Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.10.2024
Просмотров: 238
Скачиваний: 0
Если при t = 0 требований в |
системе |
нет, |
то начальные |
условия |
для искомых функций записываются в виде |
|
|
||
Р0(0) = 1; М 0) = |
0 (А = |
1, 2, |
п + т). |
(24.2) |
Система (24.1) линейных однородных дифференциальных урав нений с постоянными коэффициентами решается известными ме тодами. Предельные вероятности pk — \\mPk{t) (& = 0, 1, ...
.... п -f- т) для рассматриваемой системы массового обслуживания
при ограниченном т существуют |
всегда, |
а |
при |
т = со |
они от- |
|||||||
личны от нуля, если |
X, |
|
Находятся |
предельные |
вероятности |
|||||||
— < п. |
||||||||||||
из следующей системы алгебраических уравнений: |
|
|
|
|||||||||
|
|
Pi — (ai Н~ |
Pni |
|
|
|
|
|
|
|||
|
(k 4- \)рк+{ — (al + |
а2-f- k) рк— (otj -f- a2)/?k-i |
|
|
||||||||
|
|
(&=-l, |
2 , . |
. |
. , / г - 1); |
|
|
|
|
|
||
|
(«■ + |
P) Pn+i = (*i + |
n) pa— (at + a2)Рп—! ; |
|
|
(24.3) |
||||||
[« + |
(s + |
1 ) P ] pn+5+l = («! + |
/! + «?)/>„+, - |
|
|
|
|
|||||
|
|
( s = 1, 2, . . . , m — 1 ); |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(/г-f m$)pn+m=a,/7n+m_n |
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(24.4) |
Для решения уравнений (24.3) положим: |
|
|
|
|
|
|||||||
“ к = ( л + |
1)^+1 — («1 + * г )Л |
{ k - |
О , 1, |
. . |
. , / г — |
1);1 |
| |
|||||
^n+s~ |
“Ь {рД" 1) Р] Pn+s+1 |
al/^n+s (^ = 0, |
1, . . ., ffl— 1). |
j |
||||||||
Тогда соотношения (24.3) можно записать в виде: |
|
|
|
|||||||||
а0 = 0; |
ак — ak_ t |
(k = |
1, 2 ............. я + |
т - |
1 ); |
ап+т_ г = 0. |
||||||
Следовательно, ак = 0 |
(k — 0, |
1, . |
. |
. , п -f т — 1), |
а потому |
|||||||
|
Рк+i = |
|
(А = |
0, |
1, . . |
. , |
п |
1); |
|
(24.6) |
||
|
|
Ct |
|
|
* |
(s— 0, |
1, . |
. |
т— 1). |
(24.7) |
||
|
Pn+s+ 1 = п |
|
jf ^n+s |
|||||||||
181
Из полученных выражений следует, что
А = |
(<Ч + |
|
аг)к |
( k = 1, 2, . . . , ft); |
|
k\ |
Ро |
||||
|
|
|
|
||
Pn+s: |
|
а\Рп |
«l(al + |
а2)П Ро |
|
|
|
|
|||
|
П ( я + /Р ) |
«! П (я + /Р) |
|||
|
i=i |
|
|
i-i |
|
|
|
|
(s = |
l, 2, ... , |
m). |
Чтобы найти вероятность р0, воспользуемся |
равенством |
||
|
|
л+т |
|
|
|
2 Рк = 1 . |
|
|
|
к=0 |
|
С учетом (24.8) |
и (24.9) |
получаем |
|
v |
К + «2)к |
, (ч + «2)п v , |
а‘ |
Ро = |
й! |
ft! |
(« + /?) |
к - 0 |
|
8=1 П |
|
|
|
|
|
|
|
3 = 1 |
|
(24.8)
(24.9)
(24.10)
(24.11)
Таким образом, для всех вероятностей Рк (& = 0, 1, .. ., ft + т) состояний при установившемся режиме функционирования системы получены расчетные формулы. В частных случаях выражение
(24.11) |
для вероятности Ро может быть упрощено. |
Если, например, |
||||||
число |
мест ожидания |
не ограничено, т. е. |
т = со, |
а требования |
||||
очереди не покидают, |
т. е. р — 0, то при — |
< |
п получаем |
|||||
|
|
|
|
|
!А |
|
|
|
|
У |
ai_______ — |
"V |
I |
|
|
|
|
|
(я +№ |
~ |
^ |
V ft |
ft |
— ос, |
|
|
|
1 П |
|
|
8=1 |
|
|
|
|
|
3 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(а,-|-а2)к |
|
|
(ai 4~ аа)П |
|
|
(24.12) |
|
|
Ро- |
/г! |
+ ( « — « ! ) ( « — 1)! |
|
||||
|
к=0 |
|
|
|
|
|
|
|
Зная вероятности рк (& = 0, 1, ... , п-\-т), можно определить показатели эффективности рассматриваемой системы массового об служивания. Вероятность полной загрузки приборов
|
П—1 |
Льз — 2 Ро+ъ — 1 |
(24.13) |
s=0 |
к=0 |
182
Вероятность наличия очереди |
|
m |
п |
Роч = 2 ^ n+s==:^ — |
(24.14) |
s=l |
к=0 |
Если т = со, а р = 0, то формулы (24.13), (24.14) упрощаются и принимают вид:
Р — |
ПРп |
(«1 + |
а2)°Ро , |
(24.15) |
|
п'3 |
п — ах |
(/г — аА) (л. — 1 ) ! 1 |
|||
|
|||||
|
|
__ °Ч (а1 + |
а2)пРо |
(24.16) |
|
|
п — aj |
(га— аJra! |
|||
|
|
||||
Любое требование из второго потока будет обслужено, если при его поступлении свободен хотя бы один прибор обслуживания. Сле
довательно, вероятность Р 0бел обслуживания любого требования из второго потока определяется формулой
я ”бсл = |
1 - Яп . з - |
|
(24.17) |
|||
Математическое ожидание числа приборов, занятых обслужива |
||||||
нием требований, |
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
пРоч- |
|
(24.18) |
|
У = |
h |
kPk + |
|
|||
Так как |
|
k-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
П— 1 |
|
|
2 |
kpy = |
(=Ч -f- а2) 2 |
Ръ |
|
||
к=1 |
|
|
|
к=0 |
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
У = (*i + |
«а) ( I ~Рч.з) + |
пРоч. |
(24.19) |
|||
Коэффициент загрузки |
приборов |
k3ar = |
коэффициент |
простоя |
||
Ь ~— 1 — ъ «-пр— А Л'заг*
Математическое ожидание числа требований из первого потока, находящихся в очереди на обслуживание,
га
2 = 2 Sft+s. |
(24.20) |
В частных случаях для z можно получить удобную расчетную фор мулу. Если т—оо , а р — 0, то
S = 1 ' г |
( Я - « l)2 ’ |
183
т. е.
