Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

слабо зависят от вида закона распределения случайной величины 7'11 и определяются в основном через математическое ожидание вре­

мени обслуживания 7^ ). Вследствие этого время обслужи­ вания любого требования принимается распределенным по показа­ тельному закону с параметром р,, значение которого находится

времени обслуживания любого требования.

Широкое использование показательного закона распределения для времени обслуживания каждого требования и для промежутков времени между поступлениями отдельных требований в простейшем потоке объясняется тем, что при этом существенно упрощается аппарат исследования, так как для анализа функционирования си­ стемы массового обслуживания используется теория марковских процессов с дискретными ординатами и непрерывным временем. Искомые вероятностные характеристики находятся как решение си­ стемы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен тами, а вероятностные характеристики для установившегося ре­ жима — из алгебраических уравнений.

Известно, что при показательном законе распределения проме­ жутков времени между поступлениями отдельных требований закон распределения случайного времени ожидания поступления очеред­ ного требования не зависит от того, сколько времени прошло после поступления предыдущего требования, т. е. нет зависимости от предыстории. Закон распределения оставшегося времени обслужи­ вания при показательном законе распределения не зависит от того, сколько времени обслуживание уже продолжалось. Использование этих свойств часто упрощает исследование функционирования си­ стемы массового обслуживания.

Обслуживание требования в системе может быть однофазным или многофазным. Если требование проходит последовательно все фазы, то продолжительность обслуживания каждого требования по­ лучается в результате суммирования времени обслуживания на каждой фазе; Имеются системы, в которых многофазное обслужива­ ние состоит в том, что требование проходит лишь одну фазу обслу­ живания, выбираемую случайным образом.

Каждый обслуживающий прибор может функционировать на­ дежно или ненадежно. После выхода из строя прибор обслужива­ ния восстанавливается. Длительность его восстановления также яв­ ляется случайной величиной. Если требование обслуживается только одним прибором, то продолжительность его обслуживания совпа­ дает с временем пребывания в системе. При иной организации дообслуживание требования может производиться другим прибором. Имеются системы, в которых одно требование одновременно обслу­ живается не одним, а несколькими приборами. Примером является работа нескольких вычислителей, которые для страховки выполняют один и тот же расчет независимо друг от друга.

83

Если в момент поступления требования в систему все п прибо­ ров заняты, то это требование может покинуть систему, оставшись необслужеиным, или встать в очередь на обслуживание. В зависи­

с ожиданием и смешанные системы. В системе с отказами очереди па обслуживание нет. Любое требование, застав все приборы запя тымн, покидает систему и потому остается необслужеиным. Приме­ ром такой системы является система противовоздушной обороны объекта, в которой время пребывания цели в зоне обстрела мало или соизмеримо со временем, необходимым для ее обстрела. При этом воздушная цель остается «необслуженной», т. е. проходит зону ПВО беспрепятственно, если а момент ее появления в этой зоне все зенитные комплексы заняты обстрелом других целей. Система с ожиданием имеет неограниченное число мест ожидания. Любое поступившее в такую систему требование, застав все приборы заЯя тыми, встает в очередь на обслуживание. Промежуточное положе­ ние между системой с отказами и системой с ожиданием занимает смешанная система с ограниченным числом т мест ожидания. В та­ кой систем .имеется п обслуживающих приборов и ш мест ожида ­ ния. Если все приборы заняты, то вновь поступившее требование встает в очередь на обслуживание, когда есть свободные места, т. о. когда в очереди меньше т требований. В противном случае требо­ вание покидает систему и потому остается необслужеиным. При т — 0 эта система переходит в систему с отказами, а при т — оо — в систему с ожиданием.

Если требование не получает отказа сразу в момент поступле­ ния в систему, то из большинства систем выходят только обслужен­ ные требования. Однако имеются системы массового обслуживания, в которых время ожидания начала обслуживания Т.„ т. е. нахожде­ ние любого требования в очереди, ограничено. Если за это время не начато обслуживание, то требование покидает систему и остается необслужеиным. Как и время обслуживания, время 7\ ожидания начала обслуживания обычно считается случайным. Существуют также системы массового обслуживания, для которых ограничено время Т-f ожидания окончания обслуживания требования. Это время также считается случайным. В большинстве случаев принимается, что случайные величины 7\ и 7\ имеют показательное распределе­ ние с параметрами v n y соответственно.

Существуют системы массового обслуживания с определенной последовательностью обслуживания требований. Наиболее часто тре­ бования к обслуживанию принимаются в порядке их поступления в систему. Имеются системы, в которых требования к обслужива­ нию принимаются в случайном порядке. Существуют так называе­ мые системы с приоритетами, когда в первую очередь принимаются к обслуживанию требования из первого «приоритетного» потока, затем из второго и т. д. Требования из приоритетного потока вые-

84

шего ранга могут дожидаться окончания обслуживания требований из других потоков или прерывать их обслуживание. Если обслужи­ вание прерывается, то требования из потоков низшего ранга могут покидать систему, оставшись недообслуженнымп, или ожидать осво­ бождения прибора для продолжения обслуживания. Существуют и другие разновидности возможных систем массового обслуживания.

