

до I,

получаем

'

l l

s

Рк

(10.20)

P i+ i,o

- P i ,o =

( P i ,o -

D

2

П V

s - l

\ к = 1

( / =

1,

2, ..,).

s-=l

из

(10.20)

следует равенство

р х0 = 1 .

Тогда

и

р ( 0 = 1

(I =

— 1, 2,

...).

Следовательно, при выполнении условия (10.21)

пре­

дельная

вероятность перехода

системы

из любого

состояния

С,

в состояние

поглощения

С0 равна 1. В этом случае

р 10 =

р0= 1

(/ =

0,

1,

...), а потому справедливы предельные равенства

(10.5);

распределение вероятностей р (

стационарное.

Пусть вместо

(10.21)

имеет место неравенство

х

<

со .

( 10.22)

При

этом

р 10 <

1. При

процессе размножения

и гибели переход

^ = п л -

(1а23)

1

«о

/

S

Hk

(10.24)

Pi.о

= —L_ v i

п

-

1 + х ^

11

к

s=< \ k — 1

1

( / =

1 ,

2,

...).

Пусть, например, Хо =

0,

\ =

k\

и

pk = fe|.i

(6 = 1, 2, ...).

Тогда

, = 2(П-ег) = 2I

( т ) •

s = l

\ к = ]

S —1

Если

р,

то х =

со ,

т.

е. выполняется условие (10.21), а потому

Pi,о =

Ро = 1

(/ = 0,

1, ...).

Когда I >

р,

(А

1

1 -f- X —

Pi,о ~

( т У

(' = 0, 1 , . . . ) .

(10.25)

Таким образом,

в рассматриваемом частном случае

Х <

р;

Pi,о~

X >

р.

(10.26)

Данное выражение совпадает с

(9.44),

когда исходное состояние си­

стемы Сг.

что

выполняется

условие

(10.21),

а

потому

Предположим,

pl0 = 1 , т.

е. обязательно происходит переход из любого

состоя­

ния Ct в состояние поглощения Со. Обозначим через тг

время пе­

рехода системы из состояния Сг

состояние поглощения С0 и

найдем математическое ожидание

'■[

этой

случайной

величины.

Представим тг в виде суммы

'ч = Т 1-\-\Т1,

где

Tt— время пре­

бывания системы в состоянии

Си

а

Д7) — дополнительное

время

до перехода системы из состояния Ct

в С0. Для искомого математи­

ческого ожидания времени перехода получаем тг =

tt-j-

.

Обозначим через

t\ (t) функцию

распределения случайной ве­

личины 7].

Тогда

= Р{Т, >t)Pi,i (t,

t + lt),

(10.27)

где Pi.i (t, t - ) АО — вероятность того,

что за время

от t до / +

бели Pi,i (I, t -f- &t)= 1 — (>.,-[-

О(Д^). Поэтому

*p + A ') “ ? ( 0 [1 —•(X; -f- P;) \t -)- 0 (Д01

или, что то же самое,

Tt

0 (ДО

Д*