г — п — аг~Рп'3' |
(24'21) |
Математическое ожидание времени ожидания начала обслужива ния требования из первого потока определяется с помощью равен ства
*« = £■ • |
(24.22) |
Функция распределения времени ожидания начала обслуживания Тожопределяется формулой
F(t) = l — Pn.3e - (n»~hn при * > 0 . |
(24.23) |
Произведение y\i равно математическому ожиданию числа тре бований, обслуживаемых системой в единицу времени. За это
время |
в систему |
поступает |
А,] + |
Аг требований. Отношение |
У\1 |
|
к Ai + |
Аг равно вероятности обслуживания любого требования, |
т. е. |
||||
|
|
р 0 бсл = |
— |
■ |
(24.24) |
|
|
|
|
а 1 I а 2 |
|
|
|
Математическое |
ожидание |
ч ю а |
требований, |
покидающих |
оче |
|
редь в единицу времени, равно zv. Так как в очереди могут нахо диться только требования из первого потока, а математическое ожидание числа таких требований, поступающих в систему в еди ницу времени, равно А], то вероятность того, что требование из первого потока покинет очередь,
Ри.04 = T L = |
| £ - |
(24.25) |
Л1 |
а\ |
|
Вероятность непопадания в систему требования пз первого по тока равна Рп+т- Поэтому вероятность обслуживания любого тре
бования из первого потока
«
Робел= 1 (Рп+т“Ь Рп.оч). |
(24.26) |
Для проверки правильности вычисления вероятностей Яо6сл, Р'обсл
и Робел можно воспользоваться соотношением
Робел ~ ~ I „ '(а1 робсл ~Ь «2РОбсл )> |
(24.27) |
а 1 “Г а 2
184
которое следует из формулы полной вероятности. Последнее ра венство может быть также использовано для определения какоголибо показателя эффективности, через который выражаются ве роятности обслуживания. Из (24.27) следует, что
Р'оься — -7- [(«1 + а2) Ро6сл — а2Робсл]. |
(24.28) |
ai |
|
Если, например, р ф 0, то при известной вероятности Л'.бсл для определения z можно использовать равенство
Z—-р-(1 |
Робел Pti+m)- |
(24.29) |
Пример 24.1. Рассчитать основные показатели эффективности функционирования системы массового обслуживания при устано вившемся режиме, если число приборов обслуживания п = 3, число мест ожидания т — 1. В сис4ему поступают два независимых по тока требований с интенсивностями Я] = 2 и Я2= 1 соответственно. Математическое ожидание времени обслуживания любого требова
ния = 1. Требования из второго потока в очередь на обслужи вание не, встают. Требования из первого потока в очереди нахо дятся случайное время Г», распределенное по показательному
закону с параметром v = 1,5. |
п — 3; |
т = 1; Ач = 2; Яг =1; р — |
|
Р е ше н и е . |
По условию |
||
= 4т = 1; v = |
1,5. Тогда |
|
|
|
— = 2 ; |
^ = |
1 ; |3= - - = 1 , 5 . |
|
I1 |
Р |
Р |
Используя формулы (24.8) и (24.9), находим:
Pi = 3p0; р2 = 4,5Ро; рз = 4,5р0;
2
Pi = 4^5 Рз = 2р0-
Согласно (24.11) получаем
|
|
Ро - (1 + |
3 + |
4,5 + 4,5 + |
2)-> = |
|
0,067. |
|
|
|||
Тогда |
P i--0,200; |
Р2 = |
Рз == 0,300; |
2 |
|
^ 0,133. |
Вероятность |
|||||
Р4~т-р |
|
|||||||||||
полной |
загрузки |
|
|
|
|
10 |
Р п.з= |
Рз + Р4= 0,433. |
||||
приборов обслуживания |
|
|||||||||||
Вероятность |
наличия |
очереди |
Л>ч — Р4= |
0,133. |
Вероятность |
об |
||||||
служивания |
Л ю бого |
Т р е б о в а н и я |
ИЗ |
ВТОРОГО ПОТОКа |
Робел = 1 |
— |
||||||
— Рп . з - 0,567. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
185