Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 197
Скачиваний: 0
Пусть Z(t) — число требований, ожидающих в момент t начала обслуживания, т. е. Z(t) — длина очереди. Ряд распределения этой случайной функции записывается в виде
P[Z(t) = 0] = ± Pk(t); |
(12.9) |
k=0 |
|
P [ Z ( t ) = * s ] = P n+s(t) ( s = 1, 2 , . . . , |
m). |
Математическое ожидание числа требований, ожидающих в мо мент t начала обслуживания, находится по формуле
ТП |
|
7 ( t ) ^ Xs=s1P n +s(s). |
(12 .10) |
Так как X{t)=Y(t)-\- Z(t), то x(t) = y(t)'-\- z(t).
При анализе функционирования систем массового обслуживания наиболее часто рассматривается установившийся режим, который имеет место после затухания переходного процесса. При этом ве
роятность рк нахождения |
системы |
в состоянии |
Ck(k = |
0, 1 , ... |
.. ., п-\-т) получается из |
Pk{t) в предположении, |
что t ^ |
со, т. е. |
|
pk = \imPk(t) |
(k = 0, |
1, .. ., п + т). |
(12 .1 1 ) |
|
Предельные вероятности (12.11) связаны равенством |
|
|
||
|
2 л = ь |
|
|
(12 .12 ) |
|
k=0 |
|
|
|
Следует отметить, что при п-\-т= со , т. е. при бесконечном числе состояний системы, равенство (12 .12 ) может не выполняться, если только коэффициенты соответствующих уравнений не удовлетво ряют дополнительным условиям, которые будут определены ниже.
При установившемся режиме функционирования системы массо вого обслуживания вероятности рк (k — 0, 1 , ... , п + т) постоянны, а потому не зависят от времени и введенные выше числовые ха рактеристики. Расчетные формулы (12.3), (12.5) и (12.10) для ма тематических ожиданий лт, у и z числа X требований в системе, числа Y приборов, занятых обслуживанием, и числа Z требований, ожидающих начала обслуживания, принимают вид:
|
iH-m |
|
|
, |
* = |
— kPk, |
(12.13) |
||
и—1 |
k=0 |
|
m |
|
|
|
|
||
у = 2 |
*/>k+ |
n 2 Pn+s = |
|
|
k=0 |
n —1 |
|
s=0 |
|
|
|
|
|
|
. — я - |
V / |
- k) Ръ\ |
(12.14) |
|
2 . { п - |
||||
|
k=0 |
|
|
|
|
Ш |
|
|
|
— У = 2 |
|
spn+s. |
( 1 2 . 1 5 ) |
|
|
s~l |
|
|
|
88
Коэффициенты загрузки и простоя для установившегося режима функционирования системы
^заг == ~ ’ ^пр — 1 ^заг• |
(12.16) |
Введем дополнительные показатели эффективности систем мас сового обслуживания, справедливые при установившемся режиме их функционирования.
Когда время обслуживания 7ц каждого требования распределено
по показательному закону с параметром |
р = — , где |
М (Tv) , |
_ |
ty. |
требова |
произведение у р равно математическому |
ожиданию числа |
нии, обслуживаемых системой в единицу времени. При простейшем стационарном потоке математическое ожидание числа требований,
поступающих в систему в единицу времени, равно л. Отношение £/ц к X является вероятностью того, что любое требование будет обслу жено. Следовательно, вероятность обслуживания требования
р |
обс.1 |
— ^ |
! |
(12.17) |
1 |
' |
|
где
_ X
(12.18)
~ Iх '
Пусть необслужСнные требования из системы не уходят. Тогда вероятность отказа в обслуживании
f ОТК 1 |
^"обсл = 1 |
у |
(12.19) |
|
а |
||||
|
|
|
Если числа п и т ограничены, то вероятность отказа в обслужива
нии совпадает с вероятностью нахождения |
системы |
в |
состоянии |
С11+т, т. е. Р0ТК —Ai+m- Из (12.19) следует, |
что в этом случае |
||
У = « (1 —Рп+т) ■ |
|
|
(12 .20) |
Когда число приборов обслуживания не ограничено, |
т. |
е. п — оо, |
|
все требования обслуживаются, т. е. отказа в обслуживании быть не может, а потому Р06сл = 1, /J0TK= (). Из (12.17) следует, что при этом математическое ожидание числа приборов, занятых обслужи ванием при установившемся режиме функционирования системы,
У = |
а . |
( 12. 21) |
В системе с ожиданием число н |
приборов ограничено, |
а т — оо. |
При этом также сп1>аведливо равенство (12.21), если только в оче реди на обслуживание находится ограниченное число требований; последнее условие выполняется при определенном соотношении между параметрами X н р.
