Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

Для математических ожиданий w0(T) и w^T) случайных чисел W0(T) и Wi(T) обслуженных за время Т требований при исходных состояниях Со и С1 соответственно получаются следующие выра­ жения:

Из (14.30) и (14.34) следует, что независимо от номера исход­ ного состояния вероятности Po(t) и P\{t) при увеличении t схо­

Пример 14.1. Сравнить по вероятности обслуживания любого требования при установившемся режиме функционирования две си­ стемы с отказами, на вход каждой из которых поступает простей­ ший поток требований с интенсивностью X. В первой системе имеется п одинаковых приборов обслуживания, причем математиче­

ское ожидание времени обслуживания каждого требования ^ = — .

Вторая система одноканальная; математическое ожидание времени

сти обслуживания каждого требования для этих систем при п = 2

и при п = 4, если а = — — 1.

Р е ш е н и е . Для первой системы массового обслуживания ве­ роятности Pk(k — Q> 1 » я) нахождения в различных состояниях определяются формулами (14.10) и (14.11), т. е.

„к

I

где а =

V-

106

Вероятности обслуживания любого требования для этих систем следующие:

любого требования в первой системе больше, чем во второй. Следо­ вательно, при одной и той же производительности «р систем для увеличения вероятности обслуживания любого требования лучше иметь несколько менее производительных приборов, чем один при­ бор обслуживания с суммарной производительностью.

Если а = 1, п — 2, то

Следовательно, первая система обслуживает 80% требований из входного потока, а вторая система — только 66,7 % требований. Остальные требования получают отказ в обслуживании и потому остаются необслуженными.

Если а = 1, п = 4, то

107

При этом разность в числе необслуженных требований составляет

18,5% вместо 13,3% при п — 2.

Пример 14.2. По корабельному соединению выпущено 16 крыла­ тых ракет. Для их уничтожения на кораблях охранения имеется три одинаковых зенитных комплекса, математическое ожидание времени обстрела каждым из которых одной ракеты равно 0,5 мин. Границу зоны обстрела этих комплексов ракеты пересекают с ин­ тенсивностью 4 ракеты в минуту. Если ракета пересекает границу зоны обстрела в момент, когда все зенитные комплексы заняты стрельбой, то она не обстреливается и прорывается к охраняемым кораблям. Вероятность поражения любой ракеты за стрельбу по ней одним комплексом равна 0,8.

Оценить эффективность противоракетной обороны кораблей охра­ нения при стационарном режиме функционирования данной си­ стемы, если каждая ракета может обстреливаться только одним зе­ нитным комплексом.

Р е ш е н и е . При указанных условиях противоракетная оборона кораблей охранения представляет собой систему массового обслужи­ вания с отказами, когда число приборов обслуживания п ---- 3. Ин­ тенсивность входного потока требований составляет 4 ракеты в ми­

=1 6 Р о б с т = 1 2 , 6 .

Вероятность поражения любой ракеты за стрельбу по ней одним зенитным комплексом 0,8. Так как вероятность обстрела ракеты равна Робст, то вероятность сбитая любой ракеты Р сб — 0,8Робст =

108

= 2,5. Математические ожидания числа ракет, обстрелянных одним зе-

^обст АО. Wc6 нитным комплексом и сбитых одним комплексом,— —— = 4,z, —— =

времени каждый зенитный комплекс не занят стрельбой.

Для математического ожидания времени простоя каждого зенит­ ного комплекса согласно (14.18) находим

Математическое ожидание времени Тс нахождения ракеты в си­ стеме «обслуживания» по формуле (14.22) равно

Пример 14.3. Для защиты объекта имеется один зенитный комп­ лекс, который начинает обстрел воздушной цели сразу при ее входе в зону обстрела. Если в указанный момент комплекс занят обстре­ лом другой цели, то очередная цель прорывается к объекту. Время обстрела каждой цели случайное, имеющее показательное распре­

деление, причем t^— 2 мин. Воздушные цели образуют простей­ ший поток с интенсивностью одна цель за 2 мин, т. е. К= 0,5 i/мин.

Оценить эффективность защиты объекта по математическому ожиданию числа обстрелянных воздушных целей в течение Т= 6 мин, если момент t — 0 совпадает с началом обстрела первой цели, а зенитный комплекс не подвергается воздействию воздуш­ ных целей.

Р е ше ни е . Так как цель остается необстрелянной, если в мо­ мент ее входа в зону обстрела зенитный комплекс занят обстрелом другой цели, то этот комплекс представляет собой одноканальную систему массового обслуживания с отказами. По условию:

109