Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

требования является случайной величиной, имеющей показательное распределение с параметром ц. При занятых приборах обслужива­ ния вновь поступающее в систему требование становится в очередь на обслуживание. Однако очередь не может содержать более т тре­ бований. Когда в системе имеется п -f- т требований, все очередные требования из входного потока получают отказ и не обслуживаются. Пусть, кроме того, любое требование, ожидающее начала обслужи­ вания, покидает систему и потому остается необслуженным, если время его пребывания в очереди превосходит допустимое значение Г». Время Тч также будем считать случайной величиной, имеющей

= М{ Тч) — математическое ожидание времени пребывания требо­ вания в очереди.

Частными случаями введенной системы являются следующие си­ стемы массового обслуживания:

—система с отказами;

—система с неограниченным числом приборов обслуживания;

—система с ожиданием;

—система с ограниченным числом мест ожидания;

— система с ограниченным временем пребывания требования

вочереди.

Всистеме с отказами (потерями) ограниченное число п прибо­ ров обслуживания и нет мест ожидания, т. е. пг — 0. В системе вто­ рого типа число п приборов обслуживания настолько велико, что

можно считать п = со. В системе с ожиданием ограниченное число п приборов обслуживания и неограниченное число мест ожидания, т. е. tn = оо, а допустимое время ожидания начала' обслуживания

В системе с ограниченным временем пребывания требования в оче­

— 0, 1 , .. ., п + т) применительно к частным видам систем массо­ вого обслуживания получаются при указанных значениях чисел я, т и коэффициента v из дифференциальных уравнений для введен­ ной системы. Получим дифференциальные уравнения, описываю­ щие функционирование этой общей системы массового обслужи­

вания.

Смена состояний рассматриваемой системы в любой момент мо­ жет произойти из-за поступления очередного требования, при окон­ чании обслуживания любого требования и (при наличии очереди) вследствие ухода требования из очереди. Так как номер k состоя­

92

при поступлении в систему не менее j требований. Вероятность по­ ступления ровно / требовании при стационарном потоке опреде­ ляется формулой

то вероятность (13.4) пропорциональна /-й степени малого проме­

потока А, а от параметров ц и v не зависят. Аналогично доказы­ вается, что временные плотности вероятности перехода системы из состояния Ск в состояния с меньшим номером не зависят от пара­ метра А, а потому при получении соответствующих выражений для Тk,k—j при 1 можно просто не учитывать входной поток требо­ ваний.

Пусть номер k исходного состояния Ск меньше п, т. е. в системе обслуживанием занято k приборов, и очереди на обслуживание нет. С учетом сделанного выше замечания можно считать, что переход системы из состояния С к в C k _ j при 1 k за малое время возможен только в том случае, если за это время / приборов из к закончат обслуживание. Время обслуживания имеет показательное распределение с параметром д, а закон распределения оставшегося времени обслуживания при этом не зависит от того, сколько вре­

93

мени требование уже обслуживалось. Поэтому для одного прибора вероятность закончить обслуживание за время At определяется фор мулой

Так как требования обслуживаются приборами независимо одно от другого, то вероятность перехода системы из состояния Ск в C k_ j за малое время At может быть записана в виде

Переход из состояния Cn+S в Сп+8_! произойдет в том случае, если один из п приборов закончит обслуживание или одно из s требова­ ний, не дождавшись начала обслуживания, уйдет из очереди. По аналогии с (13.13) получаем

не изменит исходного состояния Ск при k О я, с точностью до сла­ гаемых, пропорциональных (At)2, равна произведению вероятностей

рая — вероятность того, что за время At ни один из 'k приборов не закончит обслуживания. Следовательно,

Ркк (t, t + At) = о (Д*)= 1 — (X - f fcji) At + 0 (At). (13.16)

94

Если в системе находится п + т требований, то очередное требова­ ние получает отказ в обслуживании и потому номер состояния Сп+т не изменяется. Следовательно,

Выражения (13.17), (13.19) и (13.21) можно было также полу­ чить с помощью соотношений

\

по найденным ранее коэффициентам fkj-

Подставляя коэффициенты 7к и 7fk в (13.1), получаем диффе­ ренциальные уравнения для вероятностей состояний системы мас­ сового обслуживания в виде:

Р '( 0 = - м > о ( * ) + !

95

Начальными условиями для этих уравнений являются значения искомых функций в начальный момент времени t = 0. Если, напри­ мер, при t = 0 в системе не было требований, то исходное состоя­ ние СоТогда начальные условия для системы дифференциальных уравнений (13.23) следующие:

етемой дифференциальных уравнений (9.8) для процесса размно­

В результате решения системы дифференциальных уравнений (13.23) находятся вероятности Рк (t) 1 , ..., я -f-m), пер­ вые п + 1 из которых характеризуют загрузку системы массового обслуживания, а т остальных — очередь на обслуживание в любой момент времени t. Данные функции при любом / связаны условием нормировки

Если п-\-т= со, то при любых параметрах К, р и v равенство (13.26) может не выполняться. Достаточное условие существования единственного решения системы (13.23), которое удовлетворяет со­ отношению (13.26), записывается в виде (9.58), т. е.

1 Ё т ) = “ -

Учитывая равенства (13.25), получаем

Когда бесконечным является число приборов обслуживания! т. е.

число т мест ожидания не ограничено, то при v Ф 0 условие (13.27) также выполняется, так как

96