Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

Зная вероятности Рь (t) (6 = 0, 1, .. ., п), можно проанализи­ ровать различные показатели эффективности функционирования системы массового обслуживания с отказами, часть из которых вве­ дена в § 12. В частности, характеристикой полного простоя си­ стемы в любой момент времени t является вероятность Po(t), а Рп(0 совпадает с вероятностью отказа в обслуживании. Матема­ тическое ожидание числа Y(t) приборов, занятых обслуживанием требований, в любой момент времени t находится по формуле

Если время работы системы в два-три раза превосходит матема­ тическое ожидание времени обслуживания каждого требования

г^ ~ — , то, как показывают расчеты, можно считать, что переходIх

ной процесс закончился и происходит установившийся режим функ­ ционирования системы. Для вероятностей /?к (6 = 0, 1, .. ., п) на­ хождения системы в различных состояниях при этом справедливы

по имени впервые получившего их датского ученого А. К. Эрланга. При выводе этих формул предполагалось, что входной поток требо­ ваний простейший стационарный, а время обслуживания каждого требования распределено по показательному закону. Более деталь­ ные исследования, произведенные Б. А. Севастьяновым, показали, что эти формулы справедливы при любом законе распределения случайного времени обслуживания каждого требования с математи­

ческим ожиданием t[L, если принять р .= -= -. Формулами (14.10) и

(14.11) можно пользоваться при приближенных расчетах и в том случае, если входной поток требований не простейший. Замена дей­ ствительного стационарного потока требований простейшим с той же интенсивностью X обычно мало влияет на величины вероятно­ стей Рк(6 = 0, ! , . . . , « ) и на показатели эффективности, опреде-

101

ляемые через эти вероятности. Указанная замена возможна и при приближенных расчетах вероятностей (0 нахождения системы в различных состояниях для неустановившегося режима функцио­ нирования. Однако время обслуживания любого требования при этом должно быть распределено по показательному закону.

Вероятности (к = 0, 1, ... , п) могут быть рассчитаны по фор­ мулам (14.10) и (14.11) или найдены с помощью специальных таб­ лиц, составленных в зависимости от параметра а и числа п.

Вероятность полного простоя системы при установившемся ре­ жиме ее функционирования совпадает с Ро. Вероятность полной за­ грузки системы, т. е. вероятность того, что все приборы обслужива­ ния заняты, равна рп. Данная вероятность совпадает с вероятностью отказа в обслуживании. Вероятность обслуживания любого требо­ вания

Л>бсл=1-/>п. (14.12)

Математическое ожидание числа Y приборов, занятых обслужива­ нием требований,

Коэффициент загрузки системы кзат, совпадающий с вероятностью того, что любой прибор обслуживания занят,

a tnp = M (Tnр). Математическое ожидание времени обслуживания

каждого требования одним прибором равно tv. = — . Отношение Щ к

102

Для математического ожидания времени простоя прибора обслужи­ вания при этом получается следующее выражение:

в системе массового обслуживания. Для определения функции рас­

где гипотеза Н\ означает, что обслуживанием заняты все п прибо­ ров, а Н2— свободен хотя бы один из п приборов обслуживания. Вероятности этих гипотез следующие: Р(Н\) = рп\ Р(Н2) = \ — р^ Время обслуживания любого требования распределено по показа­ тельному закону с параметром р, поэтому Р(ТС<. t/H2) — 1 — е~ 11 при t > 0. Если все приборы обслуживания заняты, то очередное требование в систему не попадает, поэтому

С учетом этих равенств соотношение (14.19) переписывается в’ виде

Производная от единичной функции e(t) равна дельта-функции б(^). Поэтому плотность распределения случайного времени Тс на­ хождения требования в системе

fc(t) = F'0( t ) = p ^ ( t ) + (\—pn)\ie-^ при t > 0. (14.21)

Математическое ожидание этой случайной величины

Рассмотрим частный случай, когда в системе с отказами имеется только один прибор обслуживания, т. е. п = 1 . При этом уравнения (14.1) для вероятностей Po(t) и P\{t) записываются в виде

103

Решение этой системы ищем в виде P0(t) = A0ert, Px(t) = А ^ .

—X г + |»

апотому характеристическое уравнение

Следовательно, искомые вероятности:

p o ( ^ ) = - r b r l l + a e " (X+,l>tJ;

(14.30)

104

К такому же результату можно прийти другим способом, исклю­

решение которого при начальном условии А>(0 ) = 1 определяется первой формулой из (14.30). Зная Ро{Ц, вероятность P\{t) нахо­ дим с помощью равенства Pi(t)— 1 — P&{t).

Если исходным является состояние Сi, т. е. момент ^ = 0 совпа­ дает с поступлением в систему требования, то вместо (14.28) будет

Функция Po(t) в любой момент времени t совпадает с вероят­ ностью простоя одноканальной системы массового обслуживания, а функция P\{t)— с вероятностью ее функционирования. Матема­ тическое ожидание y(t) числа Y(t) приборов, занятых обслужива нием в момент t, и коэффициент загрузки приборов &заг (0 в этом случае совпадают с P\{t). Если проинтегрировать функцию Р\(t) по t от 0 до Т, то получим математическое ожидание числа прибо­ ров, занятых обслуживанием в промежутке времени от 0 до Т. Ма­ тематическое ожидание времени обслуживания одного требования

105