Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 209
Скачиваний: 0
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р ( Тож> t ) = |
п — ос е~+ (»—)‘ = Рп.з б' 11(п- а)*. |
(16.29) |
|||||
|
Искомая функция распределения времени ожидания начала об |
|||||||
служивания определяется формулой |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
О |
|
при, |
t < |
0; |
|
(16.30) |
|
1 |
— Рп.з&-^ <п -“)1 |
при |
t >• 0. |
|
|||
|
|
|
||||||
Данная функция непрерывна при t Ф 0, |
а в точке t = |
0 имеет раз |
||||||
рыв первого рода. Величина скачка, |
как следует из (16.30), |
равна |
||||||
1 - |
Рп.з • |
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцируя функцию распределения, находим плотность |
|||||||
распределения времени ожидания начала обслуживания |
|
|||||||
f(t) |
= (1 — Рп.з) 8 (*) + (! ( ц - а)Рп.3е-:1(а-«>1 |
при |
f > 0. |
(16.31) |
||||
|
Начальный момент &-го порядка случайной величины Гож опре |
|||||||
деляется с помощью равенства |
|
со |
|
|
|
|||
|
со |
|
|
|
|
|
||
|
ГП\[Т0Ж) — J tkf (t) d t = ^ ( n — а) Р„.з j |
|
("-«) t dt. |
|
||||
|
—oo |
|
|
0 |
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j Pe-^dt |
|
|
1 |
Г (6 + |
1 ), |
|
|
|
|
|
ak+1 |
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
причем Г(& +• 1 ) = k\, to |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тк(Тож) = ' |
( * = 1 , 2 , . . . ) . |
|
(16.32) |
||||
|
|
И я - я )]11 |
|
|
|
|
|
|
При k = l из (16.32) получается выражение (16.22) для математи ческого ожидания времени ожидания начала обслуживания. Дис персия этой случайной величины
D ( Тож) — /я2 ( Тож) |
(^ож)2 = |
Рп.З (2 — Рп.з) |
(16.33) |
||
р2 |
(п — а)2 |
||||
|
|
|
|||
Математическое ожидание числа X требований в системе нахо дится с помощью равенства
x = y + z. |
(16.34) |
Отношение х к математическому ожиданию числа требований, по ступающих в систему в единицу времени, т. е. к X, равно математи ческому ожиданию времени Гс нахождения требования в системе, т. е.
и - |
х |
( 1 6 .3 5 ) |
|
Т ‘ |
|||
|
120
Обозначим через Т3№ случайное время непрерывной занятости прибора обслуживания, а через Точ — время наличия очереди, ко торое отсчитывается от момента образования очереди (переход си стемы из состояния Сп в Сп+1) до момента ликвидации очереди (при очередном переходе системы из состояния Сп+1 в Сп). Мате матическое ожидание случайной величины Тзаг определим с по мощью равенства
^заг = Р Ш1) М ( Т^/Н,) + Р (Я2) М,( T3J H 2), |
(16.36) |
|
где гипотеза Нл означает отсутствие очереди, а Н2— наличие ее. |
||
Имеем |
|
|
Р (Я 2) = РОЧ — —<7?n+S = ^П.З Рп ! |
|
|
|
S=1 |
|
т. е. |
|
|
Р0 |
п— а |
(16.37) |
04 |
|
|
При отсутствии очереди математическое ожидание времени занято
сти прибора обслуживания равно t^— — , поэтому М(ТЗаг/Я 1) = — . |
|
fi |
[i |
Если очередь есть, то математическое ожидание времени занятости
прибора равно сумме М(Тзаг/Н2) = ----- Ь t04, где t04— математичеIх
ское ожидание времени наличия очереди. Подставляя найденные выражения в (16.36), приходим к равенству
^заг — (1 |
Роч) — + Роч ^ ^ |
+ А)ч j . |
Т, е. |
|
|
♦ |
*эаг = ~ + Л * * о ч - |
(16-38) |
|
I1 |
|
Для математического ожидания времени наличия очереди справед лива следующая расчетная формула (см. § 17):
■ |
1 |
_ РоЧ |
|
(16.39) |
|
04 |
Р(я — а) |
1рп |
' |
||
|
Отношение математического ^ожидания времени занятости при
бора t3ar к сумме t33r -f tnр, где tnр — математическое ожидание вре мени простоя прибора обслуживания, равно коэффициенту за грузки &заг (вероятности занятости прибора), т. е.
1-заг — ь
--- —г ----
-пр
121
Т о гд а м а т е м а ти ч е с к о е о ж и д а н и е в р е м е н и п р о с т о я п р и б о р а
^пр = = I у |
1 |
/ |
^заг • |
(16.40) |
\^заг |
|
|
|
Пример 16.1. Неисправные изделия в ремонт поступают с ин тенсивностью одно изделие в сутки. Математическое ожидание вре мени ремонта каждого изделия одной бригадой составляет четверо суток.
Определить эффективность стационарного режима работы пяти одинаковых бригад по ремонту изделий, если изделия ремонти руются в порядке их поступления, причем каждое — одной брига дой.
Р е ш е н и е . Интенсивность поступления в ремонт неисправных изделий равна одному изделию в сутки, т. е. X = 1 1jcyr. Матема тическое ожидание времени ремонта каждого изделия одной брига
дой ^. = 4 сУт-1 поэтому (л = |
— = 0,25 1/сут, |
а — — = 4. Число |
|
^ |
I1 |
приборов обслуживания, т. е. количество бригад, |
п = 5. Число неис |
|
правных изделий, ожидающих начала ремонта, может быть любым. Следовательно, в данном случае имеется система массового обслу живания с ожиданием.
Вероятность р0 того, что все пять бригад свободны от ремонта, находим по формуле (16.7):
Вероятность рк того, что ремонтом заняты k бригад, согласно (16.3) записывается в виде
1? |
лк |
|
|
Рк— Ро ~ 0.013 |
(k = 1. |
2, 3, |
4, 5 ). |
При этом получается: р\ — 0,052; |
р2 = 0,104; |
Рз = |
0,138; Р4= 0,138; |
р5 — 0, 1 1 1 . |
|
|
|
Вероятность р3+5 того, что в очереди на ремонт находится s из делий, в соответствии с (16.4) получается следующей:
Математическое ожидание числа бригад, занятых ремонтом, у = <х= 4. Коэффициент загрузки, т. е. вероятность того, что
бригада занята ремонтом, £заг |
0,8. Коэффициент простоя |
knp= 1 — k3ar — 0,2. Следовательно, в среднем каждая бригада сво-
122
бодна от ремонта изделий 20% рабочего времени. Математическое
ожидание числа бригад, не занятых ремонтом, п — у = 1 . Вероятность полной загрузки бригад ремонтом изделий
Л,.з = " ^ - = 5/>6= 0,555.
П— я
При а = 4 и « = 5 для системы с отказами находим /?5 = 0,199.
Тогда согласно (16.17) математическое ожидание времени неполной загрузки бригад
t, |
1 |
= 3,22 сут. |
|
5-0,25 |
|||
|
0,199 |
Для рассматриваемой системы с ожиданием математическое ожида ние времени полной загрузки бригад по формуле (16.9) равно
*п.з= 3,22 |
= 4,02 сут. |
Математическое ожидание числа изделий, ожидающих начала ремонта,
2 = -“^ - = 4-0,555 = 2,22.
п, — а
Математическое ожидание времени Тож ожидания начала обслу-
_ |
2? |
|
|
живания tom |
2,22 сут. Дисперсия этой случайной величины |
||
согласно (16.33) |
|
|
|
|
О(Т0Ж) |
0,555-1,445 |
сут\ |
|
12,83 |
||
|
|
0,0625 |
|
Среднее квадратическое отклонение ot= yrD (tox) = 3,58 сут. Математическое ожидание числа изделий, находящихся в ре
монте, х = у + Z — 6,22. Математическое ожидание времени на-
—jc
хождения изделия в ремонте zfc = у - = 6,22 сут.
Вероятность наличия очереди
/>„, = ^ = 4 ^ = 0,444.
Математическое ожидание времени наличия очереди
1
-4 сут.
р. (п — а)
123
М а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е в р е м е н и з а н я т о с т и б р и га д ы
4аг = — + |
Pmtm= 4 -f 0,444-4 = 5,78 |
сут. |
Р |
|
|
Математическое ожидание времени простоя бригады |
||
tпр |
4 аг = 0,25 4 аг = 1 . 4 4 |
сут. |
§ 17. СИСТЕМА С ОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ МЕСТ ОЖИДАНИЯ
Система массового обслуживания с ограниченным числом мест ожидания отличается от рассмотренной в § 16 системы с ожида нием только тем, что количество мест ожидания m конечное. Об
щее число состояний такой системы ограничено и равно п |
m + 1 . |
||||||||||
Вероятности |
Pk |
(t) |
(k = |
0, 1, ... , |
п |
m) |
нахождения |
системы |
|||
в различных |
состояниях |
являются |
решением |
системы |
обыкновен |
||||||
ных дифференциальных уравнений |
(13.23) |
при v = 0, |
т. е. |
||||||||
Рк(0 = |
- |
(* + |
W |
Pk(t) + XPU_, {t) + |
p (k + |
1 ) Pk+1 (t) |
|
||||
|
|
|
(k = 1, 2 , . . - , n — 1 ); |
|
|
|
|
|
|||
P„+s №) = |
— (X -J- яр) Pn+S(4 + xPn+s-j (t) 4 - «pPn+s+1 (t) |
|
|||||||||
|
|
|
(s = 0, 1, . . ., m — 1); |
|
|
|
|
|
|||
Pn+m ( * ) = — «pPn+m (4 + XPn+m_! (t). |
|
|
|
|
|
||||||
Если при |
t = 0 |
все приборы обслуживания свободны, то |
началь |
||||||||
ные значения искомых функций следующие: |
|
|
|
|
|||||||
Л>(0) = |
1; |
Рк (0) = 0 |
( £ |
= |
1 |
, 2 |
от). |
(17.2) |
|||
Уравнения (17.1) образуют систему однородных линейных диф ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, кото рая решается известными методами. Число уравнений с п -f- m -j- 1 можно сократить до п -\- пг, если исключить одну из искомых функ ций с помощью равенства
П+ Ш |
|
2 ^ ) = 1 - |
(17.3) |
к=0 |
|
Предельные вероятности р к= Нш Рк (t) |
(k = 0, 1, ..., п-\- m) |
t- * - во «
для рассматриваемой системы массового обслуживания существуют
124