Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

Переходя в этом выражение! к пределу при Ai -> 0, получаем

? '( /) = — (*ч + Ы?( /)>

откуда

77

где

При X < р имеем

X

оо

2

Полагая 1 — | — y,4h учетом равенства

( i - y ) s = 2 ( - D jd y j

j= o

получаем

78

Г Л А В А 2

ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Теория марковских процессов с дискретными ординатами и не ­ прерывным временем является теоретической основой для исследо­ вания функционирования большого класса систем массового обслу живания. Каждая из таких систем имеет определенное число п (л > 1) приборов обслуживания и т (т ^ 0) мест ожидания. Тре­ бования в систему поступают в произвольные моменты времени, образуя один или несколько входных потоков. Иногда требования поступают группами определенного или случайного состава. В боль­ шинстве систем любое требование обслуживается одним прибором, но существуют также системы, в которых каждое требование обслу­ живается группой приборов. При наличии нескольких входных по­ токов возможна различная организация обслуживания требований из отдельных потоков. В общем случае требование остается необслуженным вследствие непопадания в систему из-за ее занятости, а также при уходе из очереди, не дождавшись начала обслужива­ ния. Могут быть и недообслуженные требования, если работа си­ стемы организована так, что требования могут покидать систему

впроцессе их обслуживания.

Внастоящей главе рассматривается функционирование различ­

ных систем массового обслуживания. Предполагается, что все по­ токи требований простейшие стационарные, а время обслуживания любого требования является случайной величиной,- имеющей пока­ зательное распределение. При таких условиях применительно к каждой системе массового обслуживания получается система дифференциальных уравнений для вероятностей различных состоя­ ний. Производится интегрирование некоторых систем дифференци­ альных уравнений. Определены предельные вероятности состояний каждой системы. Для различных показателей эффективности функ­ ционирования систем массового обслуживания получены расчетные формулы. Теоретический материал иллюстрируется примерами.

80

{, II. ТИПЫ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ. ВРЕМЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ ТРЕБОВАНИЯ

Каждая система массового обслуживания состоит из определен­ ного числа п обслуживающих единиц, которые принято называть приборами или каналами обслуживания. Если п = 1, то система на­ зывается одноканальной, а при п > 1 — многоканальной. Обычно количество п обслуживающих приборов в системах массового обслу живания ограничено. Однако в некоторых случаях их число на­ столько велико, что при теоретических исследованиях можно счи­ тать п — со . В этом случае говорят о системе массового обслужива­ ния с неограниченным числом обслуживающих приборов (каналов).

Любая система массового обслуживания предназначена для об­ служивания поступающих в нее требований (заявок), последова­ тельность которых принято называть входным потоком. В дальней­ шем будем предполагать, что в систему массового обслуживания поступает простейший стационарный поток требований (см. § 6). При этом случайные промежутки Тх (у— 1, 2, ...) между поступ­ лениями отдельных требований являются независимыми случай­ ными величинами, имеющими одно и то же показательное распре­ деление с параметром X. Данный параметр, называемый интенсив­

ностью потока требований, связан с математическим ожиданием tx случайного промежутка Тх между поступлениями отдельных требо­

ваний равенством Х = — и совпадает с математическим ожиданием tx

числа требований, поступающих в систему 'массового обслуживания в единицу времени.

Анализ функционирования систем массового обслуживания про­ изводится в предположении, что при наличии хотя бы одного сво­ бодного прибора обслуживания соответствующего типа очередное поступающее в систему трЬбование сразу начинает обслуживаться. Если требование поступает в систему при наличии нескольких сво­

должительность обслуживания требования в общем случае зависит от числа уже обслуженных требований, от времени обслуживания каждого из них, от интенсивности поступающего потока п от дру­ гих факторов.

Обозначим через Т{ время обслуживания /-го из поступивших на обслуживание требований ( / = 1 , 2, ...) и будем предполагать, что продолжительность обслуживания каждого требования не зави­ сит от интенсивности их поступления. Тогда обслуживание в целом считается заданным, если заданы законы распределения систем слу­

независимы в совокупности и имеют один и тот же закон распреде­ ления. При этом полной характеристикой обслуживания в целом является функция распределения F(t) = P( Т. < t ) случайной ве­

личины Т\ . Независимость данной функции от индекса / означает,

что все приборы обслуживания однотипные, т. е. имеют одинаковые характеристики.

Время Ту. обслуживания любого требования может быть распре­ делено по различным законам. В частности, оно может быть неслу­ чайным,. тогда функция распределения для Ту. записывается в виде

Иногда время обслуживания не может быть меньше некоторого неслучайного значения ^о- Например, при обслуживании потока те­ леграмм всегда затрачивается определенное время на передачу за­ головка. В этом случае время обслуживания можно представить в виде суммы неслучайной и случайной составляющих. Наиболее часто время обслуживания является случайным. Закон распределе­ ния случайной величины Ту. может быть, например, равномерным, усеченным нормальным, показательным, эрланговским или какимлибо другим. В приложениях наиболее часто принимается, что слу­ чайное время обслуживания любого требования имеет показательное распределение с параметром р, когда

Математическое ожидание времени обслуживания каждого требова­ ния при этом связано с параметром р равенством

убывает тем быстрее, чем больше параметр р. Это говорит о том, что основная масса требований обслуживается быстро. Данное свой­ ство используется как гипотеза для проверки возможности аппро­ ксимации действительного закона распределения времени обслужи­ вания каждого требования показательным законом.

В некоторых случаях время обслуживания каждого требования распределено по закону, сильно отличающемуся от показательного. Однако расчеты показывают, что вероятностные характеристики функционирования систем массового обслуживания относительно

82