Требования на выходе системы массового обслуживания обра­ зуют выходной поток. В этом потоке в общем случае могут быть обслуженные требования, не обслуженные полностью н недообслуженные. В многофазных системах, которые состоят из последова­ тельно расположенных отдельных систем массового обслуживания, выходной поток для одной системы является входным для следую­ щей системы. Выходной поток, как правило, не простейший. Ве­ роятностные характеристики выходного потока требований для любой системы отличны от вероятностных характеристик входного потока. Для их определения необходимо знать вероятностные харак­ теристики, с помощью которых описывается функционирование си­ стемы.

§ 12. п о к а з а т е л и э ф ф е к т и в н о с т и ф у н к ц и о н и р о в а н и я

СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Полной характеристикой простейшего стационарного потока тре­

бований является его интенсивность Я = — , т. е. математическое

4

ожидание числа требований, поступающих в систему массового об­ служивания в единицу времени. При показательном законе распре­ деления времени обслуживания каждого требования полной харак­ теристикой обслуживания является параметр р, связанный с мате­

матическим ожиданием времени обслуживания 4 равенством

р = — . Численное значение времени 4) а потому и параметра р,

4

определяется с учетом качества обслуживания. Поэтому вопрос о качестве обслуживания требований в дальнейшем не рассматри­ вается. Эффективность функционирования любой системы массового обслуживания определяется не качеством, а организацией обслужи­ вания поступающих требований. Любой показатель эффективности должен каким-либо образом характеризовать уровень выполнения системой массового обслуживания тех функций, для которых эта си­ стема предназначена. Выбор показателя эффективности произво­ дится исходя из оценки качества организации процесса обслужива­ ния, надежности обслуживания любого требования, степени загрузки приборов, времени ожидания начала обслуживания и т. и. Могут использоваться также и экономические показатели эффективности. В большинстве случаев нельзя указать единого показателя, который бы полностью характеризовал функционирование системы массового

85

обслуживания. Поэтому для сравнения различных систем исполь­ зуется несколько показателен.

Введем некоторые из показателей эффективности применительно к системе массового обслуживания с п одинаковыми обслуживаю­ щими приборами. Число мест ожидания пусть равно т, причем т — 0 для системы с отказами и т = °о для системы с ожиданием. В зависимости от числа требований в системе такая система массо­

вается k требований, т. е. занято k из п приборов обслуживания. Состояние Cn+S означает, что все п приборов заняты обслуживанием и еще s требований (s = 0, 1 , ... , т) находятся в очереди, дожи­ даясь начала обслуживания.

Во входном стационарном простейшем потоке с интенсивностью X промежутки времени между поступлениями отдельных требова­ ний случайные. Время обслуживания любого требования также слу­ чайное. Поэтому функционирование системы массового обслужива­

к= 0

иполностью характеризуют функционирование системы массового обслуживания. Более полных характеристик указать нельзя. Любой показатель эффективности, характеризующий функционирование системы массового обслуживания с той или иной стороны, выра­ жается через эти вероятности и потому характеризует систему все­ гда менее полно, но, правда, иногда более наглядно.

Рассмотрим несколько показателей эффективности, которые

можно ввести при известных вероятностях Pk(t) (k — 0, 1, ...

.. ., п-\-т). Простейшими показателями эффективности являются вероятности Рo{t) и P„+m(t). Вероятность Po(t) характеризует пол-' ный простой системы, т. е. се нахождение в состоянии С0, когда свободны все п приборов обслуживания. Если требования не поки­ дают очередь на обслуживание, то при ограниченном т вероятность Рп+m (0 нахождения системы в состоянии Cn+m совпадает с вероят­ ностью отказа в обслуживании. Находящиеся в системе требования при указанных условиях будут обслужены, но вновь поступающее требование получает отказ, так как система занята полностью.

86

Зная ряд распределения, можно определить различные числовые характеристики случайной функции X{t). В частности, математи­

ческое ожидание х (t) этой случайной функции, т. е. среднее число требований в системе массового обслуживания в момент t, нахо­ дится с помощью равенства

в момент t. Ряд распределения данной случайной функции следую­ щий:

Математическое ожидание числа приборов, занятых в момент t об­ служиванием требований, рассчитывается с помощью равенства

п—1 m

среднего числа занятых обслуживанием приборов к общему их числу п называется коэффициентом загрузки приборов.

среднего числа простаивающих приборов обслуживания к их об­ щему числу п называется коэффициентом простоя, так что *np (t) =

= \ - к 3,г(0 .

87