Р еш ен и е . Искомая вероятность является |
решением уравне |
ния (31.29), которое при ^ = |
0, |
а(х)== 0 и Ь(х)= |
р2 принимает вид |
дР {х, т) |
1 |
02 д2Р(х, т) |
|
di |
о |
Р |
дх2 |
|
|
|
|
При этом начальное условие записывается в виде Р(х, 0 )= 1, а при
т > 0 |
граничные условия следующие: Р(0, |
т) = 0 и Р(1, |
т) = |
0. |
|
|
Искомую вероятность представим в виде Р(х, |
т) = |
x ( x ) x (T)- |
Тогда х(т) = |
е_ЛТ, |
а для %(х) получаем уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х " ( * ) + | x W = o , |
|
|
|
|
причем для выполнения граничных условий должно быть '/(0) = |
0 |
и |
%(/) — 0. |
Частные |
решения |
этого |
уравнения |
|
т/ 2 х |
|
и |
sin-^r—■л: |
|
1/ |
2Х |
|
|
|
|
условию |
удовлетворяет функция |
cos —р— х. Первому граничному |
|
у/~2X |
|
|
|
|
|
|
должно |
быть |
sin |
|
х. Чтобы выполнялось второе условие, |
|
|
|
Следовательно, собственные |
числа Xk = |
^2 р ^ |
(k = |
= |
0, |
1, |
...), |
а |
собственные |
функции |
|
|
k“K |
(к — |
Хк (х ) = Ак sin -j- х |
= |
0, |
1, |
...). |
В данном |
случае y j x ) = |
0, |
поэтому |
постоянные |
Лк |
можно находить каким-либо другим способом или просто принять равными единице.
При k 0 и s > 0 имеем |
|
|
|
i |
Р |
i |
sit |
Г* |
kiг |
1 XkM У.ЛХ) dx — |
Г sin - j |
x sin - j x dx = |
0 |
0 |
|
|
1C |
|
|
1C |
= — ЛкЛ5j* sin kz sin sz dz = |
^ |
ЛкЛ8 |* [cos (й — s)z — |
о |
|
0 |
— cos (к + |
s) z ] dz. |
При зф- k это выражение равно нулю, т. |
е. функции ул (х) ортого |
нальны, а при s — к получаем |
|
|
|
г
j у\ (л-) dx = L а * .
Собственные функции будут нормированными, если принять
* - 1 / г
Искомая вероятность
Р(л, т) = 2 СкХк(х)е~1ь\
к=1
Полагая т = 0 и учитывая начальное условие, получаем
со
1 |
= |
2 |
СъХк(х)- |
|
|
|
|
|
|
|
к = 1 |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
c k = j Хк (х) dx = | / |
7 |
j |
sin-pxdx |
/ 2/ |
[I — (— 1)к], |
о |
|
|
|
|
&тг |
|
|
|
2s + 1 |
|
|
|
|
|
т. е. C2(s+ i)~ 0, а Сзб+к |
0, 1 , ...). |
|
|
|
|
/ |
2 / (S = |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[(2s+l)Ma |
. (2s -f |
1) к |
X . |
|
|
|
2P |
|
sin |
|
|
s=0 1
Условное математическое ожидание времени пребывания про цесса между поглощающими границами, т. е. математическое ожи дание времени достижения процессом одной из границ, согласно (31.30) определяется по формуле
г ( х ) = ^ Р ( х , т |
= |
|
1 |
|
. |
(2s + l ) i c |
^ (( 2s + |
|
Sill |
-------— -— ■ X. |
О |
Р2«3 |
l): |
|
‘ |
s=0 ' |
|
|
|
При |х |< к справедливо равенство |
|
|
|
COS (2s -f- |
1) X _ к |
/ |
тг |
i l l |
2 |
|
“ T [ 2 ~ |
W 1 - |
s=o |
(2s-f- l )2 |
Интегрируя это выражение от 0 до х, находим |
|
sin (2s + 1 ) х |
|
тех. |
|
. |
|
2 - ( 2 7 Н - 1 ) в |
- - |
8- (Tt~ |
X)- |
|
s= 0 |
' |
|
|
|
|
|
,i Тогда z(x) — -щх{1 — х). К такому же результату приходим с по
мощью формулы (31.32) при 6 = р2, когда Л = 0, а р = /.
§36. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА
СИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Внекоторых случаях удается относительно просто получить ре шение уравнения Колмогорова 'при заданных начальных и гранич
ных условиях, если воспользоваться преобразованием Лапласа. Суть этого метода состоит в уменьшении числа переменных с двух до одной, в результате чего дифференциальное уравнение в част ных производных переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Метод применим в случае, когда коэф фициенты сноса а(т, у) и диффузии Ь(т, у) не зависят от вре
мени т, а потому второе уравнение Колмогорова |
записывается |
в виде |
|
|
+ |
0. |
(36.1) |
Без ограничения общности начальный момент t можно считать рав
ным нулю; тогда начальным условием для f(y, |
т) является задан |
ная функция f (y, 0). |
Лапласа функции |
Обозначим через <р (у, s) преобразование |
f (У, т ), т. е. положим (при Re s > 0) |
|
?(У , s) = j е~п f (у, *) dz. |
(36.2) |
о |
|
Чтобы получить уравнение относительно <р(у, s), умножим обе ча сти равенства (36.1) на е -s'- и проинтегрируем результат умно жения по т от 0 до оо. Тогда получим
со
| e-ST Ж dx + ~Sy ^ |
~ 1 Г дут |
9 |
= 0, |
^36,3^ |
О |
|
|
|
|
|
|
Интегрируя но частям, находим |
|
|
|
|
со |
|
|
|
оо |
|
|
<ц |
йл - |
f ( y , *) |
+s Ге-»Ч(у, s)d - = |
|
дх |
|
т-0 |
J |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
= - |
f (у, о) + |
s? (у, |
s). |
|
(36.4) |
Считая s параметром и обозначая череп ц>' производную от ф((/, s) по у, запишем равенство (36.3) в виде
Ь(У) <р" + 2[Ь'(у) — а (у)]ср' + |
[Ь" (у) - 2а' (у) - |
2s]q> = |
— —2/(у, |
0). |
_ (36.5) |
Полученное выражение является обыкновенным неоднородным ли нейным дифференциальным уравнением второго порядка относи-
только функции ф— ф(*/, s) в зависимости от у. Начальное усло вие, которому должна удовлетворять искомая плотность распреде ления f(y, т), входит в это уравнение в виде функции f(y, 0) из правок части. Граничные условия для f(y, т) с помощью равенства (36.2) можно перевести в соответствующие также граничные усло вия для функции ф(г/, s). Пусть ордината случайного процесса мо жет принимать любые значения, а потому граничные условия при
0 имеют вид: |
|
/ ( — со , т) = 0; / ( о о , т) = 0. |
(36.6) |
Из (36.2) следует, что в этом случае граничные условия для ф(у, s) при любом s следующие:
о (-- со, s) = 0; <р(со, s) = 0. |
(36.7) |
Если прямая у = Х— поглощающая граница, то ордината слу чайного процесса всегда не меньше (или не больше) X, а плотность распределения w(y, т) непоглощенной части процесса при любом т > 0 удовлетворяет граничному условию
w(X, т) = 0. ■ |
(36.8) |
Положим |
|
Ф(у, s ) = f e~s*w(y, -) di. |
(36.9) |
0
Данная функция •также является решением дифференциального уравнения (36.5), причем согласно (36.8) граничное условие для ф (у, s) при любом х записывается в виде
Пусть прямая У ~ Х — отражающая граница, а потому ордината случайного процесса всегда больше (или меньше) X, а граничное условие для искомой плотности распределения f(y, т) при любом т Д> 0 имеет вид
Согласно (36.2)
д<р
(36.12)
dy
о
Поэтому граничное условие для ф (у, s) нрц любом s следующее:
и
