Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 204
Скачиваний: 0
Для системы с |
ожиданием т — со, |
v = 0, |
а число п приборов |
||
обслуживания ограничено. При этом |
|
|
|
||
Ш |
1 I |
ео |
, |
\ i |
|
21 = 1 тгПS - 1 (“!*+")=21 = 1 hrV |
/ • |
(13-30> |
|||
Последний ряд расходится, если |
- у — > |
1.Поэтому для |
системы |
||
с ожиданием условие нормировки |
(13.26) выполняется, если |
||||
|
<*= — |
- < я . |
|
|
(13.31) |
Как и в любой |
устойчивой динамической |
системе, |
в системе |
||
массового обслуживания сначала протекает неустановившийся пе реходной процесс, который со временем затухает, после чего проис ходит установившийся режим функционирования системы. При пе реходном процессе вероятности Як(/) (k = 0, 1 , . . . , п-\-ш) нахож дения системы в различных состояниях являются существенно изменяющимися функциями времени t и находятся как решение си стемы дифференциальных уравнений (13.23) при начальных усло виях (13.24). Установившийся (стационарный) режим работы си стемы массового обслуживания полностью характеризуется предель
ными вероятностями |
рк= |
lim Рк (t) |
(k — 0, 1, .. ., |
|
кото- |
|||||||||
рые |
при ограниченной |
|
|
t->00 |
|
|
|
существуют |
всегда. Если |
|||||
|
сумме п-\-т |
|||||||||||||
ft - f - ш |
= |
с о , |
то условие |
существования |
установившегося |
режима |
||||||||
с отличными |
от |
нуля |
вероятностями |
|
Рк (А= |
0, 1 , |
...) |
согласно |
||||||
(10.14) |
и (10.11) |
записывается в виде |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
+ |
У |
( п |
- ^ | < а = |
|
|
(13.32) |
|||
или, что то же самое, |
|
i £ |
i \ j = |
i |
ft |
J |
|
|
|
|
||||
|
n |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
п |
„к |
|
|
|
|
< |
00 , |
|
(13.33) |
||
|
|
|
к=0 |
+ |
|
/=1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
П (ft + |
SP) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
S = *l
где
(13.34)
При неограниченном числе п приборов обслуживания условие (13.33) выполняется всегда. Если т = со , то при v ф 0 указанное условие также выполняется. Для системы с ожиданием, когда т — со, a v = 0, неравенство (13.33) принимает вид
< °° |
(13.35) |
к=0 |
|
7 |
9Г |
Данное условие выполняется, если |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
а < п . |
|
|
|
(13.36) |
|
Предельные вероятности рк могут быть найдены по формулам |
||||||||
(10.12) |
и (10.13) или непосредственно |
из |
уравнений |
(10.23) при |
||||
замене |
Рк(/) на рк и |
P'k(t) |
на 0 |
(& = |
0, |
1, |
. .. , п-\-т). |
По анало |
гии с (10.9) положим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
«k = |
-* P k + P(£ + |
l)Pk+i |
(* = |
0, |
1........ л — 1); |
(13.37) |
||
|
«П+S---' ^PlH-S "I- |
|РР "f" |
|
1) |
Pll+S+T |
(13-38) |
||
|
(s = 0, |
1, . . . , m — |
1). |
|
|
|||
Тогда в соответствии с (13.23)
«о = 0, ак — ак_, = 0 ( k = i , 2, .. ., п + т — 1 ), - |
= 0 , |
|||||||
а потому йк= 0 |
(k = 0, |
1, |
n + |
m — i). |
Из |
(13.37) |
и (13.38) |
|
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рк = |
Л - 1 |
= ^ - Р о |
( А = 1 , 2, .. .. |
л); |
(13.39) |
|||
P n + s ---------- s |
aspn |
— |
|
an+s |
Po |
(13.40) |
||
(« + |
|
j |
(я + |
|||||
|
n |
/?) |
n\ П |
zp) |
|
|||
|
/-i |
|
|
|
г =l |
|
|
|
Так как |
(s = |
l, 2, . . . . |
m). |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П + |
Ш |
|
|
|
|
(13.41) |
|
|
*2 p k= |
i . |
|
|
|
||
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
то вероятность p0 находится с помощью равенства |
|
|
||||||
Ро |
„к |
|
„ п П) |
|
—s |
- 1— 1 |
(13.42) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
П |
(« + §) |
|
|
||
|
к=0 |
|
s8=1 |
|
|
|||
|
|
|
|
I=1 |
|
|
|
|
§ 14. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ
Наиболее простой системой массового обслуживания является система с отказами (потерями), в которой имеется ограниченное число п одинаковых приборов обслуживания и нет очереди на об служивание, т. е. т = 0. При занятых приборах обслуживания лю бое поступающее требование получает отказ в обслуживании и по тому остается необслуженным. По числу требований в системе дан-
98
ная система массового обслуживания может находиться в я |
1 |
со |
||
стояниях Ck(k — 0, 1, |
я), причем состояние Ск |
означает, |
что |
|
обслуживанием занято k приборов. Вероятности Л<(0 |
(6 = |
0, 1, ... |
||
.. ., я) нахождения системы в указанных состояниях в любой мо мент времени t определяются как решение системы дифференци альных уравнений (13.23) при т = О, т. е.
Р;(^) = |
- Х Р 0(^) + 1хР1 (*); |
|
W = |
- (* + *Р) ръ(*) + ^ k - 1 (t) + К * + 1 ) Р ы (t) |
|
|
(k = 1, |
(14.1) |
|
2, . . . , Я — 1); |
|
P'n(t) = |
- n ? P n(t) + |
Wn-At). |
Если исходным является состояние Со, то начальные значения иско мых функций следующие:
Л>(0)=1; Рк(0) = 0 (6 = |
1 , 2, .. ., |
я). |
(14.2) |
Число дифференциальных уравнений |
системы |
(14.1) |
с я + 1 |
можно уменьшить до я, если исключить одну искомую вероятность, воспользовавшись соотношением
2 Л с ( * ) = 1. |
(14.3) |
к - 0 |
|
Равенства (14.1) представляют собой систему однородных диф ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Реше
ние |
такой |
системы |
следует искать в виде |
Рк (t) = AueTt (6 = |
|||
= 0, |
1 , |
. .. , |
я ), где 4 |
и г — постоянные. Подставляя эти функции |
|||
в (14.1) |
и |
сокращая |
на |
еп, приходим к алгебраическим |
уравне |
||
ниям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(г |
X) i40— р-41 = 0 ; |
|
|
|
|
— M k-i + (>" + |
*•+ kp) Ak— р. (6 + |
1) Лк+1 ==0 |
(14 4) |
||
|
|
|
(6 = 1 , 2 , . . . , я — 1 ) ; |
|
|||
— М п - 1 + ir + nV-)Л п = 0.
Данная система однородных алгебраических уравнений относи тельно Л0, Ль ... , Ап имеет ненулевое решение только в том слу чае, если равен нулю ее определитель, т. е. должно быть
99
г + Х, |
— I1 |
0 |
0 |
. . |
|
0 |
0 |
|
- К |
Г + |
X - j - (А, - 2 р |
0 |
. . |
|
0 |
0 |
|
0 |
- |
К |
г + Х + 2 р , — З р |
. . |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
— X, |
г —|—Хч— |
Зрь . . |
|
0 |
0 |
0 ' |
|
0 |
0 |
0 |
. . |
. г + М - ( л — 1 ) р , — Л р |
||
0 |
|
0 |
0 |
0 |
. . |
. |
- X , |
Г + Л р |
Раскрыв этот определитель, получим характеристическое уравне
ние |
( л + 1 ) - й степени. |
Корни данного |
уравнения обозначим через |
гj |
(/ = 0, 1 , ..., п) и |
для простоты |
ограничимся рассмотрением |
случая, когда все они различные. Следует отметить, что один из корней обязательно равен нулю. В этом просто убедиться, если сло жить все п 1 строк характеристического определителя. При этом
получается строка, все элементы которой |
равны г, |
а |
потому при |
||||
г — 0 характеристический определитель обращается |
в |
нуль. |
|
||||
Считая одну из произвольных постоянных, например Л0, извест |
|||||||
ной, с помощью уравнений (14.4) при фиксированном г можно вы |
|||||||
разить все другие постоянные через А0. |
Обозначим |
коэффициент |
|||||
пропорциональности между Ак и Л0 через |
Вк(г), т. |
е. |
положим |
||||
Ак = |
Вк(г)А0 |
(А = |
1, 2, |
.... л). |
|
|
(14.5) |
Тогда общее решение системы (14.1) записывается в виде |
|
||||||
Л<(*) = 2 |
Вк(П) А ^ |
(k = |
0, 1, ..., |
л), |
(14.6) |
||
j=0 |
|
|
|
|
|
|
|
где 5 0(rj) = l, a Aui (/ = 0, 1, |
.. ., л) |
— произвольные постоянные. |
|||||
Используя начальные условия |
(14.2), |
для определения постоянных |
|||||
А0j (/ = 0, 1, ..., л) |
получаем систему алгебраических уравнений: |
||||||
|
2 А «=1; |
I |
|
|
j=0 |
|
|
|
|
|
( 1 4 . 7 ) |
2 |
(о) ^Oj = |
о (k — |
|
j~0 |
|
|
|
После определения этих постоянных искомые вероятности рассчи тываются с помощью равенств (14.6).
Если начальные условия для искомых функций не совпадают с (14.2), то из-за этого изменяются только правые части алгебраи ческих уравнений (14.7), а потому будут другие значения постоян ных Aai (у — 0, 1, . . .. л).
100