Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 205
Скачиваний: 0
Для математического ожидания Wi (t) числа Wi (t) целей, обстре лянных за время t, согласно (14.37) имеем
|
« ■ = Т Т Т + ( Н ^ р - 11 - е" |
= |
|
|
||||||
|
|
|
|
= 0,25 |
+ 1 — е~‘). |
|
|
|
|
|
Разность &wx (tk)= |
Wi (tk) — ^i(^k-i) |
равна математическому ожи |
||||||||
данию числа целей, обстрелянных в промежутке времени от |
i |
|||||||||
до tk. Значения |
функций Wi{t) |
и |
Ддо^) |
при |
tk— 4 - i = 1 мин |
|||||
приведены в табл. |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
t |
0 |
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
|
w ,(t) |
0 |
|
0,408 |
0,716 |
0,988 |
1,245 |
1,498 |
1,749 |
|
|
Д®! (t ) |
— |
|
0,408 |
0,308 |
0,272 |
0,257 |
0,253 |
0,251 |
|
|
Математическое ожидание числа обстрелянных воздушных це |
|
|||||||||
лей за 6 мин до (6) |
1,75. При использовании приближенной фор |
|
||||||||
мулы (14.40) |
до = |
1,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
15. СИСТЕМА С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ |
|
|
|||||||
|
|
|
ПРИБОРОВ ОБСЛУЖИВАНИЯ |
|
|
|
||||
Когда число п приборов обслуживания достаточно велико, при |
|
|||||||||
ближенно можно считать, что в системе имеется неограниченное |
|
|||||||||
число одинаковых приборов. В такой системе любое требование из |
|
|||||||||
входного потока сразу начинает обслуживаться, причем вероятность |
|
|||||||||
обслуживания Р 0бсл=1- |
Число состояний системы п = со, |
причем |
|
|||||||
состояние Ск означает, что обслуживанием требований занято к |
|
|||||||||
приборов (к = 0, 1, |
...). |
Вероятности |
(0 |
(к = |
0, 1, ...) |
нахож |
|
|||
дения системы в указанных состояниях являются решением си |
|
|||||||||
стемы дифференциальных уравнений |
(13.23) |
при п = со, т. е. |
|
|||||||
Рk (t) — — O' + |
|
^Р) |
(0 + ^ k —1 (t) + Р (к 1) Рк+1 (О |
(1 5 .1 ) |
|
|||||
|
|
|
(к = 1, 2 , . |
. . ). |
|
|
|
|
||
по
Если в момент t — Q все приборы обслуживания свободны, то на чальные значения искомых функций следующие:
Л>(0) = 1; Рк(0) = 0 (Л= 1, 2, ...)• |
(15-2) |
Получим решение системы (15.1), состоящей из бесконечного числа связанных между собой дифференциальных уравнений, т. е. найдем явные выражения для вероятностей ЛДО (& = 0, 1, ...). Для этого воспользуемся возможностью преобразования системы (15.1) обыкновенных дифференциальных уравнений к одному диф ференциальному уравнению в частных производных относительно производящей функции, определяемой формулой
С ( » Л ) = |
2 ^ к ( / ) . |
(15.3) |
|
к;—о |
|
Умножив k-e уравнение из |
(15.1) на ик (£ = 0, 1, ...) |
и про |
суммировав результат по всем возможным значениям k, приходим к равенству
2 |
«к/>; (t)= х(« — 1) 2 |
и*рк (t) + |
|||
к = |
0 |
к |
= 0 |
|
|
+ ^ |
2(k + l)ukPk+1(t) - |
2 |
ku*Pu(t) |
||
|
к = 0 |
|
|
к = 1 |
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
^ P k( t) = ^ 9 . S u’ Ъ ; |
||||
|
к - 0 |
& |
|
|
|
2 |
(k + 1 ) икРк+1 ( t ) ~ |
2 |
ku'pk( 0 = |
||
к = |
0 |
|
к = 1 |
|
|
.= (1 - « |
) 2 |
кик~1ръ ( о = о |
- |
« ) |
t] . |
|
к = 0 |
|
|
|
|
Следовательно, система обыкновенных дифференциальных урав нений (15.1) эквивалентна следующему дифференциальному урав
нению в частных производных: |
|
|
+ |
|
(15.4) |
С учетом (15.2) из (15.3) находим начальное |
значение искомой |
|
производящей функции G(«; t) при ^ = |
0 в виде |
|
G(u; 0 ) = 1. |
|
(15.5 ) |
111
Метод решения уравнения (15.4) изложен в § 9. Из сравнения
(15.4) с (9.22) следует, |
что координатами х, у, г для (15.4) яв |
||
ляются t, и, G соответственно, а 5 = |
0. При этом х(|, У )~ G(u; 0) = |
||
= 1, а потому а ( и )= 1 . Так как f(t, и, G) = ц (и — 1), g(t, |
«, G) = |
||
— Х(и— 1)G, то уравнения (9.24) |
записываются в виде: |
|
|
da |
dG |
X(u — \)G, |
(15.6) |
dt — р (« |
— 1 ); dt |
||
причем интегральная кривая должна проходить через точку (0, т], £),
где г} = ыД=о, а С = |
ОД=о- |
следует, что |
|
|||
Из первого уравнения (15.6) |
|
|||||
|
|
|
da |
|
,, |
|
а потому |
|
|
Ч Г = Т = |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In (а — 1 ) = pi + С , |
|
||
причем С = |
1п (т) — 1). Тогда |
|
|
|
||
т. е. |
|
|
In (и - 1 ) = {Л + 1п(т]— 1), |
|
||
|
|
м = (г| — 1 ) |
+ 1 . |
(15.7) |
||
|
|
|