89
Пусть требования могут покидать очередь, не дождавшись на чала обслуживания, причем случайное время 7\> ожидания начала обслуживания имеет показательное распределение с параметром v.
Тогда произведение zv равно математическому ожиданию числа требовании, покидающих очередь на обслуживание, в единицу вре
мени. Отношение zv к Я равно вероятности ;Рп.оч того, что требова ние покинет очередь, не дождавшись начала обслуживания, т. е.
Рп.оЧ= ^ = 4 - " ’ |
(1 2 .22) |
|
К |
о. |
|
где |
|
|
В= |
— . |
(12.23) |
|
У |
|
При этом вероятность того, что любое требование останется необслуженным, равна сумме вероятности />„+mнепопадания требования в систему и вероятности Р п.оч ухода требования из очереди, т. е. вероятность отказа в обслуживании
Р0гК= Рп+т+ ^ * = 1 - % ■ |
(12.24) |
Пусть, кроме того, ограниченным является время Тт ожидания окончания обслуживания требования, причем случайная величина Тл имеет показательное распределение с параметром у. Тогда ве роятность Р „.обол полного обслуживания любого требования нахо дится по формуле
Рп.обсл = -^ . |
(12-25) |
Произведение уу равно математическому ожиданию числа требова ний, которые покидают систему в процессе их обслуживания. Эти требования называются частично обслуженными. Вероятность ока заться частично обслуженным для любого требования равна
Рчасг = ^ . |
(12.26) |
Вероятность непопадания требования в систему равна рп+т. Вероят ность того, что требование не будет обслуживаться совсем, т. е. ве роятность отказа в обслуживании,
‘ отк — Рп +тТ ^ |
1 |
^ |
• |
(12-2/ ) |
Аналогичные показатели эффективности можно найти и для других типов систем массового обслуживания.
90
§ 13. ВЕРОЯТНОСТИ СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫ
Функционирование любой системы массового обслуживания пол ностью определяется вероятностями Ру (t) (k — 0, 1, ..., N) ее на хождения в произвольный' момент времени t в различных состоя ниях Ск (k = 0, 1, ..., N), причем состояние Ск означает, что в си стеме находится k требований. Для анализа установившегося режима функционирования системы массового обслуживания необходимо
знать предельные значения Ру— Нш PK(t) |
(k = |
0, |
1, |
..., |
N) |
этих ве- |
t-« |
(k = |
0, |
1, |
... , |
N) |
при лю |
роятностей. Искомые вероятности Py(t) |
бом t находятся как решение системы дифференциальных уравне ний Колмогорова для соответствующего однородного марковского
процесса |
с дискретными |
ординатами |
и |
непрерывным временем. |
|||||||||
В общем случае эти уравнения записываются в виде |
(4.8), т. е. |
|
|||||||||||
|
|
^ (* ) = |
- т Л |
(0 + 2 |
т,,Л (*) |
|
<13Л> |
||||||
|
|
|
|
(* = |
0, |
1, ... , |
N), |
|
|
|
|||
где согласно (4.1) — (4.3) |
и (4.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Ткк = |
о ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7/к = П т ] ~ , P i k ( t , |
t + |
At) |
|
(13.2) |
|||||||
|
|
(/, k = |
0, |
1, .. |
., N- 1фк)- |
|
|
|
|
||||
|
|
Tk = limi- |
[1 |
- P |
kk(t, |
И |
^)] |
= V Tkj |
(13.3) |
||||
|
|
Д1-.0 At |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k = |
o, |
l , . . |
. , |
AO; |
|
|
|
|||
Pik (t, t A |
t ) — вероятность |
перехода |
системы |
из |
состояния |
Ct |
|||||||
в |
состояние Ск за время от |
t до t A t , |
а для |
однородного |
про |
||||||||
цесса — просто за интервал времени длительностью |
At. |
|
|||||||||||
Ък |
Для различных систем массового обслуживания коэффициенты |
||||||||||||
г* Т к |
уравнений |
(13.1) |
имеют |
различные |
выражения. Чтобы |
||||||||
не повторяться при выводах дифференциальных уравнений для по добных систем, рассмотрим сразу достаточно общую систему массо вого обслуживания с п . 1 одинаковыми приборами обслуживания
и с т |
0 местами ожидания. Число возможных состояний такой |
системы |
— п-\-т-\-\, причем ' N = оэ, если п = со или |
т —~со. |
Пусть входной поток требований стационарный простейший |
с интенсивностью Я. При поступлении в систему массового обслу живания очередного требования один из свободных приборов сразу приступает к его обслуживанию. Время Т^ обслуживания любого
91