Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

и

определяются

формулами

(13.39), (13.40), (13.42) при

р == О,

т.

е.

Рк =

-fiPo

( k = i ,

2,

.. .,

га);

(17.4)

/

a Y

an+s

(s==1- 2>

т );

(17-5)

Р ^ = [ ~ ^ ) ра~ ~ Ш 1 Ро

Ро

(17.6)

Имеем

/га -f- 1

при

a =

га;

^

^ a Nra+'

(17.7)

при

а ^

га.

s— О

1

-

1

П

Поэтому

расчетная

формула

для

вероятности

Ро

записывается

в виде

- 1

21 +

a = га;

при

гак

гап-1 (/га -f- 1)

Ро :

к3=0 * !

(л “

!)!

Ш+1

п— 1

V

l - f .

_____ ?!_______fl

при аф п.

Й

А| +

(я— 1)1 (л- « )

L

(1 7 .8 )

При

стационарном

режиме

функционирования

систе'мы

отказ

■^обсл = 1

Pn+m ;

(17.9)

где .

/ а \ш

Pn-Hn= = f “

) Рп 1

( 1 7 . 1 0 )

Р п = ^ у Р 0 .

( 1 7 . П )

Согласно (12.17) вероятность обслуживания

=

0 7 .12)

У — а (1 Рп+т)•

(17.13)

Лзаг = - ^

= ^ - ( 1 - Л

+ш)-

(17-14)

Вероятность полной загрузки приборов обслуживания

m

m /

\s

s=0

s=0

■

( 17Л5)

что с учетом (17.7)

можно записать'в виде

при

а == п;

Рп.3 =

п

а >m-f1 '

при

аФ п.

(17.16)

п — а 1 —

т )

рп

1 1 ;

^п.з — tн.з

Рп.з

(17.18)

1 - Яп.3

z —

mp

ш+i

при

афп.

( Л — a)

Z_

(17.20)

tож — X

m—1

т —1

s

P(T0X> t ) = Ц / » п + . я . ( 7 ' о « > 0 = 2 1 P n + . S Q i W =

s=0

s=0

(-0

ш-T

га—1

ш—1

na

= 2

Ql (t) — Pn+s = Pn«“ n,lt

2

(17.21)

i- 0

s=1

4 = 1

Функция распределения

длительности ожидания

Тож начала

обслуживания равна нулю при t < 0, а при ^ > 0

из

(17.21) полу­

чаем

m—1

l) {apt)1

1 — pne~mt 2

при

= n\

F(t) =

г-о

при Я ф п.

(17.22)

Данная функция, при ^ = 0

имеет скачок,

причем величина скачка

равна 1 — трп, если а — л,

и 1 — ПРп

, когда я Ф п.

п — я

Зная функцию распределения F(t), можно найти любые ха­

рактеристики случайной величины Гож.

В частности,

для матема­

х = у + г.

(17.23)

Математическое

ожидание

времени

Тс

нахождения требования

в системе

£ = у

•

(17.24)

Вероятность наличия очереди

^ОЧ ~

m

(17.25)

^1 Рп+3 -- Рп.З

рп,

S=1

что с учетом (17.16) можно записать в виде

mPn

при

а = й;

р

=

*Рп

(17.26)

1 04

при

аф п.

П— осM i ) ' ]

Обозначим через Тn+s ( s = l , 2,

... ,

m)

случайное время от мо­

мента перехода системы в состояние C„+s

(в очереди на обслужи­

вание имеется s

требований) до момента

первого перехода в со­

ние. При 1 < s •< m — 1

переход из состояния Cn+Sза малое время

At

возможен

только

в

состояние

Cn+s+i или в Cn+S_ ! . Переход

в

состояние

Cn+ S+1

происходит

при поступлении требования,

а в

состояние Cn+S_! — при окончании

обслуживания

любого из

п требований. Интенсивности указанных

потоков равны

К и

соответственно, поэтому согласно (10.29)

математическое

ожида-1

ние времени пребывания системы в состоянии Cn+S

(s — 1, 2, ...

...,

m — 1 ) равно

Вероятности

перехода

из

состояния

А + fl\L '

C „+ s

В C n+S+1 И В C n + s -!

п р и

ЭТОМ

рЭВНЫ

^

^

И

Тогда по аналогии с (10.30)

получаем

tn+s --- X ЩL 1 X —|—tl

П+ S + l

+

' +

т

(17.27)

«ti п+8" 1

^n+m =

+ ^п+ш-1 •

(17.28)

^п+т—1 ^п+т—2 — ^ ^~Ь п I

Яр

j

а

п

а

1

-

п

\_

1

tn+m—2

^п+т—3 ^

1 +

я

яр

я

1 -

В общем случае справедливо равенство

ш-к+1

‘

—1

' -

' Т

(17.31)

<-n+k

Р (я — а)

-^n+kп к- 1 —

(£ =

1 ,

2,

... ,

т).

'

Суммируя

эти

соотношения

по

k от

1

до s,

с

учетом равенства

tn — 0 находим

m—k+i -1

1

^ /

а

^n+s

р (я — а)

к=1

Я

или, что то же самое,

a \“ - s

г

1

(17.32)

n+s

р (я — a) YS — п — ч.

я

( s = l ,

2,

... ,

т)

личия очереди из (17.32)

при s — 1 получаем

t — t

—

^

р

1 -

■* mi

Гоч-Гп+ i —

Я

(17.33)

iPn '

При т — со и а <

п из

(17.33) следует равенство

(16.39).