ние |
(35.6) имеет ненулевое решение прп различных значениях Xj |
(У = |
0, |
1, ...) |
параметра X, называемых собственными числами. Со |
ответствующие этим |
значениям |
ненулевые |
решения Xj (У) |
(/ — |
— О, |
1, |
...) |
уравнения (35.6) |
называются |
собственными |
функ |
циями, |
так что y.j (у) |
является решением уравнения |
|
|
|
|
|
dSj (У) |
|
|
(35.8) |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Si (У) = |
а (У) X] (У) — \~fiy ^ O') Xj (У)1 |
(35.9) |
(7 = 0, 1 , . .. ) .
Пусть граничные значения заданы при У~У\ п у =■у2, причем разность потоков вероятности через границы равна нулю, т. е. S(yi) — S (j/j) = 0. Тогда в результате интегрирования равенства (35.8) по у от у\ до у2 получаем
Xj j Xj (У) dy = 0 |
(35.10) |
у,
(/ — 0, 1 , . .. ) .
Пусть Яо — О, а все остальные собственные числа Xj Ф 0. Тогда из (35.10) следует, что собственные функции удовлетворяют условию
fx j(y )d y = 0 ( / = 1 , 2 , . . . ) . |
(35.11) |
У1 |
|
Будем считать, что существует стационарная плотность распреде ления f{y), которая является решением уравнения (33.5). Из срав
нения этого уравнения с (35.6) прп Я — 0 следует, что Яо= |
0 яв |
ляется собственным числом, а собственная функция %о{У) |
совпа |
дает со стационарной плотностью распределения. |
|
Зная полную систему собственных функций, решение уравне ния (35.2) получаем в виде следующего ряда:
^-Xjjc^dS
f ( y , ■*) = 2 c ie |
1 |
X j ( y ) , |
(3 5 .1 2 ) |
i-o
где Cj(7' = 0, 1, ...) — некоторые постоянные, определяемые через начальное условие.
Собственные функции Xj (у) (/ = 0, 1, ...) можно сделать нор
мированными с весом |
т. е. можно добиться выполнения ра |
Хо (УУ |
венств |
|
|
|
Уз |
|
|
|
X){y)dy= i |
(/ = 0 ,1 ,...) . |
(35.13) |
Хо (у) |
|
|
|
у.
Основное свойство собственных функций — их ортогональность с ве
сом — , т. е.
Хо (У)'
>3
I - Xо O ') |
Xj (у) Xk (у) dy = 0 |
при j ф к. |
(35.14) |
|
|
|
|
|
у. |
|
|
|
|
|
Для доказательства |
этого свойства |
воспользуемся |
выражениями |
(35.8). Умножим /-е |
1 Хк(у) |
Л |
Xj (У) |
про- |
уравнение на |
----- |
а к-е — на— |
|
|
Хо (У) |
’ |
Хо(У) |
F |
интегрируем результат умножения от у\ до у2 и вычтем из первого выражения второе. Тогда получим
|
Хк (у) |
dSi(y) |
Xj (У) |
dSk(y) |
й?у = |
|
Хо (У) |
dy |
Хо (У) |
^У |
|
|
|
. |
Уз |
Xi(y)XkW |
а |
|
|
. . . |
(35.15) |
|
|
I |
Хо (У) |
у ' |
|
|
|
Интегрируя по частям первое выражение для / Jl£, с учетом равенств
Si(yi) = Sl (у2) = 0 находим
Уз
|
l 5 к (у) |
|
Xi (у) |
|
-•■Sj (у ) |
|
W |
^у |
L хо(у) |
|
^у |
|
У1 |
|
|
|
|
|
|
|
Уа |
|
|
|
|
|
х; |
|
« |
х |
. |
- |
|
- |
|
|
Хо |
|
у, |
|
|
|
|
|
|
- |
«Xj |
■ Y b'X] - - t - b x l |
Xk |
|
|
|
Хо
Уз
Хк (у) : L Хо(у) J
XjXo ^ _
xg
j « (У) Хо (у )-----\-Ь' (У) Хо( у ) - \ ь (у) Хо (у) ( - Х,ХДХ~~ ) '■
у.
Так как
а (У) Хо (У) ~ \ Ь' (У) Хо (У) - -тг * (У) Хо (У) = 5 о (У) = О,
то /jk = 0. Из второго выражения (35.15) для /jk следует, что при j Ф k выполняются соотношения (35.14).
Полагая в (35.12) т = / и заменяя у на х, приходим к равенству
(3 5 .1 6 )
’1=0
где f\(x; t) — плотность распределения начальной ординаты X(t).
Умножим обе части этого равенства на |
и пРоинтегРиРУем |
результат умножения по х от г/i до уг. Тогда с учетом (35.13) и. (35.14) получим
|
Уа |
Xk (*) dx |
|
|
‘= J |
Ы *; t) |
(£ = 0, 1 , ...). |
( 3 5 .1 7 ) |
Хо (■*) |
|
|
При любом фиксированном значении х начальной ординаты из ин тервала {уI, г/г) справедливо равенство fi(x; t) = 6(y — x). При этом из (35.17) следует, что
|
с к = - ? Ц 4 ( * = о , 1. •••)• |
(3 5 .1 8 ) |
|
Х оИ |
|
В соответствии |
с (35.12) для условной плотности |
распределения |
в этом случае получается следующее выражение: |
|
f{t, |
Xj (х) Xj (У) |
(35.19) |
х; |
|
Хо М |
|
Двумерная плотность распределения находится с помощью равен
ства |
х- т, у). |
(35.20) |
fi(x, у; t, %)= fi(x; |
Пусть начальное распределение стационарное, что возможно
только |
при с(т) |
= |
1 . |
Тогда |
fi(x; t) = |
%о(х), |
а |
/г(*, у; t, х ) ~ |
— |
у, х — £), |
причем в соответствии с |
(35.19) |
и |
(35.20) |
|
|
f i ( x , |
у ; |
* — |
*) = |
2 Xj (■*) Xj ( У ) « Xj(T |
4 |
• |
(3 5 .2 1 ) |
|
|
|
|
|
j-0 |
|
|
|
|
Учитывая (35.11) и (35.13), для одномерной плотности распреде ления процесса в момент у получаем
h (у; *) = ]7 2 (х, у; ~ t) dx = Хо (у). |
(35.22) |
У1 |
|
Так как одномерная плотность распределения fi(y; т) не зави сит от т, а двумерная плотность распределения ^зависит от h i т как от разности, то в рассматриваемом случае марковский случай ный процесс стационарный в широком смысле. Математическое ожидание и дисперсия этого процесса находятся с помощью ра венств:
х = |
Уз |
(35.23) |
^ x t a{x)dx\ |
|
Уз |
|
D [А-(0] = |
f x 37.o(x) dx - { x f . |
(35.24) |
|
yi |
|
Для определения корреляционной функции можно воспользоваться формулой
|
Уз |
Уз |
у; |
|
|
_ |
(35.25) |
Кх{т) = | |
J ху[2{х, |
т) dx dy — {xf . |
|
Уз |
У1 |
|
|
|
|
|
Используя равенство |
(35.21), получаем |
|
|
|
|
|
/ ^ |
) = 2 > ie-Xj|T' |
, |
|
(35.26) |
где |
|
j=i |
|
|
|
|
|
Уз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(35.27) |
ft = |
J *Xj (■*) <*■* |
( / = |
1 , 2, . .. ) . |
|
|
Уз |
|
|
|
|
|
|
Спектральная плотность этого процесса |
|
“ |
X.-u? |
|
|
|
- loo- |
|
1 |
(35.28) |
| г |
И‘ |
|
|
|
|
|
|
|
1 - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 35.1. Движущаяся заряженная частица находится под воздействием трех сил, направленных параллельно вектору скоро сти частицы X(i): силы, создаваемой электрическим полем напря женностью Е(0 ; ускоряющей силы, создаваемой полем, напряжен ность которого может быть принята обратно пропорциональной ско рости частицы, и силы трения, пропорциональной скорости ча стицы. Уравнение движения частицы имеет вид
X(t) = - a X { t ) + - j ^ f (t),
где а, р и Y — постоянные.
