Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 234
Скачиваний: 0
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a (a + f )( 1 + Р) . |
||||
|
|
р1'° |
|
|
1 + |
2а |
^° ’ |
|
|
|
Dn. = |
« (1 + « ~ Л (1 |
+ Р ) |
_ |
|||
где |
|
|
|
Р(1 + |
2а) |
|
Р о ’ |
|
|
|
|
|
|
J4 |
|
|
|
|
|
|
|
Р = |
|
|
||
|
|
|
|
Р-1 |
|
|
||
С помощью (23.8) и (23.9) находим |
|
|
||||||
Pi = |
Pi,o + Po,i— |
|
|
11-На'_ /~ЬР(а + /)]Ро- |
||||
Подставляя это выражение в (23.6), получаем |
||||||||
|
Pi+S = |
" p ( l + J ) P/ |
[1+ а “ |
/ + |
^(а + / ) ] ^ о - |
|||
|
|
|
(s = |
0, 1 , .... |
т). |
|
||
Чтобы найти Ро, воспользуемся равенством |
|
|||||||
|
|
|
|
ш +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
А = 1 • |
|
||
Тогда |
|
|
|
s=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
1 _ i _ R |
|
|
|
|
|
т + 2 |
|
{ 1+ T I T + W |
|1+ « - / + Р ( « + / ) ) 2 “ |
||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л = { ! |
+ a/-[T + 2 a )(l |
- |
а) |
} I1 + а ~ f + |
? (а + Я1 } |
|||
(23.8)
(23.9)
(23.10)
(23.11)
(23.12)
(23.13)
1.
•(23-14)
Зная предельные вероятности, можно рассчитать различные по казатели эффективности установившегося режима функционирова ния рассматриваемой системы. Вероятность того, что оба прибора обслуживания заняты,
Ш
Рп.3— 2 Рг+я — 1 |
(Po"bPl)- |
(23.15) |
s=0 |
|
|
Вероятность наличия очереди |
|
|
Ш |
|
|
Роч ~ 2 Р2+3= 1 (Ро “ЬPi Р г) • |
(23.16) |
|
S - 1 |
|
|
12 |
177 |
Математическое ожидание числа приборов, занятых обслужива нием,
У = Р\+ 2 Р п.з=2(1 — Ро)— ри |
(23.17) |
Математическое ожидание числа требований, ожидающих начала обслуживания,
|
|
г = 2 |
sp2+s. |
|
|
(23.18) |
|
Так как |
|
S = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, d / 1 - |
|
|
||
^S a2+s = |
a3 <<•£,, |
|
a” « |
|
|||
S = 1 |
- з г 2 , = ^ ж |
1 - . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a3 [1 |
— am— |
|
(1 — a)] |
|
|
|
|
|
( T = a f |
|
|
|
||
TO |
|
|
|
|
|
|
|
»8 d + P) |
. -f- (/я — 1 ) am— mot!m—n |
X |
|||||
P (1 + 2a)(l — a)2 |
|
|
|
|
|
||
|
X [1 + a — / -f- P (a -f- /)] p 0. |
(23.19) |
|||||
Математическое ожидание |
числа |
требований |
в |
системе |
|
||
|
|
x = y + |
z. |
|
|
(23.20) |
|
Вероятность отказа |
в обслуживании |
любого |
требования совпадает |
||||
с вероятностью р2+т того, |
что в системе находится т |
2 требова |
|||||
ний. Вероятность обслуживания любого требования |
|
||||||
|
Робсл = 1 |
Р2+т‘ |
|
|
(23.21) |
||
Математические ожидания времени ожидания начала обслужива ния и времени пребывания требования в системе определяются с помощью равенств:
t0X=~ Y ~ |
: |
(23.22) |
Тс |
. |
(23.23) |
Пример 23.1. Для проверки пригодности изделий используются два прибора. Среднее время проверки каждого изделия первым
прибором = 48 мин, а вторым прибором — 1 ч 20 мин. Поток поступающих для проверки изделий простейший с интенсивностью одно изделие в час. Если изделие поступает на проверку при сво бодных приборах, то с вероятностью 0,7 оно проверяется первым прибором и с вероятностью 0,3 вторым.
