Определить условную плотность распределения f(t, х; т, у) "для
Y = Х(') > |
0 при |
если начальное распределение стационар |
ное, а граничные условия в точках уi = 0 и г/2 = |
00 нулевые. |
Р е ш е н и е. Сравнивая уравнение |
движения |
частицы со стоха |
стическим |
дифференциальным уравнением |
(32.1), находим: |
|
о (х, |
о |
6 (х, |
t) = |
f ■ |
|
t) —^ ---- ах; |
|
г |
X |
|
|
|
Согласно (32.16) или (32*.23) и (32.24) получаем следующие коэф фициенты сноса и диффузии:
|
a (t, х) — |
— ах; |
|
b(t,x) = f . |
|
Второе уравнение |
|
Колмогорова |
для |
функции f(i, |
X; т, у) |
записы- |
вается в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dL |
, |
A |
|
|
|
|
|
t - J l |
—-0 . |
|
(h |
^ ' д у |
|
|
|
|
|
2 |
ду2 |
|
В данном случае условия (35.1) выполняются при |
с ( х )= 1 . |
Поэтому согласно (35.19) для искомой условной |
плотности распре |
деления получаем выражение |
|
|
|
|
|
|
/Л, |
|
|
у) = |
|
|
2 |
|
|
-Xj(t-t) |
|
|
|
|
1о (*) |
& (*) л (у) |
|
|
|
|
|
|
|
|
j=0 |
|
|
|
|
Уравнение (35.6) |
записывается в виде |
|
|
|
Т2х "(у ) - 2 |
d |
|
|
|
|
|
/Л У) |
+ 2^х (у) — О, |
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем согласно граничным условиям %(0) = 0 и %(°°) = |
0. |
Вместо аргумента у |
введем г = |
|
GC |
|
|
заменим |
-^-у2, а функцию %(у) |
на 0 (г ), причем %(y) = |
z |
- f |
где |
В |
1 |
|
|
О(z), |
у = |
----- % • |
|
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d% |
2а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
f У’ |
|
|
|
it |
|
|
|
|
|
dl-t |
2ау2 |
d-t |
|
|
|
|
|
|
|
|
dz2 |
|
f |
^ |
dz |
|
|
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
W - 2 2 ( г ! - й - + - Г г 2 |
|
|
l V = 2 |
Hr |
rf2o , |
- f - |
1 </o |
2 6 |
+ |
а 2z |
|
|
rfz + |
|
|
|
|
Т ^ ~ 2)г |
|
|
+ |
T |
^ |
■ Y ^ T |
l0 H - |
|
|
> z ‘ |
rfz |
|
После подстановки этих выражений в уравнение п сокращения на
2az1 |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d26 |
|
+ |
Р(р — 2) ■О |
+ |
rfz |
.f JL - е + |
|
|
dz2 |
|
4z |
|
|
^ |
r |
2z |
^ |
+ * |
( |
i . - |
1 $r ) * |
( £ |
+ |
£ - » i + |
i |
1 |
4 |
- |
+ — |
] б = о ( |
■fz |
а |
1 |
что можно переписать еще так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* L + . * L + | 1+ | ‘ + ■ |
, 1 - f - |» = п |
|
|
|
</г2 |
+ dz |
|
--------2г-------- + |
|
|
|
|
|
Вместо 0 |
введем |
функцию ф, |
положив |
0 — Z |
-S- (I* + 1) |
2 |
e -z4 (z). |
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№_ |
z |
|
е |
|
|
1 |
(p + 1 ) 2 |
|
(e-i) |
|
|
dz |
|
|
dz |
~'~ |
|
|
е~Ц, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то уравнение относительно tp |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
(Р + |
1' --- Z) |
dty |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dz2 |
dz |
|
|
|
|
|
Искомая |
функция |
%(y) |
связана |
c |
тр(г) |
равенством |
%(У) = |
= z ll+ 2 e~z<p(z). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
при |
z -> 0 функция ip(z) |
ограничена, а при z -»• со воз |
растает не быстрее, чем некоторая |
степень г, то для %(*/) будут |
выполнены граничные условия х ( 0 ) = |
х ( °°) = О- Граничная задача |
относительно функции rp(z) |
с указанными условиями при z -^О и |
со |
для полученного |
дифференциального |
уравнения имеет соб- |
стветшые числа Хк = 2ak и собственные функции ij)k(2 ) = L\(z)
(^ = 0, 1, ...), где Lk(z)— обобщенный полином Лагерра, опреде ляемый формулой
1 1 (2) = ^
Таким образом, Xk = 2ak Ул(У) записываются в виде
ezz-^ — к- (е~гzk+0 -
й?2к
(/г = 0, 1, ...), а собственные функции
(^ = 0, 1 , ...).
Постоянные Лк находятся из условия нормированное™ этих функ
ций с весом —— . Чтобы найти Ао, воспользуемся равенством
/о \У)
JХо (У) dy |
: 1. |
Так как Z.o(2 ) = l , то с помощью |
подстановки 2 = - ^ у2 получаем |
М У ) Л у = А о - ^ д j z » e ~ zd z = А 0 - ф = Т & + \),
2 / а
поэтому А0— - ^ T + i y -
Имеем
j ^ b W x , ( y ) ^ =
- А 4 ( 7 ^ ' , , Г е- т г r |
“ ( A 2)L‘ |
( A " )d s= |
A J V Т |
y j |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
. A A |
т |
zi1 е~гZ,k (z) Ц |
(z) dz = |
A |
|
|
2 ]/а |
|
|
|
0 |
при |
|
s ф k; |
|
|
|
2A0/'a |
|
Г(р + ^-}-1) при s — k. |
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Al |
|
2V a k\ |
|
|
( k = 0 , 1 , . . . ). |
|
|
a * |
7/" (p + |
^ |
i ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Искомая условная плотность распределения |
|
|
|
|
|
|
2а>1+1 |
|
|
1 |
|
|
f ( t , X , Z, у ) г ~ ^ |
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
^2(И-1) |
|
|
|
x2k=0 Г (р + |
k\ |
l) |
Г |
) |
|
\ |
г |
|
|
|
^ + |
|
|
|
|
|
|
|
4 -х») п |
[ |
~ |
|
|
|
Пример 35.2. Условная плотность распределения f(i, х; т, г/) яв |
ляется решением уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d-z |
2 |
ду2 |
■0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Тачальное условие: f(t, |
лг; т, у) = 8 (г/ — х) |
при т — Т= |
0. |
|
Определить ДО, х; т, г/), |
если прямые у = - 0 и у = I являются |
отражающими границами (экранами), |
т. |
е. |
при любом т > 0 |
гра |
ничные условия записываются в виде: |
|
|
|
|
|
|
<Ц |
- |
0- |
*L |
у=1 |
0. |
|
|
|
ду у=0 |
’ |
ду |
|
|
|
|
Р еш ен и е . Представим |
/(0, |
х; |
т, |
у) |
|
в виде Д 0, |
х; т, |
у) — |
—Тогда в соответствии с (35.7)
х(т) = е~Хх,
адля %(у) согласно (35.6) получаем уравнение
%" ( y ) + j > x ( y ) = о,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. V '2X |
V 2Х |
у. |
частными решениями которого являются sin —р— |
у и cos |
^ |
|
|
Из |
граничных |
условий |
следует, |
что должно |
быть %/ (0 )= 0 и |
%'(1) = |
0. |
Первому из этих равенств удовлетворяет только решение |
cos |
У 2К |
тт |
выполнения |
второго |
граничного |
условия |
|
должно |
■р— у. Для |
|
быть |
|
= |
—£■ |
(& = |
0, 1, |
...). |
Следовательно, |
собственные числа |
|
( W |
|
, ь _ |
0, |
1, |
..'.), |
а |
собственные |
функции |
Хк (у) = |
|
|
2Р |
|
(k |
= |
|
|
кк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
A kcos |
у |
(k = |
0, |
1, . . . ) . |
|
|
|
|
|
|
|
- j |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
|
I |
~~ 1 |
находим |
|
1 |
|
|
0 или |
|
условия J*Xo |
Л0— у . Когда k > |
s |
0, имеем |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
хЛ7 ) Хк:^ |
Xs^ dy ^ |
lAkAs |
cos-7 |
У cos - f y d y = |
|
|
|
о |
|
|
о |
|
( 0О |
|
Ss¥Ф=&;k\ |
|
п |
I |
|
|
|
|
при |
|
l- Л кЛ 5 |
[ c o s ( £ - s ) z + c o s (A :- f s )z ] r f z = | 1 |
2к |
ПРИ |
s = k |
2" |
J |
|
|
|
|
[ у ^ |
Из |
условия |
нормированное™ |
функций у.к (р) |
с весом - 4 - г |
полу- |
|
|
|
|
|
|
|
|
ло\У/ |
|
чаем Лк = 4 ^ , а потому собственные функции следующие:
1 |
|
т/*2 |
£тс |
(Л = 1,2, |
)• |
%о(У) = Т |
|
; Xk(y) = - j - c o s - y y |
Решение исходного уравнения записывается в виде |
|
|
|
/(О, *; |
t, у) = |
2 |
Cke |
xkTZk(y)f |
|
|
|
|
|
к—0 |
|
|
причем |
|
|
|
|
|
|
|
Ск = |
|
1 |
/-к (у ) 5 (у — X)dy = l/k (х), |
|
|
Хо (у ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
т. е. С0 — 1; Сu = |
i / 2 cos |
-j-x (6 = |
1, 2,, .,) . |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
f (0, ■*; |
х, |
у) = - j + -j- ^ |
e |
21 |
cos - j x cos - j |
y. |
|
|
|
k=l |
|
|
|
Пример 35.3. Для процесса броуновского движения с коэффи циентом сноса а(т, у) — 0 и коэффициентом диффузии Ь(т, г/)== р2 определить вероятность Z5(лг, т) существования процесса в проме жутке времени от t — 0 до т, если прямые у = 0 и у = 1 являются поглощающими границами, а начальная ордината процесса равна х,
,, 0 < х < 1 .
Найти условное математическое ожидание времени пребывания процесса между указанными границами до его поглощения.