||||
Согласно |
(15.6) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
dG |
XG |
|
|
поэтому |
|
|
da |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G — Схе 11 |
, |
|
|
причем 6Д — Се |
11 |
.Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
■ (и— Г|) |
|
(15.8) |
|
|
|
G = Се ^ |
|
||
Согласно (9,24) |
в (15.8) следует заменить £ на <й(т) ) = 1. |
Следова |
||||
тельно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G = |
( U- Ti) |
(15.9) |
|
|
|
|
e * |
. |
||
Исключив из (15.7) и (15.9) параметр ц, получаем следующее выражение для искомой производящей функции:
G(u; t) — exp — (и - 1)(1 — е-*) |
(15.10) |
Известно, что производящая функция случайной величины X, рас пределенной по закону Пуассона, имеет вид
0 ( и ) = ехр [(и — 1 )л ] |
( 1 5 .1 1 ) |
112
Из сравнения (15.10) с (15.11) следует, что случайное число X(t) приборов, занятых обслуживанием требований в момент вре мени t, имеет распределение Пуассона. Математическое ожидание этой случайной функции
|
x{t) = — ( Г - е - И ) . |
|
(15.12) |
||
|
|
t1 |
|
|
|
Вероятность Рк (t) того, |
что в момент t обслуживанием требований |
||||
занято k приборов, определяется формулой |
|
|
|||
Pk(f) = M |
2 |
] l e-7(t) |
(6 = 0 , 1 , . . . ) . |
(15.13) |
|
Таким образом, получено решение (15.13) |
системы |
дифферен |
|||
циальных уравнений (15.1) |
при начальных условиях (15.2). |
||||
Предельные вероятности |
рк (6 = |
0, 1, ...) |
состояний системы |
||
массового обслуживания с неограниченным числом приборов можно
найти с помощью |
(15.13), полагая |
t = c o . Для математического |
ожидания у ~ х ( оо) |
числа приборов, |
занятых обслуживанием при |
установившемся режиме функционирования системы, из (15.12) на ходим
у = — = о. |
(15.14) |
I1 |
|
Вероятность рк того, что обслуживанием занято 6 приборов, при этом определяется формулой
(* = 0 ,1 ,...) . (15.15)
Пример 15.1. При работе электронной вычислительной машины
ее отдельные блоки выходят из строя с интенсивностью два блока
всутки. Эти блоки сразу поступают в ремонт, а на их место ста вятся резервные. Математическое ожидание времени ремонта каж
дого блока равно двум суткам. |
|
_ |
|
|
|
|
||||
Найти |
математическое |
ожидание |
x(t) |
числа |
блоков, |
находя |
||||
щихся в ремонте в момент t, вероятности |
Ps{t) |
(s = |
0, 1 , |
2 ) того, |
||||||
что в момент t имеется s неисправных блоков, |
и вероятности рк |
|||||||||
(k = 0, 1 , |
...) |
того, что при установившемся режиме работы вычис |
||||||||
лительной |
машины |
в ремонте |
будет находиться |
одновременно |
||||||
6 блоков. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Известна |
интенсивность поступления |
неисправных |
|||||||
блоков: 6 = 2 |
l/сут. |
Математическое |
ожидание |
времени |
ремонта |
|||||
каждого блока 1^ = 2 суг, |
поэтому |
р = |
4 г - = 0,5 l/сут, а = |
-----= 4. |
||||||
|
|
|
|
|
|
tf. |
|
|
|
1* |
8 |
113 |
Согласно (15.12) математическое ожидание числа блоков, находя щихся в ремонте в момент t (t в сутках),
лг(^) = 4(1 — e_0'5t).
Искомые вероятности Ps(0 согласно (15.13) рассчитываются с по-‘ мощью равенств:
|
Р0(*)= |
|
P l(t) = x ( t ) e - ^ m = x {t)P 0(t); |
|
|||||||
|
|
р 2 (t)= Y |
Й012^-7(t) = о,5*(t) Pi (t ). |
|
|
||||||
Значения функций x(t) |
и |
Ps{t) |
(s = 0, |
1 , 2) |
при различных зна |
||||||
чениях t приведены в табл. 2. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
t, сут |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
x(t) |
0 |
1,57 |
2,53 |
3,11 |
3,46 |
3,67 |
3,80 |
3,88 |
3,93 |
3,96 |
3,97 |
PoV) |
1 |
0,208 |
0,080 |
0,045 |
0,031 |
0,026 |
0,022 |
0,021 |
0,020 |
0,019 |
0,019 |
Л ( / ) |
0 |
0,326 0,202 |
0,140 0,107 |
0,095 |
0,084 |
0,081 |
0,079 |
0,075 |
0,075 |
||
А (0 |
0 |
0,256 |
0,256 |
0,218 |
0,186 |
0,175 |
0,159 |
0,158 |
0,154 |
0,149 |
0,150 |
Вероятность рк того, что при установившемся режиме работы вычислительной машины в ремонте будет находиться одновременно k блоков, определяется с помощью равенства
|
|
|
|
|
|
|
(£ = 0, 1 , . . . ) . |
|
|
|
|
||
Значения этих вероятностей приведены в табл. 3. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Ръ |
0,018 0,073 |
0 ,146 |
0,195 |
0 ,195 |
0,156 |
0,104 |
0,060 |
0,030 |
0 ,013 jo,005 |
0,002 |
0,001 |
||
114