178
Определить показатели эффективности установившегося режима функционирования данной системы, если все изделия проверяются
в порядке их поступления. |
случае |
nl = |
n2 = 1; |
т = |
со; |
f = 0,7; |
|||||||||
Р е ш е н и е . |
В |
данном |
|||||||||||||
А,= 1 |
1/ч; |
щ = |
-= - = |
1,25 |
1/ч; |
ц2 = 4 - = 0 ,7 5 |
1 /ч; |
а = — |
= |
||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
' |
|
^1 + ^ 2 |
|
= 0,5; |
р = |
-^ - = |
0,б: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Согласно |
Pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
оба прибора сво |
|||||
(23.14) для вероятности Ро того, что |
|||||||||||||||
бодны, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ро=* |
1 |
+ |
0 ,5-1 ,6 |
(1 + |
0,5 |
- 0 |
, 7 + |
0,6-1,2 |
= |
0,3304 . |
|||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
0 ,6 -2 -0 ,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вероятности |
pi,о и />о,1 |
того, |
|
что заняты |
только |
первый |
и |
только |
|||||||
второй приборы согласно (23.8) и (23.9) следующие: |
|
|
|
||||||||||||
|
|
pi.o=0,48po = 0,1586; p0,i = 0,5333р0 = |
0,1762. |
|
|
||||||||||
Вероятность |
того, |
что |
занят |
один |
прибор, Pi =pi,o+po,i = |
0,3348. |
|||||||||
Для вероятности того, что ожидают проверки s изделий, по фор
муле (23.12) |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Рг+s = |
0,1674-0,5s |
(5 = 0, |
1, |
...). |
|
|
|||
Вероятность |
полной |
загрузки |
приборов |
|
/ + 3= |
1 — (Ро + |
Pi) == |
|||||
= |
0,3348. |
Вероятность наличия очереди Роч— 1 — (Ро + Pi + |
Рг) — |
|||||||||
= |
0,1674. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Математическое ожидание числа приборов, занятых обслужива |
|||||||||||
нием, у — 2(1 — Ро) — Pi = 1,0044. |
Математическое |
ожидание числа |
||||||||||
изделий, ожидающих проверки, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 - |
^ s p 2+s = о ,1674 2 |
S 0,5 = |
0 ,1 6 7 4 -0,5s |
= 0,3348. |
|
||||||
|
|
S=1 |
|
|
S=1 |
|
(1 - |
0,5)2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Суммарное число изделий в системе х = у + |
z — 1,3392. Математи |
|||||||||||
ческое ожидание |
времени |
ожидания |
начала обслуживания |
tox — |
||||||||
— - Z- .= 0,3348 ч. |
Математическое |
ожидание |
времени нахождения |
|||||||||
|
X |
|
|
— |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,3392 ч. |
Так как очередь не ограни |
|||||||
изделия в системе tc = |
— = |
|||||||||||
чена, то вероятность проверки любого изделия Р о6сл = 1 .
179
§ 24. СИСТЕМА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПОТОКАМИ ТРЕБОВАНИЙ
Во всех рассмотренных системах массового обслуживания вход ной поток требований простейший с интенсивностью К. Существуют также системы, на вход каждой из которых поступает не один, а несколько простейших потоков требований. Если параметры об служивания этих требований совпадают, то входные потоки можно заменить одним потоком с суммарной интенсивностью. В некото рых случаях такое сложение произвести нельзя, так как суще ствуют различия в обслуживании требований из различных потоков.
Рассмотрим одну из таких систем с п одинаковыми приборами
обслуживания п е т местами |
ожидания. Пусть |
на вход системы |
|
поступают два простейших потока требований |
с |
интенсивностями |
|
и /.2 соответственно. Время |
обслуживания |
любого требования |
|
случайное, имеющее показательное распределение с параметром р. Когда все приборы обслуживания заняты, требования из первого потока встают в очередь на обслуживание. Если в очереди т тре бований, то очередное требование получает отказ в обслуживании. Время ожидания начала обслуживания, т. е. время нахождения требования из первого потока в очереди, является случайной вели чиной, имеющей показательное распределение с параметром v. Требования из второго потока в очередь на обслуживание не встают и покидают систему, оставшись необслуженными, если обслужива нием заняты все п приборов.
В зависимости |
|
от числа требований в |
системе |
можно ввести |
|||||||
n - f m - f - 1 состояний |
Ck (k = |
0, |
1, ... , n-f-m), причем состояние |
||||||||
Ск |
(Л = 0, ' 1 , |
... , |
п) |
означает, |
что обслуживанием занято k прибо |
||||||
ров, |
a Cn+S (s = |
1, 2, |
..., m) — в очереди на обслуживание имеется |
||||||||
требований из первого потока. |
Вероятности Рк (£) |
(k — 0, 1, ,.«■ |
|||||||||
... , |
п + т) нахождения системы в различных состояниях являются |
||||||||||
решением следующей системы дифференциальных уравнений: |
|||||||||||
P o ( t ) = - 0 ' i |
+ |
|
>'2)PoV)'+ |
|
(П; |
|
|
||||
Рк (t) = |
(>ч + |
А2 + |
6р) ?к (t) + {k + 1 ) |
(t) + |
|
||||||
|
|
|
|
+ (>м + h) |
|
(О |
|
|
|||
|
|
(6 = |
1 , 2 .............. п — 1 ); |
|
|
||||||
|
р 'п [ t ) = |
— |
(>>1 |
+ |
лр) Р а (t) - f |
(яр + v) Pn+1 (*) + |
j , |
||||
|
|
|
|
+ |
|
Оч |
h)P n- 1 |
(t) ; |
|
|
|
|
P'n+S (t) = |
- |
(x, + |
Щ + sv)pa+t (t) -Н я р + |
|
||||||
|
+ |
( s + |
1)4 |
т |
|
- v ? n+s—1 it) |
|
||||
|
|
|
( s = 1 , 2, . . . , tn — 1 ); |
|
|
||||||
|
P„+m(0 = |
— inV-+ |
my) P’n+m (0 + ^iPn+m-l (0- |
|
|||||||
180