Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

М атем ати ческ ое ож идание врем ен и

Т3аг

н еп реры вн ой зан я то ­

сти п ри бора

обсл уж и ван и я

м ож н о

най ти по ф орм ул е

(1 6 .3 8 ),

т. е.

^заг~----- Ь^оч^оч,

(17.34)

Г

а математическое ожидание времени простоя

прибора

=

------ О^заг.

07.35)

V^заг

/

Пример 17.1. Используя условия примера 16.1, определить эф­

фективность

стационарного

режима

работы

пяти

бригад,

если

делий.

В данном случае А =

1

1/суг,

р— 0,25 1/сут,

а =4,

Реше ни е .

п = 5, пг — 2.

того, что все бригады

свободны, согласно

(17.8)

Вероятность

получается следующей:

-1

4к

45

Ро =

■о,88)

=

0,01813^0,018.

к=0 И + 4Г“

Тогда

Pi = 4ро =

0,072;

р2 =

8р0 =

0,145;

4

р5 = 0,8р4 = 0,155;

РЗ = Pi — -g- Р2-- 0,193;

р6 = 0,8р5 =

0,124;

р7 =

0,8р6 =

0,099.

Вероятность

того, что

любое

изделие будет отремонтировано,

.Робел =

1 — Pn+m = 1 — 0,099 =

0,901. _

Математическое

ожидание

числа

бригад,

занятых

ремонтом,

г/ = а (1 — р7)«^3,60.

Коэффи­

циент

загрузки

&заг —

= 0,72.

Коэффициент простоя

k пр= 1 —

— ^заг— 0,28, т .

е. каждая бригада в среднем свободна от ремонта

28% рабочего времени. Вероятность полной загрузки бригад

монта,

z — ре +

2р7 — 0,32. Математическое

ожидание

времени

ожидания начала

—

Z

обслуживания t01K= — = 0,32 сут. Математиче­

ское ожидание числа изделий, находящихся в ремонте, х =

у -f z =

3,92.

Математическое ожидание

времени

нахождения

изделия

состояния С7 в

состояние С$ согласно (17.32)

получается равным

Т7 = 4 [2 — 4 (1 - 0,64) ] = 2,24 сут.

Математическое ожидание времени наличия очереди

f 04=

4(1 -

0,64) = 1,44 сут.

■

Математическое

ожидание времени занятости

бригады t3ar =

4 +

-f- 0,223 •1,44 =

4,32 сут.

Математическое ожидание времени

про-

—

0 28

=

1,08 сут.

стоя бригады ^„р=

циальных

уравнений

(13.23).

Предельные

вероятности р* =

= ПшPk(t)

(k = 0, 1, .. ., га + гаг) существуют при любом гаг и оп-

t СО

(13.39),

(13.40)

и

(13.42), т. е.

ределяются формулами

-1

Ро =

( 1 8 .1 )

к=0

л

! а П

( »

+ / Р

)

г=г

Рк = ^Ро

(A = l, 2 ,

. . . . л);

(1 8 .2 )

„ _

aspn

_

“П+^о

(18.3)

Po+S

1

S

новившемся режиме

функционирования

системы

определяется

с помощью равенства

m

(18.4)

Рп.з— 2

P n + s •

s=0

Так как

n+ m

(18.5)

2

л =

ь

к - 0

то вместо (18.4) иногда удобнее использовать соотношение

Яп.з =

1 -

2 А .

(18.6)

к — 0

Для вероятности наличия очереди аналогично получаем

Ш

п

(18.7)

== S

P n+S ~

^П.З

Рп

1 ■ 2 л .

8=1

k=0

П

тп

у =

2

kpk "Ь п 2

P n + s •

(18.8)

Имеем

k-1

s = l

П—1

2

kPk^Po^i

i 2

f t =

« ( i - / ,u ).

k=l

k=0

Поэтому (18.8) преобразуется к виду

у =

о (1 — Ры ) +

пРт .

(1 8 .9 )

6заг = - ^ .

(18.10)

P06cn-= ^ •

(18.11)

z = 2 s p n+s.

(18.12)

S =“ 1

г “ ] т ( 1 - '5Г ~ ^ п +ш) •

(18.13)

Данная формула значительно удобнее, чем (18.12),

при т = со,

когда p n+m= 0 .

вания

(18.14)

Математическое ожидание числа требований в системе

х = у + г.

(18.15)

и = у .

(18.16)

Математическое ожидание времени наличия очереди

=

(18.17)

реди ограниченное время Г,, причем 7\ является

случайной вели­

чиной,

имеющей показательное

распределение

с параметром

v = 0,05

1/мин. Если за время Г,

не началась дозаправка само­

лета, то производится его посадка

на запасной аэродром.

нирования данной системы дозаправки самолетов.

с огра­

Р еше ни е . В данной системе

массового обслуживания

ниченным временем пребывания

требования в очереди

имеется

п = 4 прибора обслуживания

(самолета-дозаиравщика).

Ограниче­

ний на очередь нет, поэтому

т = со . По условию А, =

0,4 1/мищ

Произведем

расчет

вероятностей

р к при

k

4 по формулам

(18.1) и (18.2). Имеем

2

a

s

(ft +

П (8 —

/)

S—

1

П

=

8^ _

V

8k.

k\

k\