Файл: Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 194

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

При наличии двух границ у = %и у — р, где к и ц — заданные по­ стоянные, pi Я, ордината случайного процесса всегда не меньше X и не больше ц. Граничные условия для искомой плотности распре­ деления f(y, т) [или w(у, т)] при т > 0 в общем случае записы­ ваются в виде:

а\ f {К +

bi

д1

=

0

;

ду

у = \

(36.14)

 

bp. д1

 

 

 

 

avf (р, х) +

= 0,

 

 

ду

у - |) .

 

 

где ах, Ь\, dy. и bv. — известные постоянные. Применительно к функ­ ции ф (у, s) граничные условия при любом's в этом случае следую­ щие:

ахо (К s) - f bx щ' (к, s) = 0 ;'

(36.15)

«иТО*. s) + ^ ?'(!*> s) = 0.

Решение дифференциального уравнения (36.5) с граничными условиями (36.15) определяется по формуле

9 (У: s ) = fT(y, z)f(z, О)dz,

(36.16)

х

 

где Г (у, z) — функция Грина. Чтобы найти эту функцию, нужно сначала определить независимые интегралы цп(у) и ф2(У) однород­ ного дифференциального уравнения

 

Ь(у)у" + 2[Ь'(у)-а(у)}ч>' +

 

 

 

 

+

[b"(y)-2a'(y)-2s]q> =

0.

 

 

(36.17)

Затем при любом z, k ^ z ^ y ,

находятся Ci(z)

и C2(z)

с помощью

равенств:

 

2 уа(г)

 

.

 

— 2cp,(g)

 

 

Q (z)

-

 

С, (z) =

5

(36.18)

 

 

b(z)\(z)

’

 

Hz)Mz)

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л (z)

= Oi(z) ? ’ (z)

— о2( z )

(г).

 

(36.19)

После этого вычисляются A x ( z ) A 2(z), B{[z)

и B2(z),

являющиеся

решением следующей алгебраической системы уравнений:

 

B t i z ^ A M +

CAz);

B2(z)=;A2(z) + C2(zy,

 

Ai(z) K ? i W

+ ^ x ? i

M l

+

Azi2) [ах?з(>0 +

Ьх(р^(к)] —

0;

я л * )

+ bv.b (t1)]

+

b 2(z) [а )1?2(р.)

+

 

=

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(36.20)

282

Для функции Грина справедливо следующее выражение:

 

=

( A ( 2 )?i(y ) + ^ 2 (2 ) 92(3')

при

Х < у < 2 <|х;

У’ 2

~

1

В{ (г) «р! (у) +

B2{z)v2{y)

при

X < z < y < | x .

Если

для уравнения

(36.1) начальное

условие записывается

в виде

 

 

 

 

 

■

 

 

 

П У , 0 ) = б ( у - х ) ,

(36.22)

где А. <

х <

[г, то из (36.16) следует, что

 

 

 

 

<Р(У, в) = Г{у,

х).

(36.23)

Зная функцию ср (г/, s), искомую плотность распределения f(y, s) можно найти с помощью обратного преобразования Лапласа, со­ гласно которому

f+ ico

 

Ну, s) = 2^ | ^ s? (y ) S)ds. ‘

(36.24)

у— loo

Впростейших случаях оригинал f(y, т) по изображению ф(у, s)

может быть определен без интегрирования с помощью таблицы

. преобразования Лапласа.

Пример 36.1. Определить плотность распределения да (О, х; т, у) непоглощенной части процесса броуновского движения, для кото­

рого

коэффициент сноса равен нулю, а

коэффициент диффузии

Ь(т,

у) =

2

 

 

 

где Т — заданная положительная постоянная. Началь­

ная ордината процессу х при t — 0

задана,

причем К< х <

р,. Гра­

ничные условия, которым удовлетворяет функция ш(0, х\ т,

у) при

т >

0, записываются в впде:

 

 

 

 

 

седа (0, х; т, к) + (1

а) dw

~ 0;

 

 

 

 

W

у= Х

 

 

 

N ( o , Х-, х, р) + (1 — р) dw

= 0.

 

 

 

 

~ду У“ !'-

 

Рассмотреть следующие случаи:

а) а = р = 1, А = — оо, у = с о ;

б ) а = р = 1, к = 0, ц = оо ;

в) а = р = 1 , к = 0, р = /;

г) а = 0 , р = 1 , % — 0 , р = оо;

д) а = р — 0 , к = 0 , р = /.

иПри наличии поглощающих границ [случаи б) и в)] определить условную вероятность Р(0, х; т) существования процесса в мо­ мент т.

283

Р еш ен и е . Так как начальное условие имеет вид (36.22), то преобразование Лапласа искомой плотности распределения опреде­

ляется формулой (36.23),

т. е. <р(у,

s) = T{y, х). Согласно условию

а (у) =

0,

a

 

2

поэтому

дифференциальное

уравнение

b ( y ) = — t

(36.17)

записывается в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<р" — sy 2ф = 0.

 

 

 

 

 

Частные

интегралы

этого

уравнения:

fi(l/)==^7l/sy;

 

Фг(*/) =

g-v/s

 

Воспользовавшись равенством

(36.19), находим

А(у) —

= - 2

t/

s , поэтому согласно (36.18)

 

 

 

 

 

 

 

 

С,

(z) =

-= p l- е - ^

;

С2 (z) = —

s

 

 

 

 

 

 

 

 

2у s

 

 

 

 

2у

 

 

 

При заданных граничных условиях уравнения (36.20)

записы­

ваются в виде:

 

 

 

 

B2(z) — A2(z)-f- C2(z);

 

 

 

 

 

 

B\{z) = Ax{z)-\- Ci(z)-,

 

 

 

A { (z)

 

 

[a -f (1 — a)-y ] /s

] -j- Л, (z) e ~^ sl[a — (1 — a) j y/s]

= 0;

Л,(г)

 

 

 

(1 — ? ) у / s] + B2(z)e-iV

s — (1 — ,3 )у /s ] =

0.

а)

При Л = — сои

ц = о о

последние два равенства возможны

только

в

том

случае,

если

A2{z) =

0 и

Bj(z) = 0. Тогда Л ,(г) =

——Ci(z);

B2( z ) = C 2(z). Воспользовавшись

формулой

(36.21),

получаем следующее выражение для функции Грина:

 

 

 

— при г/>

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г (у, z ) = - C

t (z) ь (у) =

2у s

е-т^(*-у)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— при

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г (у, z) = С2(г) <р2 (у) =

 

 

.

 

 

Из этих равенств следует, что в общем случае

 

 

 

 

 

 

 

 

О (>>, s ) = f ( V ,

Х ) = —

Г _ б - Т ^ | у - х | _

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 р s

 

 

 

 

Согласно таблице преобразования Лапласа изображению

-7= e~a^s

 

 

 

 

 

 

1

- —

 

 

 

VS

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, искомая услов-

соответствует оригинал —7 =^ <?

4т.

 

 

 

 

 

у

ет

 

 

 

 

 

 

 

284

ная плотность распределения процесса броуновского движения без ограничения определяется формулой

 

 

/(О,

X

Т

- /

(У-*)5

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

Если а =

1 и А, — 0, то A, (z) -)rA2(z) =

0. При ц — оо должно

быть

S i(2 ) = 0.

Следовательно,

At(z) =

—C i(z);

A2(z) — С, (2 );

B2(z)

Ci (г) -j- C2(z). Воспользовавшись

формулой

(36.21), нахо­

дим

 

 

 

 

 

 

 

Г (у, г ) = — ;= [ e - 7C s ! y - z | . _ g - 7 / S (y+ z)

2} / s

В данном случае прямая у = 0 является границей поглощения про­ цесса. Поэтому по функции <р(у, s)=-T(y, х ) для условной плот­

ности .распределения

ау((), х; т, у) непоглощенпой

части процесса

получаем

 

 

;

 

w (0,

т,

у)

с

(У+ х)2

4т

2 / к т

В соответствии с (31.25) для условной вероятности существования процесса в момент т находим

Р(0, х; *) — j w(0, х; т, y)dy —

ео

00

1

f

-

j* <? 2 u du

/ 2тс

J

 

- JE _

TX

 

У5т

У й

 

 

II

э•

 

 

 

Тх

 

 

 

V 2т

2 “’ du

2

Г /

 

 

/г2 «

0J

Т *

\

•

 

/ 2 т

J

 

 

 

в)

Так как

а = 1 , a

Л = 0,

то Ax(z) +

A2{z) = 0. При р = 1 и

р — I получается

 

 

 

 

 

 

 

 

Bi(z)A- B2(z)e-^lfs = 0 .

 

 

 

Так как В, (г) +

В2(z) =

С, (г) +

С2(г ), то

 

 

 

ВЛгУ-

_ C ,( z )

+ C2 (z )

 

 

 

Ci (z) +

С2 (г)

 

=— е -2Т/ Уs

В2(г)

-

 

 

 

1 — g — 27гу8

 

1 — g -

2y УС

 

 

 

 

 

 

285

Кроме того,

A 2(z) =

—A, (z); Л](z) — В\(z) — С, (2). Согласно фор­

муле (36.21)

функция Грина

 

Г(у, z) =

—^ = ( \ - e ~ 2i,VT) - 1 [е-ЛлЙУ-г: -

 

 

2 / s

 

_ £ - p T ( y + z ) J _ . е -\ Гьг (|у—Z|—2Z)

— e iri~ (y+ z-2 p j_

Имеем

 

 

 

 

(1

oo

g-2T/kiT.

 

e-w Cs")-1 — V

k = 0

Тогда

T

Т(У» s) = ^(T, •*)

2"/ s k=0

{ e — f (ly-xi+2Zk)T^i _

__g-T(y+x+2Zk)Vs _J_ g--f [— |y— X|+2 (k+1) Z]Cs _ g-T[--y-x+2(k+l)Z) Cs

Воспользовавшись обратным преобразованием, для условной плот­ ности распределения w0j (О, X; т, у) непоглощенной части процесса при поглощающих границах у = 0 и у = I получаем следующее вы­ ражение:

 

w0,i(0, х;

т,

у) .

 

 

~

(|У-х|+21к)> '

 

7ГТ

к—О

 

 

 

 

 

 

 

2уГ'

 

 

 

—

(y+x+2Zk)2

-il[- |y - x |+ 2 (k + l)Z ]!1

-

[-у-х+2(к+1)(Г

в

U

-|- в

^

 

 

 

^

') =

=

—1

 

 

J L ( у - х+2к03

 

 

(у+х+2к/)а

 

 

4т

 

 

 

 

 

 

й . 2

 

 

 

 

 

 

 

 

2>/их к=—о

 

 

 

 

 

 

 

Условная

вероятность существования

этого

процесса в момент

т > О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р (0,

л;

т) =

J ®b.i(0,

х;

т, y)tfy

к=—.

/ 2т

(/ — х +

2 &/)

Ф

-Д = - (— JC+ 2ЛЛ

 

 

 

 

 

/ 2 х

 

 

ф ~7= "

+

х -f- 2kl)

_!_ ф

-Д = - (* + 2kl)

 

 

у 2 т

 

 

 

 

у

2т

 

286

Смотрите также